数学知识生成过程的认识的策略探讨.doc

数学知识生成过程的认识的策略探讨义务教育数学课程标准注重过程性目标，强调使学生经历数学知识的产生和发展过程，在知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等方面得到全面发展.笔者认为，正确把握数学课标的这一理念，就是要从数学的学科特点和学生认知特点出发，以数学教材为基本依据，挖掘数学知识所蕴涵的教育资源，为学生设计一个数学活动经验积累和数学知识自我建构的过程，使他们在数学知识的理解和应用的过程中，不断激发数学学习的兴趣，提升数学思维，培养创新精神和实践能力.本文将在阐释数学知识生成过程含义的基础上，着重讨论教学的实践问题. 一、数学知识生成过程的认识 数学知识是客观事物在数与形方面的特征与联系在人脑中的能动反映.“数学知识是人类认识的一种成果，包括人对周围事物数与形方面的经验和有秩序的论理体系两个方面.当前，人们把数学知识分为明确知识（如数学事实、数学原理等）和默会知识（如数学思想方法、解决问题的策略等）.”1数学知识不仅表现为数学概念、定理、法则、公式等“陈述性知识”，还表现为数学思想方法等“程序性知识”.1（17）把数学知识分为陈述性知识和程序性知识，是对数学知识本质理解的深化.实际上，数学概念、定理、公式、性质、法则等陈述性知识中蕴涵着丰富的数学思想方法；而数学思想方法是建立在数学概念、定理、法则、公式之上的，如果没有数学的基本事实、基本原理、基本概念，也就谈不上什么数学思想方法. 传统上，数学教科书更关注知识的逻辑结构，强调定义的准确性、逻辑的严密性等，常常以一种学术化的、确定的方式呈现，对知识的发生发展过程以及学生的主体活动重视不够.根据课程标准编写的教科书，在继承传统教材优点的基础上，关注了数学知识的发生发展过程，通过创设“观察”“思考”“探究”等栏目，以问题情景、概括与归纳、探究与延伸等方式构建学生的数学活动过程，不仅贴近了学生的生活实际，也更好地反映了数学知识的生成过程，从而使教科书在激发学生的求知欲望，引导学生独立思考，让学生经历数学知识的“再发现”“再创造”过程，促进学生理解数学概念及其蕴涵的思想方法，学会应用数学知识解决问题，以及使学生通过数学活动而获得积极的情感体验等方面都取得了实质性进步. 我国数学教育的特色和优势是注重双基教学.但在应试教育的大环境下，不少教师把双基教学等同于结论性知识和解题技巧的教学，从而导致学生问题意识不强，缺乏必要的知识自我建构活动，数学知识的“再发现”“再创造”过程被知识的记忆和机械模仿训练所代替，“课堂教学演变为题型教学，题型教学又进一步蜕变为刺激一反应训练.”2（3）因此，当前的数学教学改革，仍然应该注重知识的生成过程.也就是说，教师应注重开发学生生活中的“数学元素”，借以构建数学问题情境，为数学知识的发生、发展提供“生长”基础；借助数学史、数学思想和数学方法论等，从数学概念、命题、法则、公式、性质甚至数学符号中，推知数学知识的“生长过程”3，并将数学知识中蕴涵的数学家的思维打开，通过知识生长过程的“复原”，为学生构建数学知识的学习路线；利用数学教材设置的“观察”“思考”“探究”“归纳”等栏目，引导学生开展观察、分析、综合、抽象、概括等认知活动，实现数学知识的自我建构. 二、数学知识生成过程的教学实践 课标教材注重数学知识的背景和引入，通过“观察”“思考”“探究”“归纳”等栏目，为学生“预留”了探索与交流的空间，把数学知识的生成过程以显性的、确定的方式呈现出来，这种呈现方式为教师提供了“创造性使用教材”的空间.然而，尽管教材实验已近十年，许多教师对这样的教材呈现方式仍不适应.他们或者照本宣科，把知识的生成过程固化为“生活化情境分组讨论代表发言教师概括学生谈体会”的“新八股”；或者将“题型+技巧”的教学推向极致，以解题教学代替概念、原理的教学，基础知识教学一笔带过.这些做法淡化了数学基础知识的形成过程，极大地削弱了数学基本思想的领悟过程，基本活动经验也得不到积累，学生的理性精神和良好的数学素养自然也就无法形成.这种“重结果、轻过程，重记忆、轻理解，重形式、轻实质，重训练、轻反思”的教学，降低了数学的育人价值，导致了学生的数学思维层次低下，理性精神得不到培育. 笔者认为，为了有效地扭转上述偏差，使数学教学回归注重知识生成过程的正轨，应注意在实践中把握好以下几个问题. （一）生成性目标的定位 教学目标是教学活动的出发点和归宿，它导引、控制、调节着教学活动的全过程.教师在预设学生的活动时，要把握好数学活动的生成性目标. 与结果性目标相区别，生成性目标关注学生亲历和体验丰富的数学基本活动（感性与理性），体悟数学基本思想与方法，感受数学理性精神.我们可以从“看、听、说、思、想”等几个环节分别设置生成性目标.看，就是设置观察（数学特征）、欣赏（数学美）的环节，学生在观察或欣赏中感知数学对象；听，就是设置倾听、批判性倾听的环节，学生在倾听中培养批判性思考能力；说，就是设置提问、回答、交流等即时性对话平台，学生在对话中培养交流、表达能力；思，就是设置恰当的问题情境，学生在问题引导下进行分析与综合、归纳与类比、抽象与概括等思考活动，获得发现、发展数学知识的经验；想，就是设置一定的学习环节，引导学生进行猜想、想象、联想等活动，发展数学思维能力. （二）生成性内容的开发 人教版初中数学课程标准实验教材充分考虑了继承、借鉴、发展、创新的辩证关系，在坚持教材的科学性、严谨性等优良传统的前提下，通过栏目创新，设置了大量的数学知识可生成素材.教师“创造性地使用教材”，就是要结合当地的教学条件，从学生的年龄特征和认知基础出发，将教材提供的素材转化为现实的知识生成过程，经过课堂教学实施，实现学生对数学知识的“知其源（追溯源头）、会其神（领悟本质）、通其用（感受价值）”的实践活动.下面以“数轴”概念的教学设计为例给予说明. 案例1“数轴”概念教学片段 生活情景 在一条东西向的马路上，有一个汽车站，汽车站东3 m和7.5 m处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站西3 m和4.8 m处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画出图表示这一情境. 独立研究 学生结合自己已有的知识对问题进行分析、比较，教师注意在学生独立研究时进行巡视指导，关注他们画图的方法. 问题思考 怎样用数简明地表示这些树、电线杆与汽车站的相对的位置关系（方向与距离）？（概括共同本质特征得到概念的本质属性） 教师评析 教师组织学生进行讨论，对研究情况进行分析、评价.在学生研究、交流后展示： 如图1，为了使表达清楚，从相反意义的量的关系看，可以把点O左右两边的数分别用负数和正数表示.再让学生对以正、负数表示的实际意义给予分析. 经验再现 像这样，“带有数据的直线”还有很多，如直尺、弹簧秤、温度计（如下页图2）等. 数学建模 图2中的温度计可以看作是表示正数、0和负数的直线吗？它与图1中的直线有什么共同点，有什么不同点？（学生结合两个图形的共同点进行比较、思考，教师注意对学生的比较情况给予评价.） 共同点：都是一条直线，都有表示方向的箭头，都有表示相反意义的两种量的数据：正数、负数. 不同点：一条直线是水平的，另一条是竖直的，所表示的数据的刻度长度不一样. 教师引导学生从两个问题的图形中寻找共同本质特征，可以得到图3. 数轴的概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.原点、正方向和单位长度是数轴的三要素. 数轴的画法：师生共同总结画数轴的步骤. 一般而言，注重知识生成过程的概念教学应经历以下环节：（1）背景引入；（2）通过典型丰富的具体事例（尽量让学生自己举例），引导学生展开分析、比较、综合等活动；（3）概括共同本质特征，得到概念的本质属性；（4）下定义（用准确的数学语言表达）；（5）概念的辨析；（6）用概念作判断的具体事例；（7）概念的精致.2（2） （三）生成性资源的捕捉 数学教学是思维的教学.“在数学教学中高超地捕捉学生思维的闪光点（课堂中生成的资源）的能力是教师教学水平的集中体现.”“在教学中，如果教师能及时发现即时生成的教学资源，并通过恰当的问题激发学生进一步思考，就能有效地促进学生的数学理解.”4（3）要使学生真正理解数学，必须让他们在亲历亲为的探索中获得体验.由于学生的个体差异，常常会出现个性化的语言、直觉结论、典型错漏、新奇构思、灵感、讨论碰撞等所形成的智慧火花，这些都是生成性知识的重要源泉.教师要随着学生思维的拓展、心态的逆转和情绪的波动，敏锐把握各种教育契机，捕捉课堂中出现的问题、疑难、困惑、创新（甚至是意外）等生成性资源，适时加以引导、深化，创造性地加以重组，以形成新的数学知识生长点. 下面是“三角形的内角”生成性资源捕捉的教学案例. 案例2一点锁定180 探究新知 （1）情景、设疑 师：同学们回忆一下，我们在小学是用什么方法来验证“三角形的内角和等于180度”的？ （2）剪纸、拼图 ：用量角器量各个内角的度数，计算它们的和，得出结论. ：用撕拼的方法，将三角形中的两个角剪下，拼在第三个角旁，看是否构成平角. ：用折纸的方法，将三个角折叠到一起. 师：上面三名同学为我们提供了验证的方法.下面我们以小组为单位进行验证，验证完后请同学代表你们的小组上来展示验证方法. ：我们用两种方法进行验证： 一种方法是测量法，如图4，分别测得A=58，B=62，C=60，这样就有： A+B+C=58+62+60=180； 另一种方法是剪拼法，如图5，将A、B剪下拼到点C处，可以得到A+B+C=180. 师：你怎样判断A+B+C=180？ ：因为A、B、C它们拼成了一个平角. ：我们小组也是用剪拼的方法，不过拼的方法和他们的不一样.这是我们拼的图形（如图6），A、B、C也拼成了一个平角. ：我们小组是这样拼的，只把A移动拼在C处（如下页图7）.根据两直线平行，同旁内角互补，可得到：A+B+C=180. （3）发现、生成 师：好，数学结论正确性是要建立在推理基础上的.上述实验结果是否可靠，还需要加以证明.刚才的拼图过程已经为我们提供了证明思路和方法，请把你们的方法由来及证明方法在小组内说说.再请一名同学代表你们小组进行“学术报告”.在汇报结束后，我们针对他的方法和依据提出问题，然后请做汇报的同学答辩. （第6小组的代表）：过点C作CD/AB，延长BC到E（如图8），证明过程如下： 因为1=A，2=B，所以A+B+C=180. ： 的说理过程有问题，以下是我们小组的说理过程： 因为CD/AB，所以1=A（两直线平行，内错角相等）， 2=B（两直线平行，同位角相等）， 又因为ACB+1+2=180（平角意义），所以A+B+C=180. 师：不错，补充以后因果关系就比较清楚了.老师还有一个疑问，你是怎样想到过点C作AB的平行线CD的？ ：由图5的拼法可以发现：把A剪下并拼到点C处时，得到A=A，根据内错角相等，可以得到两直线平行；反过来，如果两直线平行，那么A=A，就相当于把A剪下并拼到点C处.这样，我们就得到图8的作平行线方法. 师：你们很善于借助拼图中的经验，如果不作平行线呢？ ：如图9，我直接在点C处以点C为角的顶点，CA为角的一边，在三角形外画1=A.理由如下： 因为1=A，所以CD/AB（内错角相等，两直线平行）. 因为CD/AB，所以2=B（两直线平行，同位角相等）. 所以有A+B+ACB=1+2+ACB=180. 师：好！其他小组还有别的方法吗？ （第4小组的代表）：我们受图6的启发，过点C画EF/AB，如图10.这样相当于把A、B拼在C的两旁.理由为： 因为EF/AB，所以1=A， 2=B（两直线平行，内错角相等）. 所以有A+B+ACB=1+2+ACB=180. ：（第1小组代表）：我们受拼图7的启发，如图11，过点C作CD/AB.理由如下： 因为CD/AB，所以B+BCD=180（两直线平行，同旁内角互补）. 所以A+B+ACB=180. ：我认为 的说理不够准确.应在第一个“所以”后加上“ACD=A（两直线平行，内错角相等）”. 师：我有点佩服大家了（学生笑），不仅能从拼图中发现方法，采用不同的途径证明“三角形的内角和等于180度”（板书），而且道理也讲得明白. （4）拓展、探究 由于平行线这种辅助线作法在平面几何中有着很重要的应用，教师抓住时机，提出问题. 师：有人说“过平面上任一点作三角形边的平行线均可证明三角形内角和结论”，你们认为行吗？ 一石激起千层浪，此时，学生已发现过三角形的顶点作对边的平行线可达目的.学生在学习小组内展开了积极的讨论，尝试过其他点画平行线，不一会儿就有学生举手. ：如下页图12，在BC上任意取一点P，作PE/AC、PD/AB.说理过程如下： 因为PD/AB，所以1=B、A=2（两直线平行，同位角相等）. 因为PE/AC，所以3=C（两直线平行，同位角相等）. 4=2（两直线平行，内错角相等）. 所以A+B+C=3+4+1=BPC=180. （第2小组的代表）：如图13，在ABC的内部任取一点P，分别作MN/BC、PD/AB、PE/AC.思路如下： 因为MN/BC，所以AMN=B、ANM=C（两直线平行，同位角相等）. 接下来就可以转化为生3的证明方法了. （第3小组的代表）：在ABC外任取一点P，如图14所示，分别作MN/BC交AB、AC的延长线于点M、N，作PD/AB、PE/AC分别交AC、AB于点D、E. 证明方法和 的方法差不多. 在学生解决问题之后，教师提出一个能激发学生继续研究的问题，引导学生进入到新的研究境地，学生在这个研究境地中发现的就不再是个别的解决问题的方法，而是通过合作研究，发现不同解决问题方法之间的转化途径.让学生“身不由己”经历从“一般到特殊”，再由“特殊到一般”的过程. （5）归纳、升华 师：大家都研究好了，那么，如何把我们研究的方法归纳一下呢？ ：我认为从作平行线的点的位置分类归纳好些，可分三种情况：点在三角形边上；点在三角形内；点在三角形外. 师：好！请一个同学把刚才的方法归纳一下. ：我们发现过三角形所在平面内的任意一点作三角形边的平行线，均可达到目的： 如果过三角形的顶点做平行线，只需作一条平行线即可，如图8、图10、图11的情形； 如果过三角形一边上一点作平行线（顶点外，含边的延长线上的点），需作两条平行线，如图12的情形； 如果过三角形内或外一点作平行线，需作三条平行线，如图13、图14的情形. 师：通过以上各种方法的研究，我给你们的研究方法概括为：一点“锁定”180度. 正当教师准备结束三角形内角和结论的论证时，又有一个学生把手高高举起了. ：我们发现过三角形的任一顶点作平行线也可论证.下面是论证过程： 如图15，在BC上取点D，连接AD，过点B、C分别作BE/AD，CF/AD. 因为BE/AD，CF/AD，所以BE/AD/CF， 所以1=3，4=2（两直线平行，内错角相等）， EBC+FCB=180（两直线平行，同旁内角互补）. 又因为BAC=3+4，所以有ABC+BAC+ACB=180，即 A+B+C=180. 师：很好！这种方法是正确的，我都没有想到这样的方法，看来研究这个问题的方法还是很多的，相信同学们一定还能发现其他方法.课后继续在小组内研究交流，好的方法告诉老师. 通过教师的引导，把学生研究的方法加以归纳总结，学生研究问题的思想方法就不再是零散的、单一的，而是“多法合一”.同时，也点燃了学生思维的火花，为今后多边形内角和的论证提供了方法上的借鉴. 在捕捉生成性资源时，上述课例强调了学生已有的知识背景（三角形内角和的知识），学生的实践活动（动手剪拼），学生的抽象概括（由剪拼图抽象成几何模型），学生的知识迁移（由几何模型到辅助线的作法），学生的思维发散（强调联系、联想），渗透数学思想（分类、化归、一般与特殊）. （四）生成性评价的构建 生成性评价的目的主要是对学生在数学学习过程中表现出的行为和状态进行调控.生成性评价活动与学生的数学学习活动融为一体，与教学过程同步进行，关注学生在教学活动中的表现，为改进教学进程提供即时信息.生成性评价的构建依托数学知识生成过程来进行定位，从数学知识的生成性教学目标的确定步入，在课堂实施环节中，对教学内容（数学知识）的生成性预设与实践进行评价，突出课堂活动中师生互动形成的生成性资源的评价.这样，教学评价不仅关注了知识的形成过程，关注了课堂师生教学活动，而且能用发展的眼光关注生成性资源的构建，从学生主体发展角度进行评价.落实全面发展的教学评价目标. 基于此，在生成性评价构建中应主要突出以下几个重要环节. 1.关注学生在生成过程中的思考方法和思维习惯的评价 作为教师，要从数学知识的生成性教学目标确定那一刻起，就应引导学生对数学的思考和理解，关注学生的思考问题的方法和思维习惯.不应只关注是否记住了某些公式、定理以及是否获得了某个数学问题的解答.只有加强对学生思考方法和思维习惯的关注，学生才会在教师指导下，对数学问题刨根问底、独立思考.激活创新思维，于“无意识”中迸发出“生成性”火花. 2.关注学生在生成过程中发现问题和提出问题能力的评价 善于从相关学习材料中发现问题，并通过抽象、概括提出问题的能力，更能体现学生探究能力、实践能力和创新思维能力和水平.在生成性评价中，要对学生发现和提出问题的能力进行评价，关注他们发现与提出问题的积极性和自信心，借助评价引导学生学会欣赏他人“发现”的结果，并逐渐形成“追问”和“质疑”的意识.这样，才能为生成性资源创设“迸发”的空间. 3.关注学生在生成过程中数学表达和交流能力的评价 数学表达和交流能力包括叙述能力、判断能