中学数学思想方法研究与教学构想.doc

中学数学思想方法研究与教学构想作者：周磊指导教师：夏云青摘要：本文通过介绍和分析中学数学中几种常用的数学思想，包括抽象.代换.简化.数形结合. 变量代换.函数.分类研究.方程求解和极限求值的数学思想，进一步研究了它们在教学过程中的应用，并通过分析数学思想在教学大纲中地位和中学数学思想方法的心理学意义，阐述了加强进行数学思想方法教学对提高学习者的学习质量和数学能力的重要意义；并给出了数学思想方法教学过程中应遵循的揭示渗透浅显结合及反复系统螺旋推进的原则。最后，给出了提高中学数学思想方法教学质量的几种有效途径和教学构想。关键词：中学数学思想方法 教学构想 抽象 代换 简化 数形结合 变量代换 函数 分类研究.方程求解 极限求值所谓思想方法,就是客观存在反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果,它是从大量的思维活动中获得的产物,经过反复提炼和实践,一再被证明为正确、可以反复被应用到新的思维活动中,并产生出新的结果.或者说思想方法就是思维产物。具体到数学思想方法,就是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识中,经过思维活动而产生的结果,它是对数学事实与数学理论(概念、定理、公式、法则等)的本质认识。数学思想思想方法是数学知识的精髓，是知识转化为能力的桥梁。能否有意识的正确运用数学思想方法解决数学问题是衡量数学素质和数学能力的重要标志。一 中学数学思想方法的主要内容1抽象的思想方法数学是关于数与形的本质和规律的科学。数学中研究的数与形，是高度抽象之后产生的概念。这种高度的抽象，排除了事物表面的特征，排除一切影响研究揭示事物运动变化规律的本质和非本质的现象的干扰，使数量关系和空间形式在高度的真空里，显得更加清晰，以便人们发现隐藏的规律。数学的高度抽象，只保留了事物的数量关系和空间形式，舍弃了事物其他很多特征，以致看上去似乎失去了与生活的一切联系，所以中学生学习数学多数感到困难。因此，教师在教学中应注意把抽象知识具体化、形象化，由浅入深地引导学生理解抽象的概念和原理。另一方面，也要善于引导学生把具体的事物抽象地加以思考研究，提高抽象思维能力，形成抽象思想方法。抽象思维是一种十分有效、有用的研究事物的一般方法。它不仅能排除表象的干扰，便于发现规律，同时，通过抽象思维才能揭示事物的本质和变化规律。抽象思维形成的理论，指导实践的覆盖面更大，应用更广泛。抽象的方法不仅在数学里采用，在其他学科也有广泛的应用，它不失为一种重要而普遍的思想方法。2代换的思想方法在数学里，大量采用了字母和符号来表示抽象思维得出的概念、原理和方法，并借助字母和符号去深化抽象思维，推进数学的研究。用字母和符号代表数量关系和空间形式的变化运动，这是一种十分常见的数学思想方法，在数学研究和教学中大量地被采用。在数学教学中，教师应引导学生弄清各种字母、符号式子图形所代表的确切含义。若不把表示的规则准确地弄明白，学生就会产生歧义，学数学就会搅在一起。另外，代换作为一种最基本、最常用的数学方法，应让学生学会使用，在解决数学问题时，正确地运用代换的思想方法。3简化的思想方法在数学中，力求简化的方法随处可见。约分是化简，合并同类项是化简，采用字母、符号和式子代表大段文字叙述也是化简。解方程、方程组、不等式等很多运算过程，都要消元、降次、降阶，更是简化。数学力求简化的思想方法，不仅体现数学是最讲效率、最讲节约的学科，更重要的是作为一种有效手段，把复杂的问题简单化，化难为简，简则易解，分散难点，各个击破。这样的方法不仅在数学科，在其他领域运用也很广。在中学数学中，教会学生运用力求化简的思想方法对付数学难题，就能提高学生的解题能力，让学生更深地理解各种解法的总思路，更有效地运用各种解题方法解答数学问题。4数形结合的思想方法从十八世纪开始，笛卡尔就把数和形通过直角坐标系建立了密切的关系，首创在直角坐标平面上研究函数和几何等问题。后来，极坐标等各种坐标系应科研和生产的需要而相继问世，把数和形的研究统一了起来，使数学的研究和应用发展产生了史无前例的变革，数形结合形成了一种非常重要的数学手段和思想方法。中学数学从始至终都贯穿着数形结合的思想。数和的形结合，使抽象的代数问题直观化，各种图形数字化，二者有机的结合，使数学研究的深度大大加深，应用更为广泛，手段更为有效。在数学教学中，数形结合的结果，更利于学生理解数学知识。一旦学生形成了数形结合的思想方法，处理数学问题的能力就会更强。5变量、函数的思想方法变量和函数是现代数学的精髓。辩证法认为，事物是运动变化的，变化运动中潜伏着大量自变因变的关系，作为反映客观世界运动变化规律的数学，自然也需建立变量和函数的知识系统。学生从小学升入初中，从初中升入高中，是否能适应在变数条件下来学习数学，成了中学数学是否学得懂，学得好的关键。教学中，教师应十分重视帮助学生适应从常量到变量条件下学数学这一变化，并学会运用运动变化的观点来学中学数学。特别在高中阶段，教师若不注重引导学生建立变量、函数的思想方法，那是无法学习高中数学的。更不能指望他们掌握运动变化观点来处理面对的社会生活中的各种实际问题。6分类研究的思想方法中学数学在函数板块里，采用分门别类研究的方法来研究复杂的变化过程。例如，函数分为幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等等；同一函数可分为不同区间来研究其变化的特点。这种分类研究问题的方法便于人们把复杂的事物加以合理分类，然后一类一类地去加以考察研究，这是体现在中学数学中的重要思想方法。教师应在教学中采用示范、指导等方式，使学生学会分类处理复杂问题的思想。这种在讨论根与系数的关系，排列组合等数学问题时，不用分类研究的方法，是无法把这类问题讲清楚的。分类研究复杂事物的思想方法，不仅是数学教学，在其他学科的教学和实际生活中处处用到，中学生应该通过数学的学习过程，逐步形成这一有用的思想方法。7方程求解的思想方法 在中国古代数学中，解答数学应用问题主要是凭经验和技巧，缺乏一个适用各类应用问题的一般解法。例如：盈不足问题、百鸡问题等，各有其费解的解题技巧，而在现代数学引入字母代表未知数之后，应用问题中的等量关系就可用未知数和符号组成的等式即方程来表示。解答方程应用问题也就得出了答案。这样方程就成了解决数学应用问题的一般模式。列方程解应用题的方法比起中国古代的经验技巧型的算术解法，显得更为简便有效，更为规范，易于掌握。在中学数学教学中，应通过方程、方程组、以至不等式、不等式组的解法，以及动用方程解答各类实际应用问题，培养学生学会方程求解的思想方法，并运用熟练。8极限求值的思想方法数学研究事物的变化过程，是用变量和函数来加以描述的。在函数中，当自变量向某一方向无限变化而引起别的变量无限接近某一数值时，就得出了极限值，这就是极限求值的思想方法。牛顿和莱布尼兹将其发展为微积分，成了一种十分完备有效的计算方法，大大推动了数学科学的发展。有不少中学生往往只习惯于处理常量和有限的对象，一遇到变量和无穷就感到茫然，无限变化，得出极限，更是难以理解。这就需要我们教师由浅入深地引导学生理解极限求值的思路，逐步建立起极限求值的思想方法。极限求值是中学数学与大学微积分连接点，它还能帮助学生掌握唯物辩证法的量变质变规律二 中学数学思想方法教学的重要性及意义1中学数学思想方法教学在教学大纲中的地位1992年制定的义务教育数学新大纲指出:初中数学的基础知识主要是初中代数、几何中的概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法.1996年制定的全日制普通高级中学数学教学大纲中也规定:高中数学的基础知识是指:高中数学中的概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由现代数学的教学,而是要进行数学的现代教学,要把数学基础教育建立在现代数学的思想基础上,并使用现代数学的方法和语言.)其内容反映出来的数学思想和方法。因此,探讨数学思想方法教学的一系列问题,已成为数学现代教育研究中的一项重要课题.2中学数学思想方法教学的心理学意义从心理发展规律看,进行数学思想方法教学是发展青少年思维的重要途径在心理学中,把婴儿、青少年的思维发展分为四个阶段:动作思维(03岁)、形象思维(37岁)、形式思维(713岁)、辩证思维(1319岁).初中学生的思维是以形式思维为主向辩证思维过渡,高中学生的思维则是辩证思维的形成阶段。从学习的认知结构理论来看,进行数学思想方法教学对数学认识结构发展起着重要作用3加强进行数学思想方法教学,使学习者极大地提高学习质量和数学能力,使其受益终生布鲁纳认为,除非把一件件事情放进构造好的模型里面,否则很快就会忘记.学习基本原理的目的,就在于促进记忆的丧失不是全部丧失,而遗留下来的东西将使我们在需要的时候得以把一件件事情重新构思起来.高明的理论不仅是现在用以理解现象的工具,而且也是明天用以回忆那个现象的工具.由此可见,数学思想方法作为数学学科的一般原理,在教学中是至关重要的,因此,对于中学生,不管他们将来从事什么业务工作,唯有深深地铭刻于头脑中的数学思想方法将随时随地发生作用,使他们受益终生.。三中学数学思想方法教学的构想1揭示-渗透,潜显结合 数学教学内容是由教材中的概念、法则、性质、公式、公理、定理、例题等(或称表层知识)以及由其内容所反映出的数学思想和方法(或称深层知识)组成的.教材中,除个别思想方法外,大量的、较高层次的思想方法是蕴含于表层知识之中,处于潜形态.作为教师,应该将深层知识揭示出来,将这些深层知识由潜形态转变为显形态,由对数学思想方法的朦胧感受转变为明晰、理解和掌握.这样才能根据学生实际,采取适当措施去体现思想方法的教学. 例如在讲解如何求X的绝对值时，因此应以表层知识教学为载体,在表层知识教学过程中实现深层知识教学的,因而数学思想方法的教学,应当通过精心设计的教学过程,有意识潜移默化地引导学生领会蕴含的数学思想方法,即应以贯彻渗透性原则组织教学.又由于数学思想方法是表层知识本质和内在联系的反映,它具有更大的抽象性和概括性.如果说数学方法还具有某种形式的话,那么数学思想就难找到固定的形式,而体现为一种意识或观念.因此,它的教学不能一朝一夕、一招一式可以完成,而是要潜显结合,长期渗透,日积月累,才能水到渠成。2反复-系统,螺旋推进数学思想方法属于逻辑思维的范畴,学生对它的领会和掌握具有一个从个别到一般,从具体到抽象,从感性到理性,从低级到高级的认识过程.在教学中,学生对某一思想方法首先是产生感性的认识,再经过多次反复,在比较丰富的感性认识的基础上,然后逐渐概括上升成理性认识,最后在应用中,对形成的数学思想方法进行验证和发展,进一步加深理性认识.因而只有反复渗透,才能螺旋上升. 数学思想方法的教学与表层知识教学一样,只有成为系统,建立起自己的结构,才能充分发挥它的分支系统及纵向.横向.逆向化归。只有进行系统性研究与教学，掌握知识的内在结构，才能制定出各阶段教学目的和要求，也才能逐渐提高学生的认识层次，从低级到高级螺旋上升。例如对化归思想方法的教学可以通过以下几个阶段进行：（1）在教有理数时孕育化归思想，让学生懂得通过绝对值概念可将有理数的大小比较转化为算术大小比较，有理数的四则运算可转化为算术四则运算。（2）在教学“一元一次方程和它的解法”时进一步孕育化归思想，使学生明确最简方程x=a是解一元一次方程的化归目标。（3）在教“一次方程组的解法”时除了使学生明确化归的对象.目标和方法外，还应使学生明白一元一次方程在解一次方程组时是化归对象，而在讨论解方程组时却成了化归目标。（4）在教“一元二次方程”时，继续用化归思想指导解方程，在一元一次方程的基础上，学习一元二次方程及简单高次方程.分式方程，无理方程和方程组时，重点是如何化归。掌握“降次”“消元”的化归方法，将新知识转化为旧知识。学完“一元二次方程”后，多数同学都能自己归纳出解代数方程的基本思想，初步形成化归的思想方法，但是化归思想方法的教学远没有结束，我们应通过不断在新情景下应用化归的思想方法，这样可使学生进一步巩固.发展对化归的思想方法的理解和应用。3把握数学思想方法教学的有效途径在进行数学思想方法教学的各种途径探讨中,如下的几条重要途径是值得我们把握的 （1） 在表层知识发生教学过程中,适时渗透数学思想方法在教学中,表层知识的发生过程实际上也是思想方法的发生过程.象概念的形成过程,结论的推导过程,问题的发现过程,规律的被揭示过程,解法的思考过程等都蕴藏着向学生渗透数学思想方法、训练思维的极好机会. （2） 展开概念-不要简单给定义概念是思维的细胞,是感性认识飞跃到理性认识的结果.而飞跃的实现要经过分析、综合、比较、抽象、概括等思维的逻辑加工,需依据数学思想方法的指导.因而概念教学应当完整地体现这一过程,引导学生揭示隐藏于概念之中的思维内核. （3）延迟判断-不要过早地下结论判断可视为压缩了的知识链,数学定理、性质、法则、公式、规律等都是一个个具体的判断.教学中要引导学生积极参与这些结论的探索、发现、推导的过程,并弄清每个结论的因果关系,最后再引导学生归纳得出结论. （4）激活推理-不要呆板地找关联 激活推理就是要使已有判断上下贯通,前后迁移,左右逢源,尽可能从已有判断发生众多的思维触角,促进思维链条的高效运转,不断在数学思想方法指导下推出一个个新的判断、新的思维结果. （5）及时小结复习,揭示、提炼概括数学思想方法 由于同一内容可蕴含几种不同的数学思想方法,而同一数学思想方法又常常分布在许多不同的表层知识之中,及时小结、复习以进行强化刺激,让学生在脑海中留下深刻的印象,这样有意识、有目的地结合数学表层知识,揭示、提炼概括数学思想方法,既可避免单纯追求数学思想方法教学欲速则不达的问题,又明快地促使学生认识从感性到理性的飞跃.4抓好运用,不断巩固和深化数学思想方法在抓住学习重点、突破学习难点及解决具体数学问题中,数学思想方法是处理这些问题的精灵,这些问题的解决过程,无一不是数学思想方法反复运用的过程,因此,时时注意数学思想方法的运用既有条件又有可能,这是进行数学思想方法教学行之有效的普遍途径.数学思想方法也只有在反复运用中,得到巩固与深化.四结束语中国的基础教育正在从“应试教育”向“素质教育”转轨，关于素质教育的讨论已成为数学教育研究的热点，中学数学课如何在重视知识教学的同时，大力加强数学思想方法的教学和研究对数学素质教育及改革具有重要意义。参考文献：1 王光明 张文贵 中学数学思想方法及其教学.数学教学研究1997,12 邵瑞珍等教育心理学上海教育出版社，3 郭立昌浅谈加强数学思想方法教学的途径数学通报,1992,64 朱成杰数学思想方法教学研究的几项新成果数学通报,1996,115 沈文选中学数学思想方法湖南师范大学出版社,1999,4Summary:This text passes mathematics of introduction and analysis high school to thought in a few in common use mathematics, including the abstraction.The generation change.Simplification.The few form combine. Change to measure the generation to change.Function.The classification study.The square distance solves to beg the mathematics thought of the value with extreme limit, further studying them in the teaching process of application, and pass the analytical mathematics thought in the syllabus mathematics of the position and high school thoughts the psychology meaning of method, elaborating to strengthen to carry on mathemati