【创新设计】高考数学一轮复习 第二篇 函数、导数及其应用教案 北师大版(1).doc

第二篇函数、导数及其应用第1讲函数及其表示最新考纲1了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念2在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数3了解简单的分段函数，并能简单地应用.知 识 梳 理1函数的基本概念(1)函数的定义给定两个非空数集a和b，如果按照某个对应关系f，对于集合a中的任何一个数x，在集合b中都存在唯一的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合a上的函数，记作f：ab或yf(x)，xa.(2)函数的三要素函数由定义域、值域、对应关系三个要素构成，对函数yf(x)，xa，其中定义域：自变量x的取值范围值域：函数值的集合f(x)|xa(3)表示函数的常用方法有：列表法、图像法、解析法(4)分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫作分段函数分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数2函数定义域的求法类型x满足的条件，nnf(x)0与f(x)0f(x)0logaf(x)f(x)0四则运算组成的函数各个函数定义域的交集实际问题使实际问题有意义3.函数值域的求法方法示例示例答案配方法yx2x2y性质法yexy(0，)单调性法yxy2，)换元法ysin2 xsin x1y分离常数法yy(，1)(1，)辨 析 感 悟1对函数概念的理解(1)(教材习题改编)如图：以x为自变量的函数的图像为.()(2)函数y1与yx0是同一函数()2函数的定义域、值域的求法(3)(2013广东卷改编)函数y的定义域为(1，)()(4)(2014江西重点中学协作体联考改编)函数f(x)的值域为(0,1()3分段函数求值(5)(2013临川模拟改编)设函数f(x)则f(f(3).()(6)(教材习题改编)设函数f(x)若f(a)4，则实数a2或4.()4函数解析式的求法(7)已知f(x)2x2x1，则f(x1)2x25x2.()(8)已知f(1)x，则f(x)(x1)2.()感悟提升1一个方法判断两个函数是否为相同函数一是定义域是否相同，二是对应关系即解析式是否相同(注意解析式可以等价化简)，如(2)2三个防范一是求函数的定义域要使给出解析式的各个部分都有意义，如(3)；二是分段函数求值时，一定要分段讨论，注意验证结果是否在自变量的取值范围内，如(6)；三是用换元法求函数解析式时，一定要注意换元后的范围，如(8).考点一求函数的定义域与值域【例1】 (1)(2013山东卷)函数f(x)的定义域为()a(3,0b(3,1c(，3)(3,0d(，3)(3,1(2)函数y的值域为_解析(1)由题意解得3x0.(2)y1，因为0，所以11.即函数的值域是y|y1答案(1)a(2)y|y1规律方法(1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可(2)求函数的值域：当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；若与二次函数有关，可用配方法；当函数的图像易画出时，可以借助于图像求解【训练1】 (1)(2013重庆卷)函数y的定义域为()a(，2)b(2，)c(2,3)(3，)d(2,4)(4，)(2)(2014南昌模拟)函数f(x)log2(x11)的值域为()arb(0，)c(，0)(0，)d(，1)(0，)解析(1)由题意知解得(2)因为x1111，所以f(x)log2(x11)log210，所以f(x)log2(x11)的值域为(，0)(0，)答案(1)c(2)c考点二分段函数及其应用【例2】 (1)设函数f(x)则满足f(x)2的x的取值范围是()a1,2b0,2c1，)d0，)(2)已知实数a0，函数f(x)若f(1a)f(1a)，则a的值为_解析(1)当x1时，由21x2，知x0，即0x1；当x1时，由1log2x2，知x，即x1.所以满足f(x)2的x的取值范围是0，)(2)当a0时，1a1,1a1.此时f(1a)2(1a)a2a，f(1a)(1a)2a13a.由f(1a)f(1a)，得2a13a，解得a.不合题意，舍去当a0时，1a1,1a1，此时f(1a)(1a)2a1a，f(1a)2(1a)a23a.由f(1a)f(1a)，得1a23a，解得a.综上可知，a的值为.答案(1)d(2)规律方法(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围【训练2】 (2014咸阳模拟)已知函数f(x)则ff(2 013)()abc1d1解析f(2 013)22 0132 0082532，所以ff(2 013)f(32)2cos 2cos 1.答案d考点三求函数的解析式【例3】 (1)已知flg x，求f(x)的解析式(2)f(x)为二次函数且f(0)3，f(x2)f(x)4x2.试求出f(x)的解析式(3)定义在(1,1)内的函数f(x)满足2f(x)f(x)lg(x1)，求函数f(x)的解析式解(1)令1t，由于x0，t1且x，f(t)lg ，即f(x)lg (x1)(2)设f(x)ax2bxc(a0)，又f(0)c3.f(x)ax2bx3，f(x2)f(x)a(x2)2b(x2)3(ax2bx3)4ax4a2b4x2.f(x)x2x3.(3)当x(1,1)时，有2f(x)f(x)lg(x1)以x代替x得，2f(x)f(x)lg(x1)由消去f(x)得，f(x)lg(x1)lg(1x)，x(1,1)规律方法求函数解析式常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)方程法：已知关于f(x)与f或f(x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)【训练3】 (1)若f(x1)2x21，则f(x)_.(2)定义在r上的函数f(x)满足f(x1)2f(x)若当0x1时，f(x)x(1x)，则当1x0时，f(x)_.解析(1)令tx1，则xt1，所以f(t)2(t1)212t24t3.所以f(x)2x24x3.(2)当1x0时，有0x11，所以f(1x)(1x)1(1x)x(1x)，又f(x1)2f(x)，所以f(x)f(1x).答案(1)2x24x3(2)1函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础因此，我们一定要树立函数定义域优先意识2函数有三种表示方法列表法、图像法和解析法，三者之间是可以互相转化的；求函数解析式比较常见的方法有凑配法、换元法、待定系数法和方程法等，特别要注意将实际问题转化为函数问题，通过设自变量，写出函数的解析式并明确定义域教你审题1分段函数中求参数范围问题【典例】 (2013新课标全国卷)已知若，则a的取值范围是()a(，0b(，1c2,1d2,0(1)审题一审条件：f(x)转化为一元二次函数与对数函数的图像问题如图(1)二审条件：|f(x)|ax，由f(x)的图像得到|f(x)|的图像如图(2)(2)三审图形：观察yax的图像总在y|f(x)|的下方，则当a0时，不合题意；当a0时，符合题意；当a0时，若x0，f(x)x22x0，所以|f(x)|ax化简为x22xax，即x2(a2)x，所以a2x恒成立，所以a2.综上2a0.答案d反思感悟 (1)问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑；(2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求【自主体验】(2014宜春模拟)已知函数f(x)则f(a)f(1)0，则实数a的值等于()a3b1或3c1d3或1解析因为f(1)lg 10，所以由f(a)f(1)0得f(a)0.当a0时，f(a)lg a0，所以a1.当a0时，f(a)a30，解得a3.所以实数a的值为a1或a3，选d.答案d基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1下列各组函数表示相同函数的是()af(x)，g(x)()2bf(x)1，g(x)x2cf(x)g(t)|t|df(x)x1，g(x)解析a选项中的两个函数的定义域分别是r和0，)，不相同；b选项中的两个函数的对应法则不一致；d选项中的两个函数的定义域分别是r和x|x1，不相同，尽管它们的对应法则一致，但也不是相同函数；c选项中的两个函数的定义域都是r，对应法则都是g(x)|x|，尽管表示自变量的字母不同，但它们依然是相同函数答案c2(2013延安模拟)函数f(x)lnx的定义域为()a(0，)b(1，)c(0,1)d(0,1)(1，)解析要使函数有意义，则有即解得x1.答案b3(2013昆明调研)设mx|2x2，ny|0y2，函数f(x)的定义域为m，值域为n，则f(x)的图像可以是()解析a项定义域为2,0，d项值域不是0,2，c项对定义域中除2以外的任一x都有两个y与之对应，都不符合条件，故选b.答案b4(2013江西师大附中模拟)已知函数f(x)若f(1)f(1)，则实数a的值等于()a1b2c3d4解析由f(1)f(1)，得a1(1)2.答案b5(2014铜川模拟)设函数f(x)2x3，g(x2)f(x)，则g(x)的表达式是()a2x1b2x1c2x3d2x7解析g(x2)f(x)2x32(x2)1，g(x)2x1.答案b二、填空题6(2014南昌模拟)函数f(x)ln的定义域是_解析由题意知0，即(x2)(x1)0，解得x2或x1.答案x|x2，或x17(2013福建卷)已知函数f(x)则f_.解析ftan1，ff(1)2(1)32.答案28已知f，则f(x)的解析式为_解析令t，由此得x(t1)，所以f(t)，从而f(x)的解析式为f(x)(x1)答案f(x)(x1)三、解答题9已知f(x)是二次函数，若f(0)0，且f(x1)f(x)x1.求函数f(x)的解析式解设f(x)ax2bxc(a0)，又f(0)0，c0，即f(x)ax2bx.又f(x1)f(x)x1.a(x1)2b(x1)ax2(b1)x1.(2ab)xab(b1)x1，解得f(x)x2x.10某人开汽车沿一条直线以60 km/h的速度从a地到150 km远处的b地在b地停留1 h后，再以50 km/h的速度返回a地，把汽车与a地的距离s(km)表示为时间t(h)(从a地出发开始)的函数，并画出函数的图像解由题意知：s其图像如图所示能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1设f(x)lg，则ff的定义域为()a(4,0)(0,4)b(4，1)(1,4)c(2，1)(1,2)d(4，2)(2,4)解析0，2x2，22且22，取x1，则2不合题意(舍去)，故排除a，取x2，满足题意，排除c、d，故选b.答案b2已知函数yf(x)的图像关于直线x1对称，且当x(0，)时，有f(x)，则当x(，2)时，f(x)的解析式为()af(x)bf(x)cf(x)df(x)解析当x(，2)时，则2x(0，)，f(x).答案d二、填空题3(2013赣州模拟)设函数f(x)则满足f(x)的x值为_解析当x(，1时，2x22，x2(舍去)；当x(1，)时，log81x，即x81343.答案3三、解答题4若函数f(x)x2xa的定义域和值域均为1，b(b1)，求a，b的值解f(x)(x1)2a，其对称轴为x1，即函数f(x)在1，b上单调递增f(x)minf(1)a1，f(x)maxf(b)b2bab，又b1，由解得a，b的值分别为，3.第2讲函数的单调性与最大(小)值最新考纲1理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义2会运用函数图像理解和研究函数的单调性.知 识 梳 理1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义在函数yf(x)的定义域内的一个区间a上，如果对于任意两数x1，x2a当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间a上是增加的当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间a上是减少的图像描述自左向右看图像是上升的自左向右看图像是下降的续表(2)单调区间的定义如果yf(x)在区间a上是增加的或是减少的，那么称a为单调区间2函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为d，如果存在实数m满足条件(1)对于任意xd，都有f(x)m；(2)存在x0d，使得f(x0)m.(3)对于任意xd，都有f(x)m；(4)存在x0d，使得f(x0)m.结论m为最大值m为最小值辨 析 感 悟1函数单调性定义的理解(1)对于函数f(x)，xd，若x1，x2d且(x1x2)f(x1)f(x2)0，则函数f(x)在d上是增函数()(2)函数f(x)2x1在(，)上是增函数()(3)(教材改编)函数f(x)在其定义域上是减函数()(4)已知f(x)，g(x)2x，则yf(x)g(x)在定义域上是增函数()2函数的单调区间与最值(5)函数yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，)()(6)(教材改编)函数y的单调递减区间是(，0)(0，)()(7)(2013北京卷改编)函数ylg|x|的单调递减区间为(0，)()(8)函数f(x)log2(3x1)的最小值为0.()感悟提升1一个区别“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”的区别：前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集，如(5)2两个防范一是注意函数的定义域不连续的两个单调性相同的区间，要分别说明单调区间，不可说成“在其定义域上”单调，如(3)；二是若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集，如(6)考点一确定函数的单调性或单调区间【例1】 (1)判断函数f(x)x(a0)在(0，)上的单调性(2)(2013高安中学模拟)求函数ylog(x24x3)的单调区间解(1)法一任意取x1x20，则f(x1)f(x2)(x1x2)(x1x2)(x1x2).当x1x20时，x1x20,10，有f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，此时，函数f(x)x(a0)在(0，上为减函数；当x1x2时，x1x20,10，有f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，此时，函数f(x)x(a0)在，)上为增函数；综上可知，函数f(x)x(a0)在(0，上为减函数；在，)上为增函数法二f(x)1，令f(x)0，则10，解得x或x(舍)令f(x)0，则10，解得x.x0，0x.f(x)在(0，)上为减函数；在(，)上为增函数，也称为f(x)在(0，上为减函数；在，)上为增函数(2)令ux24x3，原函数可以看作ylogu与ux24x3的复合函数令ux24x30.则x1或x3.函数ylog(x24x3)的定义域为(，1)(3，)又ux24x3的图像的对称轴为x2，且开口向上，ux24x3在(，1)上是减函数，在(3，)上是增函数而函数ylogu在(0，)上是减函数，ylog(x24x3)的单调递减区间为(3，)，单调递增区间为(，1)规律方法(1)对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；可导函数则可以利用导数解之(2)复合函数yfg(x)的单调性规律是“同则增，异则减”，即yf(u)与ug(x)若具有相同的单调性，则yfg(x)为增函数，若具有不同的单调性，则yfg(x)必为减函数【训练1】 试讨论函数f(x) (a0)在(1,1)上的单调性解设1x1x20时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1,1)上递减；当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1,1)上递增考点二利用单调性求参数【例2】 若函数f(x)在(，1)上是减函数，则a的取值范围是_解析法一f(x)a，设x1x20.由于x1x21，x1x20，x110，x210，a10，即a0时，它有两个减区间为(，1)和(1，)，故只需区间1,2是f(x)和g(x)的减区间的子集即可，则a的取值范围是0a1.答案(1)c(2)d考点三利用函数的单调性求最值【例3】 已知f(x)，x1，)(1)当a时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x1，)，f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围审题路线(1)当a时，f(x)为具体函数求出f(x)的单调性，利用单调性求最值(2)当x1，)时，f(x)0恒成立转化为x22xa0恒成立解(1)当a时，f(x)x2，联想到g(x)x的单调性，猜想到求f(x)的最值可先证明f(x)的单调性任取1x1x2，则f(x1)f(x2)(x1x2)，1x1x2，x1x21，2x1x210.又x1x20，f(x1)f(x2)，f(x)在1，)上是增函数，f(x)在1，)上的最小值为f(1).(2)在区间1，)上，f(x)0恒成立，则等价于a大于函数(x)(x22x)在1，)上的最大值只需求函数(x)(x22x)在1，)上的最大值(x)(x1)21在1，)上递减，当x1时，(x)最大值为(1)3.a3，故实数a的取值范围是(3，)规律方法求函数最值的常用方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值；(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值【训练3】 已知函数f(x)对于任意x，yr，总有f(x)f(y)f(xy)，且当x0时，f(x)0，f(1).(1)求证：f(x)在r上是减函数；(2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值(1)证明设x1x2，则f(x1)f(x2)f(x1x2x2)f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x2)又当x0时，f(x)0，而x1x20，f(x1x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在r上为减函数(2)解f(x)在r上是减函数，f(x)在3,3上也是减函数，f(x)在3,3上的最大值和最小值分别为f(3)与f(3)而f(3)3f(1)2，又函数f(x)对于任意x，yr，总有f(x)f(y)f(xy)，令xy0，得f(0)0，再令yx，得f(x)f(x)，f(3)f(3)2.f(x)在3,3上的最大值为2，最小值为2.1求函数的单调区间：首先应注意函数的单调区间是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间求函数单调区间的常用方法：根据定义、利用图像、单调函数的性质及利用导数的性质2复合函数的单调性：对于复合函数yfg(x)，若tg(x)在区间(a，b)上是单调函数，且yf(t)在区间(g(a)，g(b)或者(g(b)，g(a)上是单调函数，若tg(x)与yf(t)的单调性相同(同时为增或减)，则yfg(x)为增函数；若tg(x)与yf(t)的单调性相反，则yfg(x)为减函数简称：同增异减3函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数的单调性在确定函数最值过程中的应用易错辨析1分段函数单调性的判定【典例】 (2013汉中模拟)f(x)是r上的单调递增函数，则实数a的取值范围是()a(1，)b4,8)c(4,8)d(1,8)错解由题意知解得1a8.答案d错因忽视函数在定义域两段区间分界点上的函数值的大小正解f(x)在r上单调递增，则有解得：4a8.答案b防范措施对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图像，结合函数图像、性质进行直观的判断研究函数问题离不开函数图像，函数图像反映了函数的所有性质，在研究函数问题时要时时刻刻想到函数的图像，学会从函数图像上去分析问题、寻找解决问题的方法【自主体验】(2013新余模拟)已知f(x)是(，)上的减函数，那么a的取值范围是()a(0,1)bcd解析当x1时，loga10，若f(x)为r上的减函数，则(3a1)x4a0在x1时恒成立令g(x)(3a1)x4a，则必有即a.答案c基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1函数f(x)1在3,4)上()a有最小值无最大值b有最大值无最小值c既有最大值又有最小值d最大值和最小值皆不存在解析注意到函数f(x)在3,4)上是增函数，又函数在区间3,4)上左闭右开，故该函数有最小值无最大值，故选a.答案a2已知函数f(x)2ax24(a3)x5在区间(，3)上是减函数，则a的取值范围是()abcd解析当a0时，f(x)12x5在(，3)上是减函数；当a0时，由得0a.综上，a的取值范围是0a.答案d3(2013玉山一中模拟)已知函数f(x)为r上的减函数，则满足ff(1)的实数x的取值范围是()a(1,1)b(0,1)c(1,0)(0,1)d(，1)(1，)解析由f(x)为r上的减函数且ff(1)，得即1x0或0x0，得x，所以函数的定义域为，由复合函数的单调性知，函数f(x)log5(2x1)的单调增区间是.答案7(2012安徽卷)若函数f(x)|2xa|的单调递增区间是3，)，则a_.解析f(x)f(x)在上单调递减，在上单调递增3，a6.答案68设a1，函数f(x)logax在区间a,2a上的最大值与最小值之差为，则a_.解析由a1知函数f(x)在a,2a上为单调增函数，则loga(2a)logaa，解得a4.答案4三、解答题9试讨论函数f(x)，x(1,1)的单调性(其中a0)解任取1x1x21，则f(x1)f(x2)，1x1x21，|x1|1，|x2|1，x2x10，x10，x10，|x1x2|1，即1x1x21，x1x210，0，因此，当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，此时函数为减函数；当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，此时函数为增函数10已知函数f(x)(a0，x0)(1)判断函数f(x)在(0，)上的单调性；(2)若f(x)在上的值域是，求a的值解(1)任取x1x20，则x1x20，x1x20，f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)，因此，函数f(x)是(0，)上的单调递增函数(2)f(x)在上的值域是，又由(1)得f(x)在上是单调增函数，f，f(2)2，即2，2.解得a.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1(2014宜春模拟)下列函数中，在1,0上单调递减的是()aycos xby|x1|cyln dyexex解析对于a，结合余弦函数的图像可知，ycos x在1,0上是增函数；对于b，注意到当x1,0时，相应的函数值分别是2，1，因此函数y|x1|在1,0上不是减函数；对于c，注意到函数yln ln在1,0上是增函数；对于d，当x1,0时，yexex0，因此该函数在1,0上是减函数，综上所述，选d.答案d2已知函数f(x)x22axa在区间(，1)上有最小值，则函数g(x)在区间(1，)上一定()a有最小值b有最大值c是减函数d是增函数解析由题意知a1，又函数g(x)x2a在，)上为增函数，故选d.答案d二、填空题3已知函数f(x)(a0)在(2，)上递增，则实数a的取值范围是_解析法一任取2x1x2，由已知条件f(x1)f(x2)(x1x2)0恒成立，即当2x1x2时，x1x2a恒成立，又x1x24，则0a4.法二f(x)x，f(x)10得f(x)的递增区间是(，)，(，)，由已知条件得2，解得0a4.答案(0,4三、解答题4已知二次函数f(x)ax2bx1(a0)，f(x)若f(1)0，且对任意实数x均有f(x)0成立(1)求f(x)的表达式；(2)当x2,2时，g(x)f(x)kx是单调函数，求k的取值范围解(1)f(1)0，ab10，ba1，f(x)ax2(a1)x1.对任意实数x均有f(x)0恒成立，a1，从而b2，f(x)x22x1，f(x)(2)g(x)x22x1kxx2(2k)x1.g(x)在2,2上是单调函数，2或2，解得k2或k6.故k的取值范围是(，26，)第3讲函数的奇偶性最新考纲1结合具体函数，了解函数奇偶性的含义2会运用函数的图像理解和研究函数的奇偶性3了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.知 识 梳 理1奇函数、偶函数图像关于原点对称的函数叫作奇函数图像关于y轴对称的函数叫作偶函数2奇(偶)函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)(2)在公共定义域内两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数两个偶函数的和函数、积函数是偶函数一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数(3)若函数f(x)是奇函数且在x0处有定义，则f(0)0.3周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数t，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xt)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称t为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期辨 析 感 悟1对奇偶函数的认识及应用(1)函数yx2，x(0，)是偶函数()(2)偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点()(3)(教材习题改编)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则f(x)f(x)g(x)是偶函数()(4)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)关于直线xa对称()(5)(2013山东卷改编)已知函数f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)x2，则f(1)2.()(6)(2014鹰潭模拟改编)已知函数yf(x)是定义在r上的偶函数，且在(，0)上是减函数，若f(a)f(2)，则实数a的取值范围是2,2()2对函数周期性的理解(7)函数f(x)在定义域上满足f(xa)f(x)，则f(x)是周期为2a(a0)的周期函数()(8)(2013湖北卷改编)x为实数，x表示不超过x的最大整数，则函数f(x)xx在r上是周期函数()感悟提升1两个防范一是判断函数的奇偶性之前务必先考查函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数一定是非奇非偶函数，如(1)；二是若函数f(x)是奇函数，则f(0)不一定存在；若函数f(x)的定义域包含0，则必有f(0)0，如(2)2两个结论一是若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)关于直线xa对称；若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)关于点(b,0)中心对称，如(4)二是若对任意xd都有f(xa)f(x)，则f(x)是以2a为周期的函数；若对任意xd都有f(xa)(f(x)0)，则f(x)也是以2a为周期的函数，如(7)、(8)考点一函数奇偶性的判断及应用【例1】 (1)判断下列函数的奇偶性：f(x)；f(x)ln.(2)(2013辽宁卷)已知函数f(x)ln(3x)1，则f(lg 2)f(lg )()a1b0c1d2(1)解由得x1.f(x)的定义域为1,1又f(1)f(1)0，f(1)f(1)0，即f(x)f(x)f(x)既是奇函数又是偶函数由0，得1x1，即f(x)ln的定义域为(1,1)，又f(x)lnln1lnf(x)，则f(x)为奇函数(2)解析设g(x)ln(3x)，则g(x)ln(3x)lnln(3x)g(x)g(x)为奇函数f(lg 2)ff(lg 2)f(lg 2)g(lg 2)1g(lg 2)1g(lg 2)g(lg 2)22.答案d规律方法判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(x)是否具有等量关系在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立【训练1】 (1)(2013湖南卷)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，则g(1)等于()a4b3c2d1(2)设f(x)为定义在r上的奇函数当x0时，f(x)2x2xb(b为常数)，则f(1)()a3b1c1d3解析(1)由题意知：f(1)g(1)f(1)g(1)2，f(1)g(1)f(1)g(1)4，得g(1)3.(2)因为f(x)为定义在r上的奇函数，所以f(0)2020b0，解得b1.所以当x0时，f(x)2x2x1，所以f(1)f(1)(21211)3.答案(1)b(2)a考点二函数的单调性与奇偶性【例2】 (1)(2014山东实验中学诊断)下列函数中，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的是()af(x)bf(x)cf(x)2x2xdf(x)tan x(2)(2013江西九校联考)已知f(x)是定义在r上的偶函数，在区间0，)上为增函数，且f0，则不等式f(logx)0的解集为()ab(2，)c(2，)d(2，)解析(1)f(x)在定义域上是奇函数，但不单调；f(x)为非奇非偶函数；f(x)tan x在定义域上是奇函数，但不单调(2)由已知f(x)在r上为偶函数，且f0，f(logx)0等价于f(|logx|)f，又f(x)在0，)上为增函数，|logx|，即logx或logx，解得0x或x2，故选c.答案(1)c(2)c规律方法 对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(x)f(x)f(|x|)【训练2】 (2013天津卷)已知函数f(x)是定义在r上的偶函数，且在区间0，)上单调递增若实数a满足f(log2a)f(loga)2f(1)，则a的取值范围是()a1,2bcd(0,2解析因为f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)f(|x|)，又因为logalog2a，且f(x)是偶函数，所以f(log2a)f(loga)2f(log2a)2f(|log2a|)2f(1)，即f(|log2a|)f(1)，又函数在0，)上单调递增，所以0|log2a|1，即1log2a1，解得a2.答案c考点三函数的单调性、奇偶性、周期性的综合应用【例3】 (经典题)已知定义在r上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则()af(25)f(11)f(80)bf(80)f(11)f(25)cf(11)f(80)f(25)df(25)f(80)f(11)审题路线f(x4)f(x)f(x8)f(x)结合f(x)奇偶性、周期性把25,11,80化到区间2,2上利用2,2上的单调性可得出结论解析f(x)满足f(x4)f(x)，f(x8)f(x)，函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)由f(x)是定义在r上的奇函数，且满足f(x4)f(x)，得f(11)f(3)f(1)f(1)f(x)在区间0,2上是增函数，f(x)在r上是奇函数，f(x)在区间2,2上是增函数，