高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.2 奇偶性课件 新人教A版必修1.ppt

1 3 2奇偶性 主题1偶函数1 观察下列两个函数的图象 它们有什么共同特征 提示 从图象上可以看出 它们的图象都是关于y轴成轴对称的 2 上述特征能否用数量间的关系来体现 试着填下表 提示 3 通过上面对应值表你发现了什么 提示 当自变量x取一对相反数时 相应的两个函数值相等 结论 1 偶函数的定义如果对于函数f x 的定义域内任意一个x 都有 那么函数f x 就叫做偶函数 f x f x 2 偶函数的图象特征偶函数的图象关于 对称 反过来 若一个函数的图象关于 对称 则这个函数是偶函数 y轴 y轴 微思考 1 对于函数f x 若在定义域内有f 1 f 1 成立 能否说明函数f x 是偶函数 提示 不能 必须是在定义域内任意的x都有f x f x 成立 才能说明函数f x 是偶函数 2 若对定义域内的任意x都有f x f x 0或 1 f x 0 则对应的函数是不是偶函数 提示 根据偶函数的定义知 满足这两种对应关系的函数都是偶函数 主题2奇函数1 观察下列两个函数图象 它们有什么共同特征 与偶函数的图象特征相同吗 提示 从图象上可以看出 它们的图象都是关于原点成中心对称的 与偶函数的图象特征是不同的 2 上述特征能否用数量间的关系来体现 试着填下表 提示 3 通过上面对应值表你发现了什么 提示 当自变量x取一对相反数时 相应的两个函数值也是一对相反数 结论 1 奇函数的定义如果对于函数f x 的定义域内任意一个x 都有 那么函数f x 就叫做奇函数 2 奇函数的图象特征奇函数的图象关于 对称 反过来 若一个函数的图象关于 对称 则这个函数是奇函数 f x f x 原点 原点 微思考 根据函数奇偶性的定义 函数具有奇偶性时对定义域有什么要求 提示 因为在函数奇偶性的定义中 对任意的一个x都有f x f x 或f x f x 所以 x也属于定义域 因此奇偶函数的定义域必须关于原点对称 预习自测 1 下列函数是偶函数的是 a y 2x2 3b y x3c y x2 x 0 1 d y x 解析 选a 对a项 f x 2 x 2 3 2x2 3 f x 所以f x 是偶函数 b项 d项都为奇函数 c项中定义域不关于原点对称 函数不具有奇偶性 2 下列函数为奇函数的是 a y x b y 3 xc y d y x2 14 解析 选c a d两项 函数均为偶函数 b项中函数为非奇非偶函数 c项中函数为奇函数 3 下列图象表示的函数具有奇偶性的是 解析 选b 奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象关于y轴对称 由图象可知 只有b的图象关于y轴对称 4 函数f x x 1 偶函数 填 是 或 不是 解析 函数定义域为r f x x 1 f x 所以f x 是偶函数 答案 是 5 已知函数y f x 为奇函数 若f 3 f 2 1 则f 2 f 3 解析 函数y f x 为奇函数 故f x f x 则f 2 f 3 f 2 f 3 1 答案 1 6 判断下列函数的奇偶性 1 f x x3 x 2 f x x2 1 解析 1 对于函数f x x3 x 其定义域为r 因为对定义域内的每一个x 都有f x x 3 x x3 x f x 所以 函数f x x3 x为奇函数 2 对于函数f x x2 1 其定义域为r 因为对定义域内的每一个x 都有f x x 2 1 x2 1 f x 所以 函数f x x2 1为偶函数 类型一函数奇偶性的判定 典例1 判断下列函数的奇偶性 1 f x x3 x5 2 f x x 1 x 1 3 f x 4 f x 解题指南 解答本题应先求出函数的定义域 根据定义域再确定是否需要判定f x 与f x 的关系 最后再下结论判定函数的奇偶性 解析 1 函数的定义域为r 因为f x x 3 x 5 x3 x5 f x 所以f x 是奇函数 2 f x 的定义域为r 因为f x x 1 x 1 x 1 x 1 f x 所以f x 为偶函数 3 函数f x 的定义域为 1 1 不关于原点对称 所以f x 是非奇非偶函数 4 函数f x 的定义域为r 当x 0时 f x x x 2 x 0 f x x x 2 x 2 x f x 当x0 f x x x 2 x x 2 f x 当x 0时 f 0 0 故有f x f x 所以f x 为奇函数 方法总结 函数奇偶性的判断方法 1 确定函数的定义域 2 看定义域是否关于原点对称 不对称 则为非奇非偶函数 拓展 函数奇偶性的运算设函数f x g x 的定义域分别为d1 d2 在他们的公共定义域上 则有 巩固训练 判断下列函数的奇偶性 解析 1 函数的定义域为 0 不关于原点对称 故函数不具有奇偶性 2 由 x2 1 x 1 所以f x 0 又定义域关于原点对称 所以f x 既是奇函数又是偶函数 3 函数f x 的定义域为 1 0 0 1 由 x 2 2 x 所以f x 因为f x f x 所以f x 为奇函数 补偿训练 判断下列函数的奇偶性 1 f x 2x 1 2x 1 2 f x 3 f x 解析 1 奇函数 f x 的定义域为实数集r 且f x 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 f x 所以f x 为奇函数 2 偶函数 f x 的定义域为实数集r 当x q时 x q 且f x 1 f x 同理 x为无理数时 x也为无理数 且f x 1 f x 所以f x 为偶函数 3 奇函数 由题意知f x 的定义域为 x x 0 当x0 则f x x 2 x x2 x f x 当x 0时 x 0 则f x x 2 x x2 x x2 x f x 故有f x f x 所以f x 为奇函数 类型二奇偶函数的图象问题 典例2 设奇函数f x 的定义域为 5 5 若当x 0 5 时 f x 的图象如图所示 则不等式f x 0的解集为 解题指南 根据函数的奇偶性 画出函数在区间 5 0 上的图象 根据图象写出不等式的解集 解析 由题意 函数f x 在 5 0 上的图象与在 0 5 上的图象关于原点对称 画出函数f x 在 5 0 上的图象 观察可得f x 0的解集为 2 0 2 5 答案 2 0 2 5 延伸探究 1 本例条件不变 试比较f 1 与f 3 的大小 解析 由图象可知 f 1 0 f 3 f 3 又函数f x 为奇函数 所以f 1 f 1 f 3 f 3 故f 1 f 3 2 若把本例中的奇函数改为偶函数 其他条件不变 则结果又是什么 解析 由于f x 是偶函数 y轴右侧图象已知 结合偶函数图象关于y轴对称 作出y轴左侧图象 如图所示 由图象知 x 5 2 时 f x 0 x 2 5 时 f x 0 所以f x 0的x的取值集合为 5 2 2 5 方法总结 巧用奇偶性作函数图象的三个步骤 1 确定函数的奇偶性 2 作出函数在 0 或 0 上对应的图象 3 根据奇 偶 函数关于原点 y轴 对称得出在 0 或 0 上对应的函数图象 补偿训练 如图 给出了奇函数y f x 的局部图象 试求f 2 的值 解析 由题干图可知 f 2 又奇函数的图象关于原点对称 因此 f 2 f 2 类型三函数奇偶性定义的应用 典例3 1 函数f x x3 ax 若f 1 3 则f 1 的值为 2 已知函数f x x 1 x a 为偶函数 求实数a的值 解题指南 1 先判断函数的奇偶性 再求值 2 方法一 根据函数f x 为偶函数 则f 1 f 1 求a的值 方法二 利用偶函数的定义求参数的值 解析 1 因为f x f x 所以f x 为奇函数 所以f 1 f 1 3 答案 3 2 方法一 因为函数f x 为偶函数 则f 1 f 1 所以 1 1 1 a 1 1 1 a 所以a 1 方法二 因为函数f x 为偶函数 f x f x 即 x 1 x a x 1 x a 所以x2 a 1 x a x2 a 1 x a 所以2 a 1 x 0恒成立 所以a 1 方法总结 利用奇偶性求参数的两种类型及解法 1 定义域含参数 奇 偶函数f x 的定义域为 a b 根据定义域关于原点对称 利用a b 0求参数 2 解析式中含参数 根据f x f x 或f x f x 列式 比较系数利用待定系数法求解 巩固训练 2017 广州高一检测 已知函数f x 是r上的奇函数 1 求a的值 2 利用定义证明该函数在 1 上的单调性 解析 1 因为f x 为奇函数 所以f x f x 即所以 x a x a 得a 0 2 由 1 知 f x 任取x1 x2 1 且x1 x2 f x1 f x2 因为1 x10 x1 x2 1 x1x2 1 0 所以f x1 f x2 0 即f x1 f x2 所以f x 在 1 上是减函数 补偿训练 已知定义在 1