【拿高分 选好题】（新课程）高中数学二轮复习 第一部分 18个必考问题 专项突破《必考问题17 数学思想在解题中的应用(一)》热点命题 苏教版.doc

必考问题17数学思想在解题中的应用(一)【真题体验】1(2012江苏卷改编)已知函数yf(x)的周期为2，当x1,1时f(x)x2，那么函数yf(x)的图象与函数y|lg x|的图象的交点共有_解析在同一坐标系中作出函数yf(x)，y|lg x|的图象如图，由图象可知，两个函数的图象的交点共有10个答案102(2012江苏改编)设函数f(x)则方程f(x)x解的个数是_解析作出函数f(x)的图象如图，由图象可知，函数f(x)与yx的图象的交点个数是3，即方程f(x)x的解的个数为3.答案33(2012苏中三市调研)若函数f(x)|2x1|，则函数g(x)f(f(x)ln x在(0,1)上不同的零点个数为_解析将函数g(x)f(f(x)ln x在(0,1)上不同的零点个数转化为函数yff(x)图象在(0,1)上与yln x图象的交点个数，作出图象如图，可知两个函数图象在(0,1)上有3个交点，故不同的零点个数为3.答案34(2012苏中三市调研)已知函数f(x)若关于x的方程f(x)k有两个不同的实根，则数k的取值范围是_解析作出函数f(x)的图象，如图，由图象可知，当x1时，函数f(x)与yk的图象有两个不同的交点，所以所求实数k的取值范围是(0,1)答案(0,1)5(2012南京、盐城模拟)若关于x的方程kx1ln x有解，则实数k的取值范围是_解析利用分离参数将不等式有解问题转化为函数值域的求解，再利用导数研究函数性质，作出图象，借助图象求函数值域由题意可知k(x0)，所以k的取值范围即为函数f(x)(x0)的值域因为f(x)(x0)，由f(x)0解得xe2，且x(0，e2)时，f(x)0，函数f(x)递增；x(e2，)时，f(x)0，函数f(x)递减，且该函数只有一个零点e，所以函数图象的大致形状如图，故其值域为，即为k的取值范围答案【高考定位】高考对本内容的考查主要有：函数与方程思想、数形结合思想都是高中数学的基本思想，也是高考的重点，是解题中重要的、常用的思想方法，使用函数与方程思想、数形结合的方法，很多棘手的问题能迎刃而解，且解法简捷试题类型可能是填空题，同时在解答题中经常与函数、不等式等构成综合题，难度以中高档题居多【应对策略】掌握函数与方程思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的理解许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决理解数形结合的本质，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法理解数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维的过程，有助于把握数学问题的本质，知道它是数学的规律性与灵活性的有机结合.必备知识1函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题2方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决方程的思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系3实现数形结合，常与以下内容有关：实数与数轴上的点的对应关系；函数与图象的对应关系；曲线与方程的对应关系；以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义必备方法1函数和方程思想(1) 函数和方程是密切相关的，对于函数yf(x)，当y0时，就转化为方程f(x)0，也可以把函数式yf(x)看做二元方程yf(x)0，函数问题(例如求函数的值域等)可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)0，就是求函数yf(x)的零点(2) 函数与不等式也可以相互转化，对于函数yf(x)，当y0时，就转化为不等式f(x)0，借助于函数图象与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式(3) 数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要(4) 解析几何中的许多问题，常需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论(5) 立体几何中有关线段、面积、体积的计算，也常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决2数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程，这在解填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野命题角度一利用函数与方程相互转化的观 点解决函数、方程问题命题要点 函数零点与方程的根相互转化；函数与不等式相互转化. 【例1】 (2012徐州信息卷)已知函数f(x)ln x.(1)当b1时，若函数f(x)在(0，)上为单调增函数，求a的取值范围；(2)当a0且b0时，求证：函数f(x)存在唯一零点的充要条件是a1；(3)设m，n(0，)，且mn，求证：.审题视点 听课记录审题视点 函数单调性的讨论，函数零点存在的充要条件，以及不等式的证明(1)解当b1时，f(x).因为f(x)在(0，)上为单调递增函数，所有f(x)0在(0，)上恒成立，即x2(22a)x10在(0，)上恒成立，当x(0，)时，由x2(22a)x10，得2a2x.设g(x)x，x(0，)，所以g(x)2，当且仅当x时，等号成立即x1时，g(x)有最小值2，所以2a22，解得a2.所以a的取值范围是(，2(2)证明f(x)(x0)当x(0，a)时，f(x)0，f(x)在(0，a)上单调递减；当x(a，)时，f(x)0，f(x)在(a，)上单调递增综上所述，f(x)的单调递减区间为(0，a)；f(x)的单调递增区间为(a，)充分性：a1时，在x1处有极小值也是最小值，即fmin(x)f(1)0.f(x)在(0，)上有唯一的一个零点x1.必要性：f(x)0在(0，) 上有唯一解，且a0，f(a)0，即ln aa10.令g(a)ln aa1，g(a)1.当0a1时，g(a)0，在(0,1)上单调递增；当a1时，g(a)0，在(1，)上单调递减gmax(a)g(1)0，f(a)0只有唯一解a1.f(x)0在(0，)上有唯一解时必有a1.综上，在a0时，f(x)0在(0，)上有唯一解的充要条件是a1.(3)证明不妨设mn0，则1，要证，只需要，即证ln，只需证ln0，设h(x)ln x，由(1)知，h(x)在(1，)上是单调增函数，又1，有hh(1)0，即ln0成立，所以. 函数f(x)在区间d上单调递增，一般转化为其导函数f(x)0恒成立，再利用不等式恒成立知识求解函数零点的讨论通常是利用导数研究函数性质，充要条件的证明基本是要从充分性、必要性两个方面证明，而代数中的不等式证明一般是利用函数性质以算代证【突破训练1】 (2012苏州调研)已知函数f(x)|xm|和函数g(x)x|xm|m27m.(1)若方程f(x)|m|在4，)上有两个不同的解，求实数m的取值范围；(2)若对任意x1(，4，均存在x23，)，使得f(x1)g(x2)成立，求实数m的取值范围解(1)方程f(x)|m|，即|xm|m|，此方程在xr时的解为x0和x2m.要使方程|xm|m|在x4，)上有两个不同的解2m4且2m0.则m的取值范围是2,0)(0，)(2)原命题等价于：对于任意x1(，4，任意x23，)，f(x1)ming(x2)min.对于任意x1(，4，f(x1)min对于任意x23，)，g(x2)min当m3时，0m210m9.1m3.当3m4时，0m27m.3m4.当m4时，m4m27m.4m42综上所述，1m42.故m的取值范围为(1,42)命题角度二利用图象研究复杂函数的性质命题要点 讨论复杂函数的性质；与复杂函数零点、复杂方程有关的问题【例2】 (2012扬州期末检测)若关于x的方程kx2有四个不同的实数根，则实数k的取值范围是_审题视点 听课记录审题视点 方程有四个不同的实数根是本题的唯一条件，怎么应用是解题的关键解析易知方程kx2有一个根是0，当x0时，原方程可变形为有3个非零根，所以即为函数y与y有3个横坐标不是0的交点，作出图象如图，所以0，解得k4.答案(，4) 有关比较复杂的方程根的个数问题，一般要对方程化简变形，利用数形结合的方法求解，在画图时，要注意尽可能是研究动直线与定曲线的交点个数【突破训练2】 (2012镇江质量检测)方程2sin x在区间2 010,2 012所有根之和等于_解析作出两个函数的图象如图，由图象可知，函数y与y2sin x，x2 010,2 012的图象有4 020个交点，两两关于点a(1,0)对称，所以每两个对称点的横坐标之和为2，故所有交点的横坐标之和为22 0104 020.答案4 020命题角度三数形结合在求取值范围中的应用命题要点 讨论抽象函数的性质；利用数形结合建立关系求取值范围【例3】 (2012徐州质检)已知函数f(x)若存在x1，x2，当0x1x22时，f(x1)f(x2)，则x1f(x2)的取值范围是_审题视点 听课记录审题视点 分段函数及方程之间的关系，建立目标函数求取值范围解析作出函数f(x)的图象如图，由图象可知当0x1x22时，有f(x1)f(x2)x12x21，所以x1f(x2)2x21，令2x21t，由二次函数图象可知函数递增，所以yt，即为x1f(x2)的取值范围答案 求解取值范围的问题，一般要先建立目标函数，而本题在建立目标函数的过程中，图象起了直观、明了的作用，而求二次函数在给定区间的值域，实质也是图象法的应用【突破训练3】 (2012盐城模拟)若关于x的不等式x22|xa|至少有一个负数解，则实数a的取值范围是_解析因为不等式x22|xa|至少有一个负数解，即|xa|2x2有负数解，在同一坐标系中作出函数y|xa|和y2x2的图象，如图，当yxa与y2x2相切时，求得a，将y|xa|右移到图中位置时，不等式刚好无负数解，此时a2，所以实数a的取值范围是.答案16解题时要有应用函数与方程思想、数形结合思想的意识一、在研究复杂方程根的个数时要能够数形结合【例1】 已知函数f(x)若方程f(x)xa有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是_解析作出函数f(x)和yxa的图象如图，由图象可知0a1时，两图象有两个交点，方程f(x)xa有且只有两个不相等的实数根，所以所求实数a的取值范围是0,1)答案0,1)老师叮咛：这道题是已知方程f(x)xa有且只有两个不相等的实数根，但由于函数f(x)的解析式未知，所以从代数的角度显然行不通，如果从图形的角度理解，将代数问题(方程的根)转化为几何问题(两个函数图象的交点个数)，使问题得以顺利解决.二、在抽象函数性质的研究中要重视数形结合思想的应用【例2】 若定义在r上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当x0,1时，f(x)x，则函数yf(x)log4|x|的零点个数为_解析偶函数f(x)的周期为2，且x0,1时，f(x)x，作出函数f(x)的部分图象如图，而函数yf(x)log4|x|的零点即为函数f(x)与ylog4|x|的图象的交点横坐标，由图象可知，交点有6个，故函数yf(x)log4|x|的零点是6个答案6老师叮咛：这道题中函数f(x)在r上的解析式没有给出，所以函数yf(x)log4|x|的零点用代数法无法求解，就算你能求出函数f(x)在r上的解析式，那也会是一个浩大的工程，所以这类题，“以形助数”几乎是唯一的方法三、函数问题中的主元