山东省滕州市洪绪中学九年级数学上册《2.2 配方法（1）》教学案 北师大版 北师大版.doc

2.2配方法（1） 教学目标：1.会用开平方法解形如(xm)2n (n0)的方程；2.理解一元二次方程的解法配方法3.把一元二次方程通过配方转化为(x十m)2n(n0)的形式，体会转化的数学思想.教学重点：利用配方法解一元二次方程.教学难点： 把一元二次方程通过配方转化为(x十m)2n(n0)的形式教学过程：一、情景导入 明确目标教师活动：组织教学，检查学生的情况，及时收集学生的各种信息.师.提问：同学们, 在生活中,很多搭配是要附合自然因素才能够和谐,比如,桌子必然也要搭配凳子,衣服固然要搭配裤子.什么是搭配呢?生 按适当的标准或比例加以配合或分配.生 安排使互相配合,小王和小李搭配参加混合双打.师.很好，我们一起来看看数学中又是怎么样搭配的呢?首先看本课的学习目标.1.会用开平方法解形如(xm)2n (n0)的方程；2.理解一元二次方程的解法配方法3.把一元二次方程通过配方转化为(x十m)2n(n0)的形式，体会转化的数学思想.设计意图：出其不意让学生以为老师在上语文,调动学生的积极性，增加学生学习数学的兴趣，也有助于学生对配方的理解.明确目标,知道自己在本节课应该学到什么知识.二、自主学习 ：师我们已经学习了一元二次方程的定义及有关概念，现在同学们来讨论一下：你能解哪些一元二次方程? 生甲等式x2=4就是一元二次方程，像这样类型的方程我们就能解.生乙方程(x+3)29，我们也可以解，即是要求(x+3)，使它的平方等于9，而9的平方根是3和-3，所以(x+3)就等于3或-3，因此x0或x-6师乙同学分析得很好，大家听清楚了没有?好，下面大家看大屏幕(出示投影片)你会解下列一元二次方程吗?你是怎么做的?(1)x25； (2)3x20； (3)x2-40； (4)2x2-500；(5)(x+2)25； (6)(x-3)26； (7)2x2+500生甲方程(1)的解为 ，-，因为x是5的平方根 方程(2)的解为0，因为方程3x20可以化为x20，即x是0的平方根生乙方程(3)可以通过移项化为方程(1)的形式，即x24，所以方程(3)的根为2，-2 方程(4)也可以通过移项化为方程(2)的形式，即2x250，然后再化为x225，因此方程(4)的根为5，-5生丙解方程(5)和(6)时，只要把(x+2)和(x-3)当作整体看待，其形式就如方程(1)，这样方程(5)和(6)即可求解 方程(5)就是求(x+2)，使它的平方为5，则x+2就等于 或- ，因此，x就等于-2+或-2- 方程(6)就是求(x-3)，使它的平方为6，则(x-3)就等于 或- ，因此，x等于3+ 或3-生丁方程(7)通过移项得2x2-50而由平方根的性质可知：负数没有平方根，所以没有一个实数适合这个方程师同学们分析得真棒，大家利用平方根的定义求解了一类一元二次方程，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法其中适合方程(7)的实数x不存在，所以原方程无实数解从刚才的解题过程中，我们知道了一元二次方程如果有解，则它有两个根，这两个根可以是相等的，如方程(2)；也可以是不相等的，如方程(1)、(3)、(4)、(5)、(6)，所以我们在书写时，通常用x1、x2表示未知数为x的一元二次方程的两个根点评：上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p0）的形式，那么可得x=或mx+n=（p0）注意： (1)方程3x20有两个相等的实数根，即x1=0，x2=0这与一元一次方程3x=0有一个根x0是有区别的(2)刚才我们解的一元二次方程，可用形式ax2+c=0来表示当a、c异号时，方程ax2+c0有两个不相等的实数根；当a、c同号时，ax2+c=0没有实数根师 好，接下来同学们来看大屏幕(出示投影片),分组讨论讨论判断下列方程能否用开平方法来求解?如何解?(1)x2-4x+42； (2)x2+12x+365生甲方程(1)能用开平方法求解因为方程(1)的左边正好是一个完全平方式，右边是一个正数，所以它可以化为(x-2)22这样利用直接开平方法可得x-2=，即x1=2+，x2=2-. 生乙方程(2)也能用平方法来解，方法同解方程(1)，即原方程化为(x+6)2=5两边分别开平方，得x+6，即x1-6+，x2-6-师很好，同学们基本了解了解一元二次方程的基本思路，谁来给大家叙述一下呢?生解一元二次方程的基本思路是：把原方程变为(x+m)2n，然后两边同时开平方，这样原方程就转化为两个一元一次方程师真棒，实际上解一元二次方程的关键是要设法将其转化为一元一次方程，即将原方程“降次”，“降次”也是一种数学方法设计意图：巩固直接开平方法解方程为配方法打下基础,降低学习的难度.三、合作互助 ：师下面我们来看能否求出方程x2+12x-15=0的精确值，同学们先来想一想：(出示投影片)解方程x2+12x-15=0的困难在哪里?你能将方程x2+12x-150转化成(x+m)2=n的形式吗?生解方程x2+12x-150的困难就是：怎么样能把x2+12x-15=0的左边变成一个完全平方形式，右边变成一个非负数师噢，那想一想完全平方式的特征是什么?生完全平方公式是:a22ab+b2(ab)2师好，下面大家来做一做(出示投影片)填上适当的数，使下列等式成立(1)x2+12x+ (x+6)2；(2)x2-4x+ =(x- )2；(3)x2+8x+ (x+ )2生甲(1)的左边应填上：36 (2)的左边应填上4，右边填；2 (3)的左边应填上16，右边填：4生乙老师，我看出来了，这三个等式的左边填的常数是：一次项系数一半的平方；而右边填的是：一次项系数的一半是吗?师大家说呢?生齐声是师好，我们理解了完全平方式的特征后，把方程；x2+12x-150转化为(x+m)2n的形式师生共析x2+12x-150， 可以先把常数项移到方程的右边，得 x2+12x15 两边都加上62(一次项系数12的一半的平方)，得 x2+12x+62=15+62， 即(x+6)251 师接下来能否求出方程x2+12x-150的精确值，即梯子底端滑动的距离呢? 生齐声能，给方程两边开平方，得x+6， 即x+6或x+6-所以x1-6+, x2-6-师噢，所以梯子底端滑动了(-6+)m或(-6-)m生老师，梯子底端滑动的距离是正数，不能是负数，所以x1是原问题的解，而x2不是师大家说，对吗?生齐声对师很好，x1，x2是方程x2+12x-150的根，但x2不是原问题的解，所以应舍去 我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程x2+12x-150的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法(solving by completing the square) 下面同学们来看一例题：(出示投影片)解方程x2+8x-90师大家能独立解这个方程吗?生齐声能 解：可以把常数项移到方程的右边，得 x2+8x9 两边都加上16，得 x2+8x+169+16，（两边同时加上一次项系数一半的平方） 即(x+4)2=25 开平方，得 x+45， 即x+4=5或x+4-5 所以x11，x2-9师很好，由此我们可以知道：由配方法解一元二次方程的基本思路是将方程转化为(x+m)2n的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n0时，两边开平方便可求出它的根 注；因为在实数范围内任何非负数都有平方根，所以当n0时，方程有解；当n0时，左边是一个完全平方式，右边是一个负数，因此方程在实数范围内无解接下来，通过当堂达标来进一步巩固本节所学的内容设计意图：学会利用完全平方知识填空,初步配方为后面学习打下基础.通过小组的合作交流，学生发现要把形如的式子如何配成完全平方式，只要加上一次项系数一半的平方即加上即可.事实上，通过对配方的感知的过程，学生都能用自己的语言归纳总结出配成完全平方式的方法，这就为下一环节“用配方法解一元二次方程”打好基础。由此也反映出学生善于观察分析的良好品质,而这种品质是在学生自觉行为中得到培养的,体现了学生良好的情感、态度、价值观。四、当堂达标 ： 解下列方程解下列方程 （1）x2+6x+5=0 （2）x2-10x+257；（3）x2+8x1 (4)（1+x）2+2（1+x）-4=0解：（1）移项，得：x2+6x=-5 配方：x2+6x+32=-5+32（x+3）2=4（两边同时加上一次项系数一半的平方） 由此可得：x+3=2，即x1=-1，x2=-5. (2)x2-10x+257， (x-5)27， 开方得 x-5=， 即x-5=或x-5=-，所以x15+，x25-(3)x2+8x1，配方： x2+8x+161+16，（两边同时加上一次项系数一半的平方） (x+4)217， 由此可得：x+3， 即x+3或x+3-所以x1-3+，x2-3- （4）去括号，整理得：x2+4x-1=0 移项，得x2+4x=1 配方，得（x+2）2=5 开方得 x+2=，即 x1=-2，x2=-2 设计意图：进行当堂达标检测，题目不易过多，但还要涵盖本节知识点，才能全面检测学生的学习效果，所以，设计了几道题目，一是看知识点的应用是否熟练，二是看学生的解答格式是否正确，三是限时练习，养成良好的学习习