乘法公式——平方差公式.doc

第14章平方差公式（第1课时）教学设计一、教学内容的本质、地位、作用：平方差公式是多项式乘法的后续学习及再创造活动的结果，是从一般到特殊的认知规律的典型范例。对它的学习和研究，不仅为特殊多项式的乘法提供了简便算法，而且为以后学习因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程等内容奠定了坚实的基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法。因此，平方差公式在初中阶段的教学中具有举足轻重的地位，是初中阶段学习的第一个非常重要的计算公式。二、教学问题诊断：学生已熟练掌握了幂的运算和整式乘法，但在进行多项式乘法运算时，常常会弄错某些项的符号，并出现漏项等问题。由此，学生学习平方差公式的困难在于：（1）不能准确把握公式结构的本质特征（2）不能真正理解公式中字母代表的广泛意义。因此，教学中引导学生分析公式的结构特征，并运用变式训练揭示公式的本质特征，以加深学生对公式的理解，是当务之急，也是重中之重。三、教法特点及预期效果：1、教法特点：以问题为线索，学生在动口、动手、动脑中使知识再创造，并展示学生探索成果，让学生感受学习数学是一件快乐的事。从中让学生明确获取知识只有通过自己的探索才能不仅“知其然”，而且“知其所以然”；透过表象看公式特征，而不是死记硬背，在应用中学会知识的迁移，抓住公式的结构特征，提高学生的灵活运用能力。2、预期效果：让学生掌握平方差公式的结构特征，并能运用公式进行简单的计算。四、教学目标：1掌握平方差公式的结构特征，并能运用公式进行简单的计算。2在探索平方差公式的过程中，体会数形结合的思想方法，进一步发展学生的符号感和观察、推理、归纳能力。3通过公式的探究，让学生获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信。五、教学重点：经历探索平方差公式的全过程，并能运用公式进行简单的运算。六、教学难点：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式进行计算；公式几何意义的理解。七、教学过程：（一）课前复习、准备：1、各小组长领取本组课上探究所需学具：正方形纸片2、复习回顾：多项式与多项式是如何相乘的？计算：（2a+3b）（4a-6b）【设计意图】复习回顾多项式乘多项式的运算法则，为后面学生验证平方差公式做好铺垫，同时为平方差公式的应用提供一个随机的变式训练，前后照应。（二）课上探究：【活动一】计算下列各题:(1) (x+1)(x-1 )=?(2) (a+2)(a-2)=? (3) (3-x)(3+x)=? (4) (2m+n)(2m-n)=?思考：1 式子的左边具有什么共同特征？ 2 它们的结果又什么特征？ 3 能不能用字母表示你的发现？点拨：由于等式右边是两数平方差的形式，因此此公式叫“平方差公式”【设计意图】由学生自己给公式取名，会极大地增加学生学习数学的兴趣，同时通过取名这一活动能让学生更深刻地认识和理解公式。师进一步点拨、强调，师生共同完成，及时巩固：平方差公式：_问题：你能将上述公式转化成文字语言吗？（学生独立思考后，小组内交流，小组代表发言）文字叙述：_【设计意图】鼓励学生用自己的语言表述，从而提高学生的语言组织、表达能力；加深学生对公式的理解和记忆。 问题：如何证明这个结论？学生在自己学案上利用多项式的乘法法则推导出公式（一名学生到黑板前板演推导过程）（a+b）（a-b）a2-ab+ab-b2=a2-b2【设计意图】让学生经历探究发现猜想验证的学习过程，体会数学这门学科的严谨性。精讲点拨：平方差公式的特点：1左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数2右边是相同项与相反项的平方差3公式中的字母可以表示任意数（正数和负数），也可以代表单项式或多项式等代数式【活动三】有效训练（平方差公式的应用）自主学习：分层训练（1）直接运用新知，解决第一层次问题：试一试、你能用平方差公式直接计算下列各式结果吗？ (a+b)(a-b)a（相同的项）b（互为相反数的项）a2b2（平方差的形式）（y+3)(y-3)(a+3b)(a-3b)（-m-n）(-m+n)（a+b+c）(a+b-c)精讲点拨：运用平方差公式进行计算，关键是找出公式中的a和b。最后一题是两个三项式相乘，如果两个式子中，它们的项数相同，有几项是相同的，有几项互为相反数，那么相同的项即为公式中的a，相反的项即为公式中的b,它也能用平方差公式进行计算。【设计意图】1、进一步巩固学生对公式的认识和理解；2、在认清公式的结构特征的基础上，进一步剖析a、b的广泛含义，抓住了概念的核心，使学生在公式的运用中能得心应手，起到事半功倍的效果。（2）间接运用新知，解决第二层次问题：自学例1，然后仿照例1独立运用平方差公式计算：(-2x+3)(3+2x) (3b+2a)(2a-3b) （-1-2a）(-1+2a) （a5-b2）（a5+b2） 【设计意图】检查学生对平方差公式本质的理解程度，从而加深学生对公式的本质把握。（3）灵活运用新知，解决第三层次问题：灰太狼开了租地公司,一天他把一边长为a米的正方形土地租给慢羊羊种植.有一年他对慢羊羊说:“我把这块地的一边增加5米,另一边减少5米,再继续租给你, 你也没吃亏,你看如何?”慢羊羊一听觉得没有吃亏,就答应了.回到羊村,就把这件事对喜羊羊他们讲了,大家一听,都说道:“村长，您吃亏了!” 慢羊羊村长很吃惊同学们,你能告诉慢羊羊这是为什么吗? 引导学生画出图形分析。小红准备用一块边长为a厘米的正方形花布做成手绢，但在缝制的过程中，花布的一角不小心被染上污渍，使正方形花布的这一角有边长为b厘米的小正方形花布无法再使用。（把发到你们手中的正方形纸片当作那块“花布”）他无从下手，我也是束手无策。请同学们帮助设计一下，把不规则花布通过剪拼变成规则花布来缝制手绢，看谁的办法多！”活动方式：1、各小组成员先独立剪拼正方形纸片，然后小组内交流各自的不同方法。2、师巡视，派有不同拼法的小组代表到黑板前展示本组交流成果，师根据成果给予量规评价。3、思考：不规则花布的面积如何用代数式表示？规则花布的面积又如何表示?它们之间有怎样的关系？（各小组代表将本组所展示图形的面积用代数式表示出来。）精讲点拨： 对于同一个图形，无论用什么方法来求它的面积，这个面积会不会改变？从中你又能发现什么？【设计意图】1、从学生身边感兴趣的几何问题出发，创设问题情境，极大地激发了学生的学习兴趣，并提高了学生的学习积极性；2、平方差公式的代数形式学生容易用乘法公式马上推导出来，但是它的几何意义学生较难掌握。这一问题的引入很自然地让学生理解了公式的几何意义，体会到代数与几何的内在联系，可谓事半功倍，一举两得。自主学习 合作交流（学生自学例2，运用平方差公式计算下列各题) （1）59.860.2 （2）(x+y)(x-y)(x2+y2) 精讲点拨：应用平方差公式会使计算变得更加简便合作交流：归纳总结，形成知识网络在应用平方差公式解题过程中我们应注意什么问题？【设计意图】分三个层次，让学生体会平方差公式的特点：第一个层次直接应用公式，第二个层次是交换括号或括号内各项的位置，或先提公因式再运用公式进行计算，第三个层次是平方差公式的灵活运用。通过做题让学生总结出平方差公式的应用技巧：（1）两个括号内含相同字母的项，有的符号相同，有的符号相反，才能运用平方差公式进行计算；（2）运用平方差公式进行计算的结果是相同项的平方减去相反项的平方。在此环节中，对于学生出现的重点、难点问题，教师要及时地引导、点拨，拓展与变化，要在课堂中引起讨论，激发学生思维，让学生从本质上解决问题。精讲点拨可以由教师讲，也可以由学生讲，是一个归纳、发展、提升的过程。（三）总结概括，自我评价这节课你有哪些收获？还有什么困惑？【设计意图】从知识和情感态度两个方面加以小结，使学生对本节课的知识有一个系统全面的认识。（四）课堂达标：计算：（1）（-a-b）（a-b） （2）（3a+2b）（3a-2b）（3）10397 （4）（a-b）（a+b）（a2+b2） 【设计意图】对本节重点内容进行现场检测，及时了解教学目标的达成情况（五）分层作业：A层： 习题14.2 1.题 B层： 1. 20072009-200822. 若x+y=2,x-y=7，求x2-y2【设计意图】作业分层处理有较大的弹性，体现作业的巩固性和发展性原则，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，让不同的人在数学上得到不同的发展（六）课后延伸：王红同学在计算（2+1)(22+1)(24+1)时，将积式乘以（2-1）得：解：原式 = (2-1)(2+1)(22+1)(24+1)= (22-1)(22+1)(24+1)= (24-1)( 24 +1)= 28-1你能根据上题计算: (2+1)( 22 +1)( 24 +1)( 28+1) (216+1) 的结果吗？【设计意图】拓展学生思维，体会应用公式的灵活性。情境导入今天老师遇到了一个难题，还请同学们伸出援助之手，“慷慨解囊”！我是小小设计师：小红准备用一块边长为a厘米的正方形花布做成手绢，但在缝制的过程中，花布的一角不小心被染上污渍，使正方形花布的这一角有边长为b厘米的小正方形花布无法再使用。（把发到你们手中的正方形纸片当作那块“花布”）他无从下手，我也是束手无策。请同学们帮助设计一下，把不规则花布通过剪拼变成规则花布来缝制手绢，看谁的办法多！”【设计意图】1、以帮助老师解决困难的形式，从学生身边感兴趣的几何问题出发，创设问题情境，极大地激发了学生的学习兴趣，并提高了学生的学习积极性；2、平方差公式的代数形式学生容易用乘法公式马上推导出来，但是它的几何意义学生较难掌握。这一问题的引入很自然地让学生理解了公式的几何意义，体会到代数与几何的内在联系，可谓事半功倍，一举两得。【活动