分形市场中的股本认股权证定价研究.doc

分形市场中的股本认股权证定价研究类 别：产品制度类课题研究人：唐斌、李虹蓉选送单位：世纪证券有限责任公司、南开大学金融工程学院分形市场中的股本认股权证定价研究内容摘要我国证券市场经过十多年的发展，已经基本具备发行股本认股权证的环境，并随着我国进入WTO及证券市场的进一步完善，为了发展国内的金融衍生产品市场，也有必要引入风险较小的股本认股权证。2005年，在股权分置改革进程中，深圳证券交易所推出了鞍钢JTC1(030001)、钢钒PGP1(038001)和万科HRP1(038002)。同时，上海证券交易所也推出了宝钢JTB1(580000)、机场JTP1（580998）、武钢JTB1(580001)和武钢JTP1(580999)。但这七只权证均属于衍生认股权证，并非股本认股权证。同时，随着越来越多的投资者参与权证交易，权证定价已成为投资决策时一个非常重要的问题。鉴于此，本文从分形市场这一角度，以计划将要发行的股本认股权证长江电力为例，就其定价问题进行了分析。传统的Black-Scholes期权公式由于计算上的方便性及其严密的逻辑性，常用来定价权证但它在估算股本认股权证价格时，尚存在着一些不足之处，如：未能考虑股本认股权证的“稀释效应”，或只是简单地用股票价格的波动率来近似代替做企业权益价值的波动率。为了弥补这些不足，Ukhov, Andrey D.(2004)提出了利用可观察数据定价权证的方法，本文在其基础之上，再结合分形市场中的分数布朗运动，建立了分数布朗运动下的Black-Scholes权证定价模型，文中进一步的论证将表明改进后的模型比以往的权证定价模型更为合理.本文的贡献和创新主要体现在：通过结合目前的许多实证研究结果及相关权证定价方法，提出了分数布朗运动下的权证定价模型，使得对股本认股权证的定价更显合理，从而为投资者提供一个合理的投资决策方案，并进一步推动和繁荣我国的证券市场。关键词：认股权证 有效市场假说 分形市场 分数布朗运动 稀释效应目 录1、引言2、股本认股权证及相关研究 2.1 认股权证与股本认股权证2.1.1 股本认股权证与衍生认股权证比较2.1.2 长江电力股本认股权证方案2.2 股本认股权证价格及其影响因素2.3 股本认股权证定价模型回顾2.3.1 传统的Black-Scholes定价模型2.3.2 考虑“稀释效应”的定价模型3、有效市场假说与分形市场介绍3.1 有效市场假说及其局限性3.2 分形市场假说3.3 分数布朗运动的性质 3.4 分数布朗运动下的Black-Scholes模型3.5 R/S分析方法4、模型提出4.1 分形市场中Hurst指数与权证价格关系 4.2 分数布朗运动下的权证定价模型5、模型对比分析5.1 长江电力股本认股权证在发行日的价格分析5.2 不同权证定价模型对比分析6、总结1、引 言1911年，美国电灯和能源公司（American Light & Power）发行了全球第一支认股权证。19世纪60 年代，许多美国公司利用认股权证从事并购和筹措资金的金融工具。70 年代，一些上市公司为刺激债券买卖，在债券发行时开始赠送认股权证。我国首支认股权证也于1973 年在香港证券市场上市。认股权证以“融资便利、对冲风险、高杠杆性”等优点被各国证券市场广为接受，并获得了上市公司和广大投资者的欢迎，成为了证券市场金融创新的首选品种。在国内市场以往的权证实践中，由于当时证券市场的不成熟以及权证的设计不合理等原因，权证刚刚开始发行不久，便出现了各种各样的问题，权证的炒作也非常剧烈。1992年的宝安权证，以及1994年推出的武凤凰、吉轻工、桂柳工、湘中意等六家公司股票的权证，均是以失败而告终。经过十多年的发展，我国证券市场已经基本具备发行股本认股权证的环境，并随着我国进入WTO及证券市场的进一步完善，为进一步发展国内金融衍生产品市场做准备，也有必要先引入风险较小的股本认股权证。目前深沪两交易所已上市交易的7只权证均属“衍生认股权证”，而非股本认股权证权证从种类来讲，有认购、认沽、股本认股之分，前两类由标的证券持有人发行，并不涉及公司本身，这两类权证的发行和行权均不会改变公司的股本结构，行权自然也不会带来“稀释效应”。而股本认股权证的行权，将会有“稀释效应”存在。同时，随着越来越多的投资者参与权证交易，权证的定价已成为投资决策时一个非常重要的问题。为此，本文从分形市场这一角度，以计划发行的股本认股权证长江电力根据发行计划，长江电力属于股本认股权证,但这一权证拖延至今尚未发行。为例，就其定价问题进行了分析。股本认股权证类似于期权，目前常用Black-Scholes期权公式(Black. F和Scholes.M，1973)来进行定价。但是，股本认股权证又不同于一般的期权，因为股本认股权证的执行会给公司带来现金流入，增加公司的权益价值，同时还会新发行一些股票，这将会稀释现有股东的利益，即“稀释效应”。利用传统的Black-Scholes公式定价时，主要存在以下两个不足：（1）未能充分考虑股本认股权证的“稀释效应”；（2）将股票价格的波动率简单看作公司权益价值的波动率。实际上，股本认股权证定价问题远比一般的期权定价要复杂，因此我们不能简单地应用传统的Black-Scholes公式来进行定价。Hull(2003)的权证定价模型虽然考虑了“稀释效应”，但运用这一模型来定价股本认股权证时，还需要已知公司的权益价值V及其波动率s，而这两个变量都是不可观察的。有些权证研究为了定价的方便，便简单地用股票的价格及其波动率来近似替代公司的权益价值V及波动率s这两个不可观察的变量，然而通过这种简化计算出来的权证价格往往与实际的合理价格存在着很大的差距。另外，由于Black-Scholes期权公式是建立在与实际不相吻合的有效市场假设之上，这一假设认为金融资产的价格波动是相互独立的，即遵从随机游走的布朗运动，且其收益率服从正态分布。但近年来，对股票市场的大量实证研究都表明股票市场价格变化并不符合正态分布，它们呈现的是一种“尖峰胖尾”分布（Hu,Y.和ksendal,B，2003； Cutland，1995；Bayraktar，2004；徐龙炳、陆蓉，1999 徐龙炳、陆蓉(1999)对深沪两市进行了R/S 分析，其Hurst指数分别为0.661 和0.643，这表明我国的股票市场也是一种呈“尖峰胖尾”分布的分形市场结构。）,而且股价之间在不同时间存在着长期相关性，而不是随机游走的。1994年，Peters提出了分形市场假说，它强调信息和投资起点对投资者行为的影响，并应用R/S 分析法证明了不同资本市场都存在着分形结构和非周期循环。分形市场假说由于不依赖于独立及正态分布等假设，且利用这一假说中的分数布朗运动能够很好地解释股票市场中的“尖峰胖尾”现象。因此在定价股本认股权证时，有必要结合分形市场中的分数布朗运动来进行定价分析Ukhov, Andrey D(2004)提出了利用可观察数据进行权证定价的方法，但这一方法也只是基于有效市场假说，而未能结合分形市场来定价权证，这样计算出来的结果往往会与实际的合理价格存在着差异。本文在弥补以上模型不足的基础之上，并结合分形市场中的分数布朗运动，建立了分数布朗运动下的权证定价模型.改进的模型充分考虑了股本认股权证的“稀释效应”，同时利用一些可观察的数据来对公司权益价值V及波动率s这两个不可观察的变量进行估计，比以往的模型更为合理。本文以下部分的结构是：第二部分将阐述认股权证及目前有关权证定价的研究情况；第三部分介绍有效市场假说与分形市场，并论述了有效市场假说存在的局限性；第四部分在已有模型的基础上，建立了改进的模型分数布朗运动下的权证定价模型；第五部分将对几种模型进行比较分析；第六部分是对全文的总结。2、股本认股权证及相关研究2.1 认股权证与股本认股权证认股权证(Warrants),简称为“权证”,它是一种股票衍生产品，发行人承诺在一定期限内，以指定的价格，向持有人出售(或购入)一定数量的股票；而持有人有权利(但无义务)在有效期内行使认股(或出售)权利。持证人为此 “权利”需向发行人支付一定的费用，即认股权证的价格。根据发行人的不同，权证可划分为股本认股权证和衍生认股权证.股本认股权证根据产品设计的不同，股本认股权证可分为：认购权证和认沽权证。而根据执行方式的不同，又可分为：美式权证和欧式权证。是由上市公司发行.以股票实物交割,权证持有人支付执行价格后,权证发行人必须交付有关股票,从而会增加上市公司在外流通的股份数量，即具有“稀释效应”(dilution effect).衍生认股权证的发行人是与权证“标的证券”发行人无关的第三方,一般是投资银行或券商,其标的资产既可以是股票,也可以是债券、股价指数、货币、商品或一篮子证券等，权证执行时可用实物或现金进行交割.由于衍生认股权证的标的是已发行在外的证券,因此它的到期执行时不会有“稀释效应”. 2.1.1 股本认股权证与衍生认股权证比较股本认股权证作为上市公司的融资手段之一，在被行使时公司负有义务向权证持有人发行新股，因而会使标的资产的流通量增大。而衍生认股权证,无论是由权证标的资产发行人的大股东或是由投资机构发行，其履约责任均与权证标的资产的发行人无关，因此权证标的资产的流通量不会增大。股本认股权证和衍生认股权证的共同之处：（1） 持有者有权利而无义务，即两者都有期权的特征。（2） 具有杠杆效应。持有者只要支付权证的价格就可保留认购股票的权利，权证提供了“以小搏大”的杠杆效应。（3）权证价格波动幅度大于股票。由于杠杆效应，会使权证的波动幅度大于股票价格的波动幅度。股本认股权证和衍生认股权证之间的差异有：（1）发行人.股本认股权证是由上市公司自身发行,而衍生认股权证一般是由与上市公司无关的第三方发行. （2）标的证券. 股本认股权证的标的证券是股票,而衍生认股权证的标的既可以是股票,也可以是债券、指数、货币等。（3）稀释效应. 股本认股权证到期执行时会有“稀释效应”,而衍生认股权证的到期执行没有“稀释效应”.（4）交割方式. 股本认股权证必须以股票实物交割, 衍生认股权证的交割除了可证券实物交割之外,还可以用现金交割.2.1.2 长江电力股本认股权证方案长江电力的权证计划方案为 摘自2005年08月17日的国际金融报。:公司按本次转增股份后的股本为基数，对全体股东每10股无偿派发1.5份欧式认股权证，除发起人股东以外的流通股股东获派的认股权证可以上市流通；在权证行权日，上市流通权证的持有人有权以每份1.8元的价格出售给三峡总公司；权证的行权价格为5.5元/份（不考虑公司转增股份的除权影响），存续期为自权证上市之日起18个月。 长江电力这一权证方案它与目前已上市的7只权证（以宝钢权证为例，与长江电力作对比分析）不同：长江电力权证属于股本认股权证，它的行权将会增加总股本。由于宝钢权证的发行人是宝钢集团，在行权日权证持有人以约定的价格从宝钢集团购买股票，这些股票是从宝钢集团持有的宝钢股份股票中给出，因此权证持有人在行权日不是向宝钢股份行权，而是向公司控股股东宝钢集团行权，即按行权价格和行权比例向宝钢集团公司购买宝钢股份公司A股股票。由此可知，宝钢权证不是公司股票的发行行为，不会增加公司的总股本。而长江电力的发行人是上市公司，行权时权证持有人以约定价格从上市公司处购买股票，发行人通过增发新的股票来满足认购人的行权要求，因此长江电力权证在行权时会造成股本扩张。 2.2 股本认股权证价格及其影响因素股本认股权证价格有“理论价格”或“交易价格”之分。其中，理论价格即指认股权证的价值，由内在价值(intrinsic value)和时间价值(time value)两部分组成，受股票价格、波动率、到期日长短、无风险利率、执行价格和红利支付等因素影响。而交易价格主要受权证市场供求关系、发行人业绩等因素影响，在权证的价值附近变动。本文研究的认股权证价格是指“理论价格”影响股本认股权证价格变动的因素主要有以下几个方面：(1) 股票价格。权证发行时股票价格越高，认购(沽)权证的理论价格也就越高(低)。权证发行后随股票价格的上升(下跌)，认购权证的交易价格会上升(下跌)；而认沽权证的交易价格随股票价格的上升(下跌)，认沽权证的交易价格下跌(上升)。(2) 到期日长短。权证的有效期越长，认购(沽)权证理论价格通常也就越高。而随到期日的趋近，权证的价格则相应下降。(3) 波动率。波动率增大，无论对于认购权证还是认沽权证，权证的理论价格或交易价格都会越高。(4) 无风险利率。市场利率的高低，决定着股票投资成本的大小。利率水平越高，投资股票的成本越大，因而认购(沽)权证的吸引力会变大(小)，故认购(沽)权证的理论价格或交易价格就会越高(低)。(5) 红利。由于权证无法享有现金股利，因此预期红利越高，对认购权证就越不利(认沽权证恰好相反)，从而认购(沽)权证的理论价格或交易价格就越低(高)。限于篇幅，本文将只对未支付红利的认购权证的理论价格进行分析。(6) 执行价格。权证的执行价格越高，意味着该执行价格可能与认购(沽)权证的股票价格之间的价差越小(大)，则该权证持有人未来行使权证时的可能获利将越小(大)。故执行价格越高的认购(沽)权证，其理论价格或交易价格往往越低(高)。 另外，根据深交所公布的权证业务管理暂行办法，考虑到权证标的证券的除权影响，权证的行权价格和行权比例应分别按下列公式作相应调整：新行权价格=原行权价格*（标的证券除权日参考价/除权前日标的证券收盘价）；新行权比例=原行权比例*（除权前日标的证券收盘价/标的证券除权日参考价）。2.3 股本认股权证定价模型回顾 权证的定价一般有Black-Scholes模型、二叉树图和蒙特卡罗模型等方法。限于篇幅，本文将主要讨论如何利用Black-Scholes模型对欧式认购权证进行定价的问题。而欧式认沽权证可通过看涨-看跌平价公式求解，美式权证一般采用二叉树图和蒙特卡罗模型来进行求解，故本文暂不予以讨论。目前，股本认股权证定价采用的模型主要有以下两种：（1）传统的Black-Scholes期权模型；（2）考虑“稀释效应”的定价模型。2.3.1 传统的Black-Scholes定价模型由于股本认股权证与期权存在着许多相似之处，因此在进行定价时，常利用传统的Black-Scholes期权公式（Black. F和Scholes.M,1973），公式为： 其中: ， 为权证的价格， X表示执行价格，为标的资产价格，为权证的有效期，是无风险利率，表示股票价格的波动率，(.)为正态分布变量的累积概率分布函数。利用这一公式定价股本认股权证时，主要存在以下不足：（1）未能充分考虑权证的“稀释效应”影响；（2）将股票价格的波动率简单看作公司权益价值的波动率s。2.3.2 考虑“稀释效应”的定价模型Hull(2003)在传统的Black-Scholes期权公式基础之上，针对股本认股权证执行后产生的“稀释效应”做出了调整。他假定一个公司拥有N份发行在外的股票和M份欧式认购权证，并且每份认购权证可使其持有者在到期日T以每股X元的执行价格向公司购买k份股票。在T时刻的权益价值为（包括权证价值在内），权证持有者执行权证后，公司将获得一笔现金流收入，公司的权益价值将增长到+MX，这一价值要在N+Mk份股票中分配，所以股本认股权证执行后的股票价格将变为，权证持有者的收入为,即，当收入为正时，持有者才会执行权证。因此一份股本认股权证的价格为，即：此权证的价格是份基于的看涨期权的价格。V是公司的权益价值。且有。由此可得股本认股权证的价格为：有关公式的证明请参考：Lauterbach, B. and P. Schultz (1990) ”Pricing Warrants: An Empirical Study of the Black-Scholes Model and Its Alternatives,” Journal of Finance, 44, September, 1181 - 1210 其中：W是股本认股权证的价格，M为新发行的权证数，N是已发行的股票数，k是权证的认购比率，S是股票价格，X是权证执行价格，r是无风险利率，T是到期日。是股票价格的波动率，为每期支付的红利。对于不支付红利的情形，只需将公式稍作修改，即： 其中：对比两式可知，支付红利的情形只是在不支付红利的基础上将公式中的股价S调整为。因此，本文将只利用公式，对不支付红利的情形进行讨论。这一模型与传统的Black-Scholes期权公式有两点不同：（1）标的资产的价格变为；（2）考虑了权证的“稀释效应”。但是，这一公式需要已知公司权益价值的波动率s，而这一波动率是一个不可估计的变量。有些研究在定价股本认股权证时，为了计算的方便，便简单地用股票的价格及其波动率来近似替代公司的权益价值V及波动率s这两个不可观察的变量，通过这种简化方法计算出来的权证价格就往往与实际的合理价格存在着很大的差距。由于这两个模型都是基于有效市场假说，而近年来，对股票市场的大量实证研究都表明股票市场价格变化并不符合正态分布，它们呈现的是一种“尖峰胖尾”分布(Hu,Y.和ksendal,B,2003；Cutland,1995；Bayraktar,2004；徐龙炳、陆蓉,1999),而且股价之间在不同时间存在着长期相关性，并不是随机游走的。基于有效市场假说而未能结合分形市场计算出来的权证价格就会与实际的合理价格存在着差异。因此，本文在此模型的基础之上，与分形市场中的分数布朗运动相结合，提出了一个分数布朗运动下的权证定价模型，文中进一步的论证将表明改进后的模型比以上模型更为合理。在此之前，我们先介绍一下分形市场及分数布朗运动的一些性质。3、有效市场假说与分形市场介绍自从1970年Fama提出有效市场之后，有效市场假说便成为数量化资本市场理论的基石。许多现代金融投资理论，如CAPM（资本资产定价模型）、APT（套利定价理论）等都是建立在有效市场假设之上。但是，许多实证研究表明，有效市场假设已经很难反映市场的真实性，它存在着明显的缺陷，具有一定的局限性。1994年，Peters首次提出了分形市场假说，它强调信息和投资起点对投资者行为的影响，并认为所有的稳定市场中都存在分形结构。分形市场假说强调流动性的影响以及基于投资者行为之上的投资起点，其目的是给予一个符合我们观察的投资者行为和市场价格运动的模型。Peters 应用R/S 分析法分析了不同资本市场（如股市收益率、汇率），都发现了分形结构和非周期循环，证明资本市场是非线性系统。由于分形市场理论可以解释“波动具有非线性、自相似性和长记忆性”等有效市场理论无法解释的现象, 因此，我们在对金融资产定价分析时，运用分形市场理论将会比有效市场假说更加准确地刻画市场的真实特性。我国一些学者针对分形市场也作了许多的实证研究。徐龙炳、陆蓉(1999)对沪深两市进行了R/S 分析，其Hurst指数分别为0.661 和0.643，周期为195 天；张维、黄兴(2001)采用更长的采样区间、分析了沪深股市的日、周收益率，从而论证了市场存在非线性结构；刘韶跃和杨向群(2002、2004)对分数布朗运动环境欧式未定权益的定价和标的资产有红利支付的欧式期权定价进行了探讨；周孝华(2002)通过分析布朗运动与分形布朗运动，提出了分形维纳过程的概念并利用它推导出不付红利的股票价格遵循含有分形维纳过程的微分方程。3.1有效市场假说及其局限性有效市场假设认为:证券市场中股票价格可以及时、充分反映所有相关信息,未来的价格只能由新的信息决定。资产价格的波动服从布朗运动。有效市场假说由于未考虑投资者行为的复杂性、多样性，以及市场对于信息的反馈机制等，主要存在以下三个方面的局限：（1） 有效市场假说认为价格是一个独立同分布的随机变量，当样本容量变大时，它将趋于正态分布，但通过大量实证结果表明，价格及收益率的分布并非正态分布，而是呈现“尖峰厚尾”分布。（2） 假定市场的当前价格已经充分反映了所有信息，价格变化是独立变动过程。投资者立即对价格做出反应，所以未来与过去或现在都不相关。但由于人们对信息的反应是以非线性方式做出的，因此，价格的变动具有长期记忆的特性，过去的信息现在和未来的价格都会有影响。（3） 没有考虑市场波动的期限结构。实际上，在市场中的投资者是具有不同投资期限的，市场的流动性就在于投资者的不同投资期限、不同的信息集、以及形成的对市场“公平价格”的不同理解。在有效市场假说下，通常假设股价和收益率的波动性与时间的平方根成比例。但实际上股价和收益率的波动并非如此，它们的变化具有自相似和分形等特性。另外，市场有效不一定意味着它是随机游动的，但随机游动过程一定隐含着市场是有效的，换句话说就是收益率正态分布的假设不是市场有效所必须的。有效市场理论存在的这些局限性，使它已不能客观地解释现实中金融价格波动。而分形市场理论却能很好地解决了有效市场理论的这些不足,从而更加准确地刻画出市场的真实特性。3.2分形市场假说 分形市场理论认为：金融资产的收益率并不是随机游走的，其概率分布也很少是正态分布或对数正态分布。正态分布只是分形分布的一种特例。它认为收益率的时间序列具有相关性和长期记忆性。收益的分布不是正态分布，且其方差可能无限大或不存在。分形市场假说的内容主要有以下三点：(1) 市场由众多的投资者组成，这些投资者处于不同的投资起点，投资者的投资起点对其行为会产生重大的影响。信息对于处于不同投资起点上的投资者所产生的影响是不相同。(2)分形市场假设强调市场流动性及投资期限对投资者行为的影响。它认为只有当大量不同投资起点的交易者存在时，市场才是稳定的，只有稳定的市场才能确保足够的流动性。(3)每个投资起点都是一个具有有限方差的随机函数，它依赖于前一个方差，因为在每一投资起点的风险相同，因此收益的频率分布形状也就相似，市场结构具有自相似和分形的特性。3.3 分数布朗运动的性质 本文将在分形市场假设下，假定金融资产的价格变动服从分数布朗运动，而不是标准的几何布朗运动。分数布朗运动具有如下几个性质：（1）Hurst参数为H(0H时,具有长期依赖性，即：,且有 若H=，即为标准布朗运动B(t)，表现为随机游走特性，此时累积离差是随时间的平方根而增加, 过去的事件不会影响未来。若0H,具有反持久性，此时反映的是一个“均值回复”的非持久性的时间序列。过去的增量与现在的增量呈负相关关系。即如果系统在前一期间变化趋势是向上, 那么下一个时期其向下的可能性将较大, 反过来也是一样。而且H距离0越近，这种反持久性行为的强度越大。若H1，具有持久性和无周期的循环，此时,系统的变化是一个持续的时间序列, 过去发生的事件对未来的价格是有影响的, 存在着“记忆效应”。过去的增量与现在的增量呈现正相关关系，即如果序列在前一个期间是向上的, 那么它在下一个期间继续向上的可能性会大于向下的可能性。H 值越接近于1, 这种“记忆效应”的强度或持久性就越强。（3）自相似性。.4 分数布朗运动下的Black-Scholes模型国内外许多学者，如：Mandelbrot 和 Van Ness（1968）、Hu 和 ksendal（2003）等对分数布朗运动进行了大量的研究，其中，Ciprian Necula利用傅立叶变换方法推导出分数布朗运动下的Black-Scholes模型，其公式如下：, 有关此公式的推导请参考：Ciprian Necula, “Option pricing in a Fractional Brownian Motion Environment”, Preprint, Academy of Economic Studies Bucharest, Romania.。另外，从公式可知标准布朗运动只是分数布朗运动在H=的一个特例情形。 其中：，.C为期权的理论价格，S为现行股票价格，K为执行价格，T为到期日，r为无风险利率，H为Hurst指数(0H1)。.5 R/S分析方法Hurst(1951)在大量实证研究的基础上，发现自然现象都遵循“有偏随机游走”，即一个趋势加上噪声，从而提出重标极差分析法(Rescaled Range Analysis)R/S分析方法，基本思想是：假设X1，X2，Xn为股票指数的每日变化，记作Xi，i=1，2，n。该时间序列的均值为: （1）标准差Sn为： （2）对原序列进行标准化：， （3）累积离差为：， （4） 重标极差Rn为： （5）从而求得R/S。再对每个子区间计算，可得n个值，然后将它们平均，即 （6）为了比较不同的时间序列，Hurst建立了如下关系式： （7）其中，c为常数，H为Hurst指数，且0H1年时，对于相同到期日的权证，其价值随着Hurst指数的增大而增加；而对于相同的Hurst指数，期限越长，其价值也越大。（2） 当0T1时，对于相同到期日的权证，其价值随着Hurst指数的增大而减少；而对于相同的Hurst指数，期限越长，其价值也越大。由于不同Hurst指数对应的权证价格也不同，因此，为了正确地定价权证，必须在分形市场中考虑标的股票的分形结构。鉴于此，我们结合Ukhov, Andrey D.(2004)的利用可观察数据的权证定价模型和分形市场中的分数布朗运动，提出了一个改进的权证定价模型。4.2 分数布朗运动下的权证定价模型以长江电力股本认股权证为例，假定长江电力现拥有N份发行在外的股票和M份股本认股权证（假设这一权证为欧式认购权证），并假设每股权证可使其持有者在到期日T以每股X元的执行价格向长江电力购买k份股票。在T时刻的权益价值为（包括权证在内），权证执行后，长江电力将获得一笔现金流收入，公司的权益价值将增长到+MX，这一价值要在份股票中分配，所以权证执行后的股票价格将变为，权证持有者的收入为,即，只有当收入为正时，权证才会被执行。因此一份股本认股权证的价格为，可知权证的价格是份基于的看涨期权的价格。是公司的权益价值。又因为的现值为，且有。再结合分形市场中的分数布朗运动下的期权定价公式：, 其中：，.从而得出分数布朗运动下的权证定价模型为： 其中：W为股本认股权证的价格, V为公司的权益价值, X为执行价格,N为发行在外的总股本, M为权证的发行量, k为每份权证可购买的股数, r 为无风险利率, T 为有效期,，为公司权益价值的波动率。由于股本认股的公司权益价值与股票、权证之间存在着如下关系：，可知公司权益价值的波动率是权证和股价波动率的加权平均。因此，公司权益价值的波动率与股价的波动率之间存在着以下关系(Ukhov, Andrey D.，2004)：，即： 其中，为股票价格对公司权益价值的弹性。Ds表示当公司权益价值变化一个单位时，股票价格的变化量。为了计算Ds，必须先求出Dw（Dw表示公司权益价值每变化一个单位，对应权证价格的变化量）由公式可得： 当公司权益价值V变化一单位时，权证的价格变化DW，股票价格变化DS，即有：n*DW+N*DS=DV=1， 由以上两式得：。从而得到如下两个关系式：（其中Ds是的函数，而又是V和s的函数）通过以上两式可以求出公司权益V及其波动率s，从而得到长江电力的股本认股权证价格为：。 5、模型对比分析5.1 长江电力股本认股权证在发行日的价格分析表3是以长江电力为例，假定长江电力股本认股权证将于2006年6月20日上市，由于长江电力尚未正式发行权证，为了给投资者提供一个合理的参考定价方法，我们可以假定权证发行前日的G长电(600900.SS) 的价格等于2005年12月30日前30天的日收盘平均价 (利用G长电(600900.SS)的历史数据可以算得2005年12月30日前30天的日收盘价平均价为7.08元)。为了对其进行发行日的定价分析。我们取2004年6月17日至2005年6月17日G长电(600900.SS) 的日收盘数据，并利用公式 来计算各个股票的收益率,Pt为股票的日收盘价格，由此估算出股价的年波动率ss为23.5%.所需数据来源为：雅虎财经网站()。权证名称长江电力标的证券宝钢股份权证类型认购行权方式欧式已发行的股票数81.87亿将要发行的权证数12.28亿假定发行日2005-6-20发行前日股价7.08元股价波动率ss23.50%到期日长1.5年（18个月）执行价格5.5元认购比率1无风险利率1.8%Hurst指数0.63公司权益价值V602.6亿元公司权益的波动率s25.6%权证价格1(Black-Scholes模型)1.88元权证价格2（考虑“稀释效应”的定价模型）1.64元权证价格3（分数布朗运动下的权证定价模型）1.87元注：以1年期国债利率为无风险利率。公司权益V及其波动率s是根据分数布朗运动下的权证定价模型计算结果得出。数据来源：雅虎财经网站()。表3：长江电力股本认股权证在发行日的价格分析利用R/S分析方法从G长电(600900.SS)自上市以来至2005年6月17日的历史股价数据可以得到长江电力的Hurst指数值，其H值为0.63，表明该市场具有明显的分形结构和持续性，且股票的收益率不是随机游走，而是一个有偏的“尖峰胖尾”分布。通过对股本认股权证的定价结果分析得知：三种方法得到的权证价格比较接近。但公司权益的波动率s与股价的波动率ss却存在着差别，且这一差别随着Hurst指数及股本认股权证的“稀释效应”发生比较大的变化。因此不能简单地利用股价的波动率ss来近似替代公司权益的波动率s。5.2 不同权证定价模型对比分析由于我国权证市场开放不久，股本认股权证也尚未发行，因此无法进行实证分析，本文只能对各种不同情形下的权证价格进行分析。假定无风险利率r=4.4%，股票到期时长为T=2年，执行价X=100元，权证认购比率k=1，并分别假设H=0.3、0.7 在进行实证分析时，可以利用本文阐述的R/S分析方法测定不同权证的Hurst系数。和H=0.5（H=0.5时，即为标准布朗运动），而其它条件（股票价格S，股票收益率的波动性ss，权证数量n）根据以下情况进行变化（见表4和表5）：股票价格波动率ss=40%（1）低稀释效应（N=100，n=10）股价WB-SW近似W1（H=0.3）W2（H=0.5）W3（H=0.7）S=80(SK)35.4032.1837.73(41.82%)40.31(41.70%)43.33(41.57%)（2）中等稀释效应（N=100，n=50）股价WB-SW近似W1（H=0.3）W2（H=0.5）W3（H=0.7）S=80(SK)35.4023.6037.67(48.04%)40.19(47.45%)43.14(46.87%)（3）高稀释效应（N=100，n=100）股价WB-SW近似W1（H=0.3）W2（H=0.5）W3（H=0.7）S=80(SK)35.4017.7037.51(54.14)39.98(53.03%)42.86(51.95%)注：w1、w2、w3是利用分数布朗运动下的权证定价模型计算出来的权证价格。当H=0.5即为Ukhov, Andrey D.（2004）提出的利用可观察数据定价权证方法。 WB-S是用传统的Black-Scholes定价模型、W近似是用考虑“稀释效应”的定价模型计算出来的权证价格，而且它们都是在标准布朗运动（即H=）的情形下计算权证价格。表4：股本认股权证价格分析（股票价格波动率ss=40%）股票价格波动率ss=60%（1）低稀释效应（N=100，n=10）股价WB-SW近似W1（H=0.3）W2（H=0.5）W3（H=0.7）S=80(SK)50.6146.0146.55(62.19%)50.53(62.01%)55.04(61.82%)（2）中等稀释效应（N=100，n=50）股价WB-SW近似W1（H=0.3）W2（H=0.5）W3（H=0.7）S=80(SK)50.6133.7446.29(69.50%)50.16(68.65%)54.55(67.80%)（3）高稀释效应（N=100，n=100）股价WB-SW近似W1（H=0.3）W2（H=0.5）W3（H=0.7）S=80(SK)50.6125.3145.92(76.45%)49.70(74.89%)53.98(73.36%)注：w1、w2、w3是利用分数布朗运动下的权证定价模型计算出来的权证价格。当H=0.5即为Ukhov, Andrey D.（2004）提出的利用可观察数据定价权证方法。 WB-S是用传统的Black-Scholes定价模型、W近似是用考虑“稀释效应”的定价模型计算出来的权证价格，而且它们都是在标准布朗运动（即H=）的情形下计算权证价格。表5：股本认股权证价格分析（股票价格波动率ss=60%）从表中计算结果可知，当H=0.5时，用新改进的模型计算出的结果与Black-Scholes公式的值相差不大，但当H0.5时，权证的价格相对于Black-Scholes公式的值会偏大。此时，传统的Black-Scholes公式关于权证定价将变得不适合。另外，当稀释效应逐渐增大时，股票价格的波动率与企业价值的波动率之间的差异将变得越来越大。因此，在实际权证定价时，不能简单地用股价的波动率来近似替代模型中关于企业价值的波动率。以下三幅图（图3、图4和图5）是对股本认股权证在发行日的价格及企业价值的波动率s与股票价格、Hurst值之间的关系的说明。假定该权证为欧式认购权证，无风险利率为4.4%，权证有效期为2年，认购比率为1，企业股票价格的波动率为60%，股价在70与130之间变化，且其股票价格变动分别具有不同的分形结构（即Hurst在0.1至0.9之间变化）。图3、4、5分别代表股本认股权证的低稀释效应（N=100,M=10）、中等稀释效应（N=100,M=50）和高稀释效应（N=100,M=100）三种情形。图3：低稀释效应（N=100,M=10）时的权证价格（左图）及企业价值波动率s（右图）图4：中等稀释效应（N=100,M=50）时的权证价格（左图）及企业价值波动率s（右图）图5：高稀释效应（N=100,M=100）时的权证价格（左图）及企业价值波动率s（右图）通过以上三图的比较分析，我们可以得出以下结论：（1）企业价值的波动率s不是近似地等于股票价格的波动率ss。上述三图表明即使股本认股权证都是在股票价格的波动率为60%假设前提之下，但由于不同公司发行的股本认股权证所产生的“稀释效应”大小不同，因此企业价值的波动率s不能够近似地等于股票价格的波动率ss，两者之间是存在着差异的，而且这一差异随着股本认股权证“稀释效应”的加强而变大。大致关系是：低稀释效应下（N=100,M=10），企业价值的波动率s比股票价格的波动率ss平均大1%至3%；中等稀释效应下（N=100,M=50），企业价值的波动率s比股票价格的波动率ss平均大7%至10%；高稀释效应下（N=100,M=100），企业价值的波动率s比股票价格的波动率ss平均大12%至14%。（2）股本认股权证的价格随着稀释效应的增强而降低。在相同的价格水平下，股本认股权证的价格大小依次是低稀释效应中等稀释效应高稀释效应。(并假定其它条件均相同。)（3）权证的价格随Hurst值的增大而提高。假定其它条件相同时，由于分形结构的不同（即Hurst值不相等），股本