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第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第4课时两角和与差的正弦、余弦 和正切公式(对应学生用书(文)、(理)4748页)考情分析考点新知掌握两角和与差的三角函数公式,能运用两角和与差的正弦、余弦和正切公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明 了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程. 能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦、两角和与差的正弦、两角和与差的正切公式,体会化归思想的应用.1. (必修4p98第1题改编)sin75cos30sin15sin150_答案:解析:sin75cos30sin15sin150sin75cos30cos75sin30sin(7530)sin45.2. (必修4p104习题5改编)已知tan,tan,则tan()_答案:1解析:tan()tan()()1.3. (必修4p94习题2(1)改编)若sin,则cos_答案:解析:由,sin,得cos,由两角和与差的余弦公式得coscoscossinsin(cossin).4. (必修4p99第10题改编)计算:_答案:解析:原式.5. (必修4p115第6题改编)计算:_答案:2解析:sin7sin(158)sin15cos8cos15sin8,cos7cos(158)cos15cos8sin15sin8, 原式tan15tan(4530)2.1. 两角差的余弦公式推导过程2. 公式之间的关系及导出过程3. 公式cos()cos()coscossinsincos()cos()coscossinsinsin()sin()sincoscossinsin()sin()sincoscossintan()tan()tan()tan()4. asinbcossin(),其中cos,sin,tan.的终边所在象限由a、b的符号来确定.题型1化简求值例1化简:tan(18x)tan(12x)tan(18x)tan(12x)_答案:1解析: tan(18x)(12x)tan30, tan(18x)tan(12x)1tan(18x)tan(12x),于是原式tan(18x)tan(12x)1tan(18x)tan(12x)1.求值:tan20tan40tan20tan40.解: tan60tan(2040), tan20tan40tan20tan40, tan20tan40tan20tan40.题型2给值求角例2若sin,sin,且、为锐角,则的值为_答案:解析:(解法1)依题意有cos,cos, cos()0. 、都是锐角, 0, .(解法2) 、都是锐角,且sin,sin, 0,0, cos,cos,sin(). .已知cos,cos(),且0,求.解: 0, 0.又cos(), sin(), coscos()coscos()sinsin().又0, .题型3给值求值例3已知0,cos,sin(),求sin()的值解: , , 0.又cos, sin. 0, .又sin, cos. sin()coscos()()coscossin()sin.已知、,sin,tan(),求cos的值解: 、, .又tan()0, 0. 1tan2(). cos(),sin().又sin, cos. coscos()coscos()sinsin().例4(2013常州期末)已知、均为锐角,且sin,tan().(1) 求sin()的值;(2) 求cos的值解:(1) 、, .又tan()0, 0. sin().(2) 由(1)可得,cos(). 为锐角,sin, cos. coscos()coscos()sinsin().已知cos ,cos(),且、,求cos()的值解:, 2(0,) cos , cos 22cos21, sin 2,而、, (0,), sin(), cos()cos2()cos 2cos()sin 2sin().1. 已知角的终边经过点p(1,2),函数f(x)sin(x)(0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为,则f_答案:解析:由题意知cos,sin.由相邻两条对称轴间距离为,得,即t, ,3. f(x)sin(3x)fsinsincoscossin.2. 函数f(x)sin2xsincos2xcos在上的单调递增区间为_答案:解析:f(x)sin2xsincos2xcossin2xsincos2xcoscos(2x)当2k2x2k(kz),即kxk(kz)时,函数f(x)单调递增取k0得x, 函数f(x)在上的单调增区间为.3. 已知sinsin,0,则cos_答案:解析:由sinsin,得sincoscossinsin, sincos, sin. 0, , cos. coscoscoscossinsin.4. (2013贵州)设为第二象限角,若tan,则sincos_答案:解析:由tan,得tan.因为为第二象限角,利用tan,sin2cos21可求得sin,cos,所以sincos.1. 已知、均为锐角,且tan,则tan()_答案:1解析:tan,tantan.又、均为锐角,即,tan()tan1.2. 已知cossin,则sin的值为_答案:解析:cossincossin,cossin,sinsin.3. 如图,在平面直角坐标系xoy中,以ox轴为始边作两个锐角、,它们的终边分别与单位圆相交于a、b两点已知a、b的横坐标分别为、.求:(1) tan()的值;(2) 2的值解:(1) 由已知条件及三角函数的定义可知cos,cos.因为锐角,故sin0,从而sin,同理可得sin.因此tan7,tan.所以tan()3.(2) tan(2)tan()1.又0,0,故02.从而由tan(2)1,得2.4. 已知函数f(x)sincos,xr.(1) 求f(x)的最小正周期和最小值;(2) 已知cos(),cos(),0,求证:f()220.(1) 解:f(x)sinxcoscosxsincosxcos sinxsinsinxcosx2sin,所以t2,f(x)min2.(2) 证明:cos()coscossinsin,cos()coscossinsin.,得coscos0,于是由0cos0.故f()f()220.1. (1) 三角函数式的化简要遵循“三看”原则,一看角,二看名,三看式子结构与特征(2) 对于给角求值问题,往往所给角都是非特殊角,解决这类问题的基本思路有: 化为特殊角的三角函数值; 化为正、负相消的项,消去求值; 化分子、分母出现公约数进行约分求值2. 三角函数的给值求值,关键是把待求角用已知角表示(1) 已知角为两个时,待求角一般表示为已知角的和与差;(2) 已知角为
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