【志鸿优化设计】高考数学一轮复习 第十一章 概率与统计11．5二项分布及其应用教学案 理 新人教A版 .doc

11.5二项分布及其应用1了解条件概率和两个事件相互独立的概念2理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题1条件概率一般地，设a，b为两个事件，且p(a)0，称p(b|a)_为在事件a发生的条件下事件b发生的条件概率如果b和c是两个互斥事件，则p(bc|a)_.2事件的相互独立性设a，b为两个事件，如果p(ab)_，则称事件a与事件b相互独立如果事件a与事件b相互独立，则a与_，_与b，与_也都相互独立3独立重复试验与二项分布一般地，在n次独立重复试验中，设事件a发生的次数为x，在每次试验中事件a发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中，事件a恰好发生k次的概率为p(xk)_，k0,1,2，n.此时称随机变量x服从二项分布，记作xb(n，p)，并称p为成功概率n次独立重复试验中事件a恰好发生k次可看成是c个互斥事件的和，其中每一个事件都可看成是k个a事件与nk个事件同时发生，只是发生的次序不同，其发生的概率都是_因此n次独立重复试验中事件a恰好发生k次的概率为cpk(1p)nk.1在一段时间内，甲去某地的概率是，乙去此地的概率是，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是()a. b. c. d.2已知p(ab)，p(a)，则p(b|a)()a. b. c. d.3每次试验的成功率为p(0p1)，重复进行10次试验，其中前7次都未成功后3次都成功的概率为()acp3(1p)7 bcp3(1p)3cp3(1p)7 dp7(1p)34甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止设甲在每局中获胜的概率为p，且各局胜负相互独立已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为.(1)求p的值；(2)设表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量的分布列一、条件概率【例1】 把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个其中，第一个盒子中有7个球标有字母a,3个球标有字母b；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中则有红球8个，白球2个试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母a的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母b的球，则在第三个盒子中任取一个球如果第二次取出的是红球，则称试验为成功，求试验成功的概率方法提炼1求p(b|a)时，可把a看作新的基本事件空间来计算b发生的概率，也就是说把b发生的样本空间缩小为a所包含的基本事件2若事件b，c互斥，则p(bc|a)p(b|a)p(c|a)，即为了求得比较复杂事件的概率，往往可以先把它分解成若干个互不相容的较简单事件之和，先求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率请做演练巩固提升2二、相互独立事件的概率【例2】甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为.(1)求乙投球的命中率p；(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率；(3)若甲、乙两人各投球2次，求共命中2次的概率方法提炼1当从意义上不易判定两事件是否相互独立时，可运用公式p(ab)p(a)p(b)计算判定求相互独立事件同时发生的概率时，要搞清事件是否相互独立若能把复杂事件分解为若干简单事件，同时注意运用对立事件可把问题简化2由两个事件相互独立的定义，可推广到三个或三个以上相互独立事件的概率计算公式，即若a1，a2，an相互独立，则p(a1a2an)p(a1)p(a2)p(an)3在解题过程中，要明确事件中的“至少有一个发生”、“至多有一个发生”、“恰有一个发生”、“都发生”、“都不发生”、“不都发生”等词语的意义若能把相关事件正确地表示出来，同时注意使用逆向思考方法，常常能使问题的解答变得简便请做演练巩固提升3三、二项分布【例3】 甲、乙两队参加世博会知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，且各人答对正确与否相互之间没有影响用表示甲队的总得分(1)求随机变量的分布列；(2)设c表示事件“甲得2分，乙得1分”，求p(c)方法提炼1独立重复试验是相互独立事件的特例，注意二者的区别独立重复试验必须具备如下的条件：(1)每次试验的条件完全相同，有关事件的概率不变；(2)各次试验结果互不影响，即每次试验相互独立；(3)每次试验只有两种结果，这两种可能结果的发生是对立的2判断某随机变量是否服从二项分布，主要看以下两点：(1)在每次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生；(2)在每一次试验中，事件发生的概率相同若满足，则在n次独立重复试验中就可把事件发生的次数作为随机变量，此时该随机变量服从二项分布写二项分布时，首先确定x的取值，直接用公式p(xk)计算概率即可请做演练巩固提升4服从二项分布的随机变量的求解【典例】 (12分)(2012四川高考)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)a和b，系统a和系统b在任意时刻发生故障的概率分别为和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；(2)设系统a在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布列及数学期望e.规范解答：(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件c，那么1p()1p.(4分)解得p.(5分)(2)由题意，p(0)c3，(6分)p(1)c2，(7分)p(2)c2，(8分)p(3)c3.(9分)所以，随机变量的概率分布列为0123p故随机变量的数学期望：(11分)e()0123.(12分)答题指导：解决离散型随机变量分布列时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)对随机变量的理解不到位，造成对随机变量的取值求解错误；(2)求错随机变量取值的概率，造成所求解的分布列概率之和大于1或小于1，不满足分布列的性质；(3)要注意语言叙述的规范性，解题步骤应清楚、正确、完整，不要漏掉必要说明及避免出现严重跳步现象1甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能获得冠军若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为()a. b. c. d.2从1,2,3,4,5中任取两个不同的数，事件a“取到2个数的和为偶数”，事件b“取到的2个数均为偶数”，则p(b|a)()a. b. c. d.3在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率4某小学三年级的英语老师要求学生从星期一到星期四每天学习3个英语单词，每周星期五对一周内所学单词随机抽取若干个进行检测(一周所学的单词每个被抽到的可能性相同)(1)英语老师随机抽了4个单词进行检测，求至少有3个是后两天学习过的单词的概率；(2)某学生对后两天所学过的单词每个能默写对的概率为，对前两天所学过的单词每个能默写对的概率为；若老师从后三天所学单词中各抽取了一个进行检测，求该学生能默写对的单词数的分布列参考答案基础梳理自测知识梳理1p(b|a)p(c|a)2p(a)p(b)3pk(1p)nkpk(1p)nk基础自测1c解析：记甲去某地的概率是p(a)，乙去此地的概率是p(b)，故至少有1人去此地的概率为1p()1p()p()1.2c解析：p(b|a).3c4解：(1)当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止，故p2(1p)2，解得p或p.又p，所以p.(2)依题意知的所有可能取值为2,4,6.p(2)，p(4)，p(6)1，所以随机变量的分布列为246p考点探究突破【例1】 解：设a从第一个盒子中取得标有字母a的球，b从第一个盒子中取得标有字母b的球，r第二次取出的球是红球，w第二次取出的球是白球，则容易求得p(a)，p(b)，p(r|a)，p(w|a)，p(r|b)，p(w|b).事件“试验成功”表示为rarb，又事件ra与事件rb互斥，故由概率的加法公式，得p(rarb)p(ra)p(rb)p(r|a)p(a)p(r|b)p(b)0.59.【例2】 解：(1)设“甲投一次球命中”为事件a，“乙投一次球命中”为事件b.由题意得(1p(b)2(1p)2，解得p或p(舍去)，所以乙投球的命中率为.(2)方法一：由题设知，p(a)，p().故甲投球2次，至少命中1次的概率为1p().方法二：由题设知，p(a)，p().故甲投球2次，至少命中1次的概率为c12p(a)p()p(a)p(a).(3)由题设和(1)知，p(a)，p()，p(b)，p().甲、乙两人各投球2次，共命中2次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中2次，乙2次均不中；甲2次均不中，乙中2次其概率分别为：p(a)p()p(b)p()，p(a)p(a)p()p()，p()p()p(b)p(b).所以甲、乙两人各投球2次，共命中2次的概率为.【例3】 解：(1)由题意知，的可能取值为0,1,2,3，且p(0)03，p(1)2，p(2)2，p(3)3，所以的分布列为0123p(2)甲得2分，乙得1分，两事件是独立的，由上表可知，甲得2分，其概率p(2)，乙得1分，其概率为p.根据独立事件概率公式，得p(c).演练巩固提升1d解析：由甲、乙两队每局获胜的概率相同，知甲每局获胜的概率为，甲要获得冠军有两种情况：第一种情况是再打一局甲赢，甲获胜概率为；第二种情况是再打两局，第一局甲输，第二局甲赢，则其概率为.故甲获得冠军的概率为.2b解析：p(a)，p(ab)，p(b|a).3解：分别记这段时间内开关ja，jb，jc能够闭合为事件a，b，c.由题意可知，这段时间内该3个开关是否能够闭合相互之间是没有影响的根据相互独立事件的概率乘法公式，可得这段时间内3个开关都不闭合的概率是p(