22.3实际问题与二次函数——利润问题.docx

22.3实际问题与二次函数（第2课时）一、教学目标：1.能够从实际问题中抽象出二次函数关系，把实际问题转化为数学问题；2.会求二次函数y=ax2+bx+c的最小（大）值，并利用二次函数的最小（大）值求出实际问题的最小（大）值；3.通过最大面积、最大利润、水位变化等三个探究问题，感受数学知识与实际生活的联系，体会数学模型的作用，渗透转化及分类的数学思想方法.二、学情分析：本节是在学生学习二次函数的图象和性质的基础上，借助二次函数的图象研究二次函数的最小（大）值，并运用这个结论解决相关实际问题。学生已具备二次函数的图象和性质的基本知识，为本届学习二次函数的实际问题做好了知识准备。在本节的学习中引导学生用适当的函数分析问题和解决问题，在解决问题的过程中将数学模型的思想逐步细化，体会运用函数观点解决实际问题的作用，初步体验建立函数模型的过程和方法.三、重点难点：教学重点：从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数的最小（大）值解决实际问题.教学难点：将实际问题中的变量关系转化为函数解析式.四、教学过程：第二学时：（一）教学目标：1.会运用二次函数的知识求商品的生产与销售过程中的利润问题；2.经理将实际问题转化为数学问题的过程，体会数学建模的作用，感受数学的应用价值；3.通过学生之间的讨论、交流和探索，增强交流能力、合作额能力，同时激发学生对数学的学习兴趣.（二）教学重点：使学生掌握利用二次函数表示利润问题，并求最大利润的方法.（三）学时难点：理清实际问题中的数量关系，构建利润问题的数学模型.（四）教学过程：活动1：1.知识回顾:利用二次函数解决实际问题的方法：师生活动：教师提出问题，引导学生思考.教师追问1：在解决实际问题时，我们应先分析清楚问题中变量之间的关系，并如何表示它们呢？师生活动：学生回答：用函数解析式来表示实际问题中变量之间的关系.教师追问2：列出函数解析式后，还应确定什么？师生活动：学生思考后回答：根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围.教师追问3：确定了自变量的取值范围后，接下来我们应该做什么？师生活动：学生分析后回答：在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大（小）值.教师追问4：求出了二次函数的最值，是不是就解决完了题目的问题？师生活动：学生回答：还应将数学问题的答案回归到实际问题，得到实际问题的解.设计意图：通过追问引导学生回顾上一节课利用二次函数解决实际问题的过程，本节课将沿用这一过程继续解决有关的实际问题.活动2：2.知识储备，引出问题问题1：某商店以每个50元的进价购进一批书包100个，并预计以每个80元的售价销售.（1）请预估商店全部售出这批书包可获得的利润；（2）在实际销售过程中发现：由于书包定价过高出现滞销，故决定进行打折促销，在原销售价的基础上打8折出售.若此次打折书包全部售出，则可获得多少利润？此时每个书包的实际销售价是多少？师生活动：学生读题后，求出（1）中的利润：（80-50）100=3000（元）.教师追问1：第（2）问中，打8折后，书包的实际售价是多少？此时的利润是多少？师生活动：学生在教师的引导下求出打折后书包的售价为8080%=64（元），并计算出此时的利润：（64-50）100=1400（元）.教师追问2：在这个问题中涉及了进价、售价、销售量、利润等关系量，你能分析它们的含义，得出利润的表示方法吗？师生活动：学生根据上面问题中利润的计算方法，总结得出利润的表示方法：总利润=（售价-进价）销售量，或：总利润=总销售额-总成本=售价销售量-进价销售量.设计意图：通过问题1让学生归纳总结求利润的方法，为后面探索利润问题做准备；问题2复习巩固利用二次函数的顶点求最值得解题思路，也为后面的探究问题做准备.活动3：3.创设情境，探究新知探究2：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件，每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？师生活动：学生读题后思考片刻，那个共同进一步探究.教师追问1：题目中有几种调整价格的方法？师生活动：学生回答：价格上涨和价格下降两种情况.教师追问2：题目中设计哪些变量？哪一个是自变量？哪个量是函数？师生活动：学生思考后回答：题中涉及的变量有：价格上涨的钱数、实际的销售价、实际的销售量、利润等。可将涨价的金额作为自变量，利润作为函数.教师追问3：当每件涨1元时，售价是多少？每星期销量是多少？利润是多少？师生活动：学生利用题目中的信息科求出涨价1元时的情况：售价为61元，每星期的销量为290件，利润为（61-40）290=6090（元）.教师追问4：当每件涨x元时，售价是多少？每星期的销售量是多少？利润y呢？师生活动：学生从上一问题中的计算方法推广可得本问题的答案：每件涨x元，售价为（60+x）元，每星期的销售量为（300-10x）件，利润y=（60+x-40）（300-10x）.教师追问5：价格最多能上涨多少呢？师生活动：教师引导学生思考分析：价格上涨被销售量限制：每涨1元，每星期要少卖出10件，原来每星期可卖出300件，这样价格最多上涨30010=30元.教师追问6：你能写出利润y关于价格上涨x元之间的函数解析式吗？并求出利润最大的情况.师生活动：学生由前面的问题可得利润y=（60+x-40）（300-10x），整理后得y=-10x2+100x+6000，其中自变量x的取值范围是：0x30。可求得此二次函数的顶点坐标为（5,6250），所以y=-10(x-5)2+6250，因此当x=5时，y有最大值6250.即当价格上涨5元时，有最大利润为6250元.教师追问7：在降价的情况下，最大利润是多少？你能参考涨价的情况，自己进行分析吗？师生活动：学生分析并讨论后给出答案：当价格下降x元时，利润y=（60-x-40）（300+20x），整理得y=-20x2+100x+6000，其中自变量x的取值范围是：0x20，当x=2.5时，y有最大值6125，即降价2.5元时，有最大利润6125元.教师追问8：你能综合涨价，降价两种情况得出本题的最终答案吗？师生活动：学生分析后回答：综合涨价、降价两种情况可得：当价格上涨5元时，即顶点65元时，可获得最大利润为6250元.设计意图：通过追问，指导学生分情况讨论本问题，并获得解决此类问题的基本过程和方法，同时使不同水平的学生有不同层次的发现，加深对本探究问题中数量关系的理解，这样会使学生对函数有一个更深层次的理解和认识，同时便于他们今后应用这一数学模型解决实际问题.活动4：4.运用新知，拓展训练1、 某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500kg，销售价每涨价1元，月销售量就减少10kg.（1）当销售单价定为55元时，计算月销售量和销售利润；（2）写出月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元）之间的函数解析式；（3）当售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润. 师生活动：巩固训练，引导学生借助上面解决问题的经验解决此问题.设计意图：巩固本节课所学的内容，再次体会利润问题的求法，并将二次函数的最大（小）值得结论与已有知识综合运用来解决实际问题，加深对二次函数的认识，体会数学与实际的联系.活动5：5.课