【志鸿优化设计】高考数学一轮复习 第15章 选考部分 坐标系与参数方程教学案 苏教版选修4.doc

选修44坐标系与参数方程1理解坐标系的作用2了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况3能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，了解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标与直角坐标的互化4能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程通过比较这些图形在极坐标系与直角坐标系中的方程，了解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义5了解参数方程，了解参数的含义6能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程1设点p(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点p(x，y)对应到点p(x，y)，称为平面直角坐标系中的_，简称_2极坐标系如图，在平面内取一个定点o，叫做_；自极点o引一条射线ox，叫做极轴；再选定一个_单位、一个_单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系设m是平面内一点，极点o与点m的距离|om|叫做点m的_，记为；以极轴ox为始边，射线om为终边的角xom叫做点m的_，记为.有序数对(，)叫做点m的_，记为m(，)3极坐标和直角坐标的互化设m是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(，)，可以得出它们之间的关系：x_，y_.又可得到关系式：2_，tan _，这就是极坐标与直角坐标的互化公式4直线的参数方程若直线过(x0，y0)，为直线的倾斜角，则直线的参数方程为_其中参数t有明显的几何意义5圆的参数方程若圆心在点m0(x0，y0)，半径为r，则圆的参数方程为_6椭圆的参数方程中心在原点o，焦点在x轴上的椭圆1(ab0)的参数方程为_1若直线(t为参数)与直线4xky1垂直，求常数k的值2(2012江苏扬州第一学期期末)已知p(x，y)是椭圆y21上的一点，求mx2y的取值范围3(2012江苏南京二模)在平面直角坐标系xoy中，判断曲线c：(为参数)与直线l：(t为参数)是否有公共点，并证明你的结论1极坐标与直角坐标有何区别？提示：多值性：在直角坐标系中，点与直角坐标是“一对一”的关系在极坐标系中，由于终边相同的角有无数个，即点的极角不唯一，因此点与极坐标是“一对多”的关系但不同的极坐标可以写出统一的表达式如果(，)是点m的极坐标，那么(，2k)或(，(2k1)(kz)都可以作为点m的极坐标2把参数方程化为普通方程的过程中，应该注意什么？提示：将曲线的参数方程化为普通方程要消去参数，简称为“消参”把参数方程化为普通方程后，很容易改变变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性3如何求曲线的参数方程？提示：求曲线参数方程一般程序：(1)设点：建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意一点m的坐标；(2)选参：选择合适的参数；(3)表示：依据题设、参数的几何或物理意义，建立参数与x，y的关系式，并由此分别列出用参数表示的x，y的表达式；(4)结论：用参数方程的形式表示曲线的方程一、极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程互化【例1】(1)将参数方程(t为参数)化为普通方程(2)在极坐标系中，圆c的方程为2sin，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的方程为y2x1，判断直线l和圆c的位置关系方法提炼(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围要注意转化的等价性(2)参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围请做针对训练1二、极坐标方程的应用【例2】 (2012江苏苏北四市期末)在极坐标系中，a为曲线22cos 30上的动点，b为直线cos sin 70上的动点，求|ab|的最小值方法提炼1公式xcos ，ysin ，以及tan ，2x2y2是极坐标方程与直角坐标方程互化的“桥梁”2极坐标与直角坐标互化公式：xcos ，ysin 成立的条件是直角坐标的原点为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位3用极坐标法可使几何中的一些问题得出更直接、简单的解法，但解题的关键是选取适当极坐标系，这样可以简化运算过程，转化为直角坐标时也容易一些请做针对训练2三、参数方程的应用【例3】 已知直线c1：(t为参数)，圆c2：(为参数)(1)当时，求c1与c2的交点坐标；(2)过坐标原点o作c1的垂线，垂足为a，p为oa的中点，当变化时，求p点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线方法提炼1直线的参数方程的应用非常广泛，主要用来解决直线与圆锥曲线的位置关系问题在解决这类问题时，充分利用直线参数方程中参数t的几何意义，可以避免通过解方程组找交点等繁琐的运算，使问题得到简化直线的参数方程有多种形式，只有标准式中的参数才具有明确的几何意义2把参数方程化为普通方程，消参数的方法有：代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法等普通方程化为参数方程：关键是如何引入参数若动点坐标x，y与旋转角有关时，通常选择角为参数；与运动有关的问题，通常选择时间为参数等在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致请做针对训练3四、极坐标与参数方程的综合应用【例4】已知在平面直角坐标系xoy中，圆c的参数方程为(为参数)，以ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos0.(1)写出直线l的直角坐标方程和圆c的普通方程；(2)求圆c截直线l所得的弦长方法提炼研究含有极坐标方程和参数方程的题目时，可先将它们同时化为直角坐标方程，再借助于直角坐标方程研究它们的性质请做针对训练4坐标系与参数方程是高考数学的选考部分，重点考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，以及常见曲线的极坐标方程的简单应用；直线、圆与椭圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，以及直线参数方程的应用也是重点考查的内容先把极坐标方程和参数方程转化成直角坐标方程，再借助于直角坐标方程去研究它的相关性质，是常见的解决此类问题的思路1将参数方程(为参数)化成普通方程2(2012江苏南京三模)在以o为极点的极坐标系中，直线l与曲线c的极坐标方程分别是cos3和sin28cos ，直线l与曲线c交于点a，b，求线段ab的长3已知点p(x，y)是圆x2y22y上的动点(1)求2xy的取值范围；(2)若xya0恒成立，求实数a的取值范围4(2012江苏南通二模)在极坐标系中，圆c1的方程为4cos，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆c2的参数方程(为参数)，若圆c1与圆c2相切，求实数a的值参考答案基础梳理自测知识梳理1坐标伸缩变换伸缩变换2极点长度角度极径极角极坐标3cos sin x2y2(x0)4.5.026.(为参数)基础自测1解：将化为普通方程为yx，该直线的斜率为k1；当k0时，直线4xky1的斜率为k2，由k1k21，得k6.当k0时，显然不成立所以k6.2解：因为y21的参数方程为(是参数)，所以设p(2cos ，sin )，从而mx2y2cos 2sin 2sin，故mx2y的取值范围是2，23解：(方法一)直线l的普通方程为x2y30.曲线c的普通方程为x24y24.由方程组得8y212y50.因为160无解，所以曲线c与直线l没有公共点(方法二)直线l的普通方程为x2y30.把曲线c的参数方程代入l的方程x2y30，得2cos 2sin 30，即sin.因为sin，而，所以方程sin无解，即曲线c与直线l没有公共点考点探究突破【例1】解：(1)(方法一)因为224，所以224.化简得普通方程为1.(方法二)因为所以t，相乘得1.化简得普通方程为1.(2)由2sin得x2y22x2y，即圆2sin的普通方程为(x1)2(y1)22，圆心c(1,1)，半径为r.直线l的普通方程为2xy10.圆心c到直线l的距离d，所以直线l与圆c相交【例2】解：(1)由xcos ，ysin 得曲线22cos 30的普通方程为x2y22x30，即(x1)2y24，圆心为(1,0)曲线cos sin 70的普通方程为xy70，圆心(1,0)到该直线的距离为d4，所以|ab|min42.【例3】解：(1)当时，c1的普通方程为y(x1)，c2的普通方程为x2y21.联立方程组解得c1与c2的交点为(1,0)，.(2)c1的普通方程为xsin ycos sin 0.a点坐标为(sin2，cos sin )，故当变化时，p点轨迹的参数方程为(为参数)p点轨迹的普通方程为2y2.故p点轨迹是圆心为，半径为的圆【例4】解：(1)消去参数，得圆c的普通方程为(x)2(y1)29.由cos0，得cos sin 0.直线l的普通方程为xy0.(2)圆心(，1)到直线l的距离为d1.设圆c截直线l所得弦长为m，则2，m4.演练巩固提升针对训练1解：由得22得：x2(y1)21.2证明：直线l与曲线c的直角坐标方程分别是xy6和y28x.解方程组得或所以a(2，4)，b(18,12)所以|ab|16.3解：(1)设圆的参数方程为