高中数学 模块复习课1 推理与证明课件 北师大版选修22.ppt

第1课时推理与证明 知识网络 要点梳理 答案 归纳推理 从特殊到特殊 从结论出发寻找结论成立的充分条件 反证法 与正整数n有关的命题 知识网络 要点梳理 1 归纳推理与数学归纳法 归纳推理是一种合情推理 但 合情 不一定 合理 其正确性都有待于严格证明 尽管如此 由归纳推理建立的 猜想 在探究新知识方面有着极其重要的作用 若是与自然数有关的 猜想 往往可以用数学归纳法来证明 2 直接证明与间接证明 综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法 但两种证明方法的思路截然相反 分析法既可用于寻找解题思路 也可以是完整的证明过程 分析法和综合法可相互转换 相互渗透 在解题中综合法和分析法联合运用 可转换解题思路 增加解题途径 反证法是一种间接证明的方法 它从命题结论的反面出发引出矛盾 从而肯定命题的结论 知识网络 要点梳理 思考辨析判断以下说法是否正确 正确的在后面的括号内画 错误的画 1 在归纳推理的过程中 前提真而结论假的情况有可能发生 2 合情推理包括归纳推理和类比推理 3 综合法与分析法都是直接证明的方法 4 正难则反 的思想与反证法原理相同 专题归纳 高考体验 专题一归纳推理与类比推理 上不等式的规律 请写出一个对正实数m n都成立的条件不等式 解析 观察所给不等式可以发现 不等号左边两个根式的被开方 专题归纳 高考体验 例2 对于问题 已知关于x的不等式ax2 bx c 0的解集为 1 2 解关于x的不等式ax2 bx c 0 给出如下一种解法 解 由ax2 bx c 0的解集为 1 2 得a x 2 b x c 0的解集为 2 1 即关于x的不等式ax2 bx c 0的解集为 2 1 答案 3 1 1 2 专题归纳 高考体验 反思感悟归纳推理的一般步骤为首先通过观察个别情况发现某些相同特征 然后从相同特征中推出一个明确表述的一般性结论 类比推理的一般步骤是先找出两类事物之间的相似性或一致性 再用一类事物的性质去推测另一类事物的性质 得到一个明确的命题 专题归纳 高考体验 变式训练1观察下列各式 a b 1 a2 b2 3 a3 b3 4 a4 b4 7 a5 b5 11 则a10 b10 a 28b 76c 123d 199解析 1 3 4 3 4 7 4 7 11 7 11 18 11 18 29 47 76 123 可得a10 b10 123 答案 c 专题归纳 高考体验 专题二综合法和分析法 专题归纳 高考体验 例4 已知x y 0 x y 1 试用分析法证明log2 x2y2 1 log2x log2y log217 2 证明 x y 0 欲证log2 x2y2 1 log2x log2y log217 2 式成立 这就证明了log2 x2y2 1 log2x log2y log217 2成立 专题归纳 高考体验 反思感悟综合法与分析法是直接证明中最基本的两种证明方法 是解决数学问题的常用方法 也是两种思路相反的推理方法 分析法是执果索因 而综合法是由因导果 两者各有优缺点 分析法容易探路 且探路与表述合一 缺点是表述易错 综合法条理清晰 易于表述 因而对于难题常把二者结合 互补优缺 形成分析综合法 专题归纳 高考体验 变式训练2设a 0 b 0 a b 1 求证 8 试用分析法和综合法分别证明 证明 方法一 综合法 a 0 b 0 a b 1 专题归纳 高考体验 方法二 分析法 a 0 b 0 a b 1 由基本不等式可知 当a 0 b 0时 2成立 当且仅当a b时等号成立 所以原不等式成立 专题归纳 高考体验 专题三反证法 例5 如图 已知两直线l m o l m l m a 求证 l与m中至少有一条与平面 相交 分析 结论中以 至少 形式出现 直接证明较困难 可考虑用反证法 证明 假设l m都不与平面 相交 它们都不在平面 内 l 且m 又l m a l a m a l m 这与已知l m是相交直线矛盾 因此 l与m中至少有一条与平面 相交 专题归纳 高考体验 反思感悟反证法是高中数学的一种重要的证明方法 在不等式和立体几何的证明中经常用到 在高考题中也经常出现 它所反映出的 正难则反 的解决问题的思想方法更为重要 反证法主要证明否定性 唯一性命题 至多 至少型问题 几何问题 专题归纳 高考体验 证明 假设a b c都不小于零 则a b c 0 x 2 2 y 2 2 z 2 2 4 12 0 因为 x 2 2 y 2 2 z 2 2 0 所以 4 12 0 即4 12 这与基本事实4 12矛盾 故a b c中至少有一个小于零 专题归纳 高考体验 专题四数学归纳法 专题归纳 高考体验 反思感悟数学归纳法是一种直接证明的方法 主要用来证明与正整数n有关的命题 证明时先证n取第一个值n0时命题成立 然后假设n k k n0 k n 时命题成立 证明n k 1时命题也成立即可 用数学归纳法证明时 要注意几个方面 1 n的范围以及递推的起点 2 从f k 1 和f k 的差异 寻找由k到k 1的递推中 左边要加 乘 上的式子 3 在归纳递推中 一定要运用归纳假设 4 注意 归纳 猜想 证明 的思维模式的应用 专题归纳 高考体验 考点一 合情推理1 2017全国 高考 甲 乙 丙 丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩 老师说 你们四人中有2位优秀 2位良好 我现在给甲看乙 丙的成绩 给乙看丙的成绩 给丁看甲的成绩 看后甲对大家说 我还是不知道我的成绩 根据以上信息 则 a 乙可以知道四人的成绩b 丁可以知道四人的成绩c 乙 丁可以知道对方的成绩d 乙 丁可以知道自己的成绩解析 因为甲不知道自己的成绩 所以乙 丙的成绩是一位优秀一位良好 又因为乙知道丙的成绩 所以乙知道自己的成绩 又因为乙 丙的成绩是一位优秀一位良好 所以甲 丁的成绩也是一位优秀一位良好 又因为丁知道甲的成绩 所以丁也知道自己的成绩 故选d 答案 d 专题归纳 高考体验 2 2016全国丙高考 定义 规范01数列 an 如下 an 共有2m项 其中m项为0 m项为1 且对任意k 2m a1 a2 ak中0的个数不少于1的个数 若m 4 则不同的 规范01数列 共有 a 18个b 16个c 14个d 12个 专题归纳 高考体验 解析 由题意知a1 0 a8 1 则满足题意的a1 a2 a8的可能取值如下 综上可知 不同的 规范01数列 共有14个 答案 c 专题归纳 高考体验 3 2016全国甲高考 如图 小明从街道的e处出发 先到f处与小红会合 再一起到位于g处的老年公寓参加志愿者活动 则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 a 24b 18c 12d 9解析 由题意知 小明从街道的e处出发到f处的最短路径有6条 再从f处到g处的最短路径有3条 则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6 3 18 故选b 答案 b 专题归纳 高考体验 4 2016山东高考 观察下列等式 专题归纳 解析 由等式可知 等式右边共三个数相乘 第一个数都是 而所给等式就是第n个式子 显然第2个数与该等式所在行数相同 故第2个数为n 第三个数比第2个数大1 所以第3个数为n 1 所以第n个式子等号右边为n n 1 专题归纳 高考体验 5 2016北京高考 袋中装有偶数个球 其中红球 黑球各占一半 甲 乙 丙是三个空盒 每次从袋中任意取出两个球 将其中一个球放入甲盒 如果这个球是红球 就将另一个球放入乙盒 否则就放入丙盒 重复上述过程 直到袋中所有球都被放入盒中 则 a 乙盒中黑球不多于丙盒中黑球b 乙盒中红球与丙盒中黑球一样多c 乙盒中红球不多于丙盒中红球d 乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 专题归纳 高考体验 解析 若乙盒中放入的是红球 则须保证抽到的两个均是红球 若乙盒中放入的是黑球 则须保证抽到的两个球是一红一黑 且红球放入甲盒 若丙盒中放入的是红球 则须保证抽到的两个球是一红一黑 且黑球放入甲盒 若丙盒中放入的是黑球 则须保证抽到的两个球都是黑球 又由于袋中有偶数个球 且红球 黑球各占一半 则每次从袋中任取两个球 抽到两个红球的次数与抽到两个黑球的次数一定是相等的 故乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 选b 答案 b 专题归纳 高考体验 6 2016全国甲高考 有三张卡片 分别写有1和2 1和3 2和3 甲 乙 丙三人各取走一张卡片 甲看了乙的卡片后说 我与乙的卡片上相同的数字不是2 乙看了丙的卡片后说 我与丙的卡片上相同的数字不是1 丙说 我的卡片上的数字之和不是5 则甲的卡片上的数字是 解析 由丙说的话可知 丙的卡片上的数字可能是 1和2 或 1和3 若丙的卡片上的数字是 1和2 则由乙说的话可知 乙的卡片上的数字是 2和3 甲的卡片上的数字是 1和3 此时与甲说的话一致 若丙的卡片上的数字是 1和3 则由乙说的话可知 乙的卡片上的数字是 2和3 甲的卡片上的数字是 1和2 此时与甲说的话矛盾 综上可知 甲的卡片上的数字是 1和3 答案 1和3 专题归纳 高考体验 考点二 分析法 综合法 反证法7 2016北京高考 某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段 下表为10名学生的预赛成绩 其中有三个数据模糊 专题归纳 高考体验 在这10名学生中 进入立定跳远决赛的有8人 同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人 则 a 2号学生进入30秒跳绳决赛b 5号学生进入30秒跳绳决赛c 8号学生进入30秒跳绳决赛d 9号学生进入30秒跳绳决赛解析 将30秒跳绳成绩确定的学生 按其成绩从大到小 把他们的序号排列为3 6 7 10 1与5并列 4 由题意可知3 6 7号同时进入立定跳远和30秒跳绳的决赛 假设5号学生没有进入30秒跳绳决赛 则1号和4号学生也没有进入30秒跳绳决赛 这与 同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人 矛盾 故5号学生进入30秒跳绳决赛 故选b 答案 b 专题归纳 高考体验 8 2015浙江高考 设实数a b t满足 a 1 sinb t a 若t确定 则b2唯一确定b 若t确定 则a2 2a唯一确定c 若t确定 则sin唯一确定d 若t确定 则a2 a唯一确定 解析 当t 0时 sinb 0 b k k z 所以b2不确定 故a错 当t 2时 a 1 2 解得a 1或a 3 所以a2 a 2或a2 a 6 故d错 因为 a 1 t 所以a2 2a t2 1 当t确定时 t2 1唯一确定 即a2 2a唯一确定 故b正确 答案 b 专题归纳 高考体验 9 2015福建高考 一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2 xn n n 其中xk k 1 2 n 称为第k位码元 二元码是通信中常用的码 但在通信过程中有时会发生码元错误 即码元由0变为1 或者由1变为0 已知某种二元码x1x2 x7的码元满足如下校验方程 为 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101 那么利用上述校验方程组可判定k等于 专题归纳 高考体验 解析 若1 k 3 则x4 1 x5 1 x6 0 x7 1 不满足x4 x5 x6 x7 0 若k 4 则二元码为1100101 不满足x1 x3 x5 x7 0 若k 5 则二元码为1101001 满足方程组 故k 5 答案 5 专题归纳 高考体验 10 2016天津高考 已知 an 是各项均为正数的等差数列 公差为d 对任意的n n bn是an和an 1的等比中项 专题归纳 高考体验 考点三 数学归纳法11 2015江苏高考 已知集合x 1 2 3 yn 1 2 3 n n n 设sn a b a整除b或b整除a a x b yn 令f n 表示集合sn所含元素的个数 1 写出f 6 的值 2 当n 6时 写出f n 的表达式 并用数学归纳法证明 专题归纳 高考体验 解 1 f 6 13 下面用数学归纳法证明 专题归纳 高考体验 假设n k k 6 时结论成立 那么n k 1时 sk 1在sk的基础上新增加的元素在 1 k 1 2 k 1 3 k 1 中产生 分以下情形讨论 1 若k 1 6t 则k 6 t 1 5 此时有 专题归纳 高考体验 专题归纳 高考体验 专题归纳 高考体验 12 2015北京高考 已知数列 an 满足 a1 n a1 36 且 1 若a1 6 写出集合m的所有元素 2 若集合m存在一个元素是3的倍数 证明 m的所有元素都是3的倍数 3 求集合m的元素个数的最大值 专题归纳 高考体验 解 1 6 12 24 2 因为集合m存在一个元素是3的倍数 所以不妨设ak是3的倍数 如果k 1 则m的所有元素都是3的倍数 如果k 1 因为ak 2ak 1或ak 2ak 1 36 所以2ak 1是3的倍数 于是ak 1是3的倍数 类似可得 ak 2 a1都是3的倍数 从而对任意n 1 an是3的倍数 因此m的所有元素都是3的倍数 综上 若集合m存在一个元素是3的倍数 则m的所有元素都是3的倍数 专题归纳 高考体验 所以a2是2的倍数 从而当n 3时 an是4的倍数 如果a1是3的倍数 由 2 知对所有正整数n an是3的倍数 因此当n 3时 an 12 24 36 这时m的元素个数不超过5 如果a1不是3的倍数 由 2 知对所有正整数n an不是3的倍数 因此当n 3时 an 4 8 1