27届物理竞赛决赛试题及答案(扫描版).pdf

兮 玷 瓦寺 名 r 钅雀 钅 刍 子 百 钅 玎 骨 h 景隹 帚 贺 啬 氵 妇线匀讧k 这 f 氵的半径应为 氵 j 戈率走 如泉鸽子飞仃 的最 i 速肆1是 如图所示 在 个质量为V 卞中 屑 滔安封闭了一定壹温度为凡 劲废系教为 元形变 半径六f r t 且 平动乡 i 同时91角t 虍D走 云 二三 路案 4 t I n r d 6分I i 卩部懂窬面积为 的 竖直放置的绝热气 的理想气体 活塞也是绝热的 活塞质鳘 吵1及活婆私气缸之问的F 粹力都可忽略不计 己知大气压瑁为矾 羹力加速度 为s 现将污甚缓伎上提 当 活塞到达气缸开口处时 气缸刚妤离开地面 己 知涅掠气什 缓慢交竹的细热过程中P 保持不变 其中尸是气体的压强 是 气毕 的 俸 积 是一常 t 根 猬 以 上 所 述 可求 得 活 塞 刭 达 气 缸开 答案 姊勘 洛秦 卢 r y 口I 气 伴莳 贳 为 胯 案 即 半 6分 4 本题笞案保留两位有效数字 在电子显微拦中 电 子束耿代了芄裒被周亲 f 手 t W 妻想 分艹l o l o 叫Om 即原子尺度 的结自 则屯子的物质波t 长不能大于 此尺度 据生传Fl 乏于的迟度至 早饣加 遮 茔J 如 梨 要 想 进 一步 分 辨 1o 1o m 尺度 的结 构 则 电子 的Jo 贳至少 帚祆It 到 9且为 便 电子达 到 这 遮度 所需的抑速 电压 为 已 电子街聿 责量 J t 91 10 l 咄 电子 的 电 量 矽 6 10 9C 普e l l 克 常 量 宀 6 0 Js 遮 c 30 1o n l s 丬 诩 m 8 冫 8 4 1o V 9分 I 3 V口 丿 二 2Q分 囝和9 利邪传输带输送货物的转置 物块 视为质点 自平台经斜面滑到 以叵蹇逑早 运动的水平长传输带 再由传输带输送到远处目的她 己知斜面高 宀 20m 水平边长乙 40m 传输带宽d 2o m 传输带的l 动速庋 噼 3 r l o 物块与斜面I司的摩擦系数 30 物块自佘i 面顼瑞下淆的初速度汐零 沿斜面下滑的速度方向与传输带运动方向垂直 设斜面与传输带接触处为非 节灬的 毁 圆弧 廖得物终通艹钭 雨与传瑜带交界处时其速度的大小不变 重力加摅度 10m 2 1 为使物块氵 母 到传输带上后不会莎 传输带边缘脱高 物 块与传输帝之间的摩擦系数 2至少为多少 2 假设传输带由 带有稳速装置的直流电机驱动 与 电机连接的电源的电动势E 200V 内阻可忽略 电机的内阻尺 l O 传输帑空载 元输送货物 时工作电流几 20A 求当货物的平均流量 单位时问里 输送的货物顽墨 稳定在 旦咀k 酊s 时 电机的平均工作电流等于多少 假设除了货物与饽驷带之间的蘩擦 损耗和电机的内阻热损耗外 其它部分的能量埙耗与传输蒂上的货物量乃关 参考解訾 l 令 表示物块的质量 物块在斜面上滑动的加速度 曰 l l 8s i n 宀 Ig s 汐 g l s i i 汐 r I c 0s 矽 物块渭到斜面底端的速度 0 卩 扛 阝Il l e 刃 已宀c 杌0 OW 以传输带为参照系 物块滑到传输带昀初速度大小 v Vv 2 z 邗 0Il s 运动方向与传输带边缘的夹角 夕满足 4 饣a n I 物块在传输带上作减速运动 其加速度大小 夕 2 l g 宀g l r i 当物块与传输带相对静止时在传输带上运动的距离 争诜 l 2 3 4 5 汉 l 一 6 3 物块不 超过传 输带宽的电 嘛对应的最小摩擦系麸 9沩尼 m 2 讠 f 四 因此可得 卩 g 玛 t O l 1 t 05 2 物块对传输带的摩擦力大小 F 勹 g 吒 Q 一 9 幻g 方 向与z l i 的方 向相同 从地面参照系来看 传送带速度为 单 位时间内物块对传输带所 做的功 歹 F c s 10 囚此负载所引起的附加功率 考虑到无负薮时电杌的输出功率 有负载时电01的输出功率为 设有负载时的工作电流为 则 解之得 J 2 64O V 舄 气F 亻灭 3 w I2 P 舄 犭P IO00W l b P 氵 F2扌 n 14 F 10A l s 评分标淮 2 式2分 0 4 式共2分 6 式2分 7 式3分 8 式 分 9 式4分 0 式 2分 13 式2分 I5 式2分 厂 20分 妒因 刚 性细轻犴 共质曼玎视为零 可绕通过 其中点0的光滑水平轴在坚直面内自由转动 两质量分别为 和 的小Jf j 和2 可视为质点 亭在轻杆上 它们与轻杆之间 的静摩擦系数为 5 3 6开始时轻杆静止在水平位置 小球 B l 札2分别位于紧靠轻杆两端点彳和 的位置 现让系统自水平 匝置以零初遮下揎 求 l 小球1脱离轻秆时的位置 罔小球1脱离抨 时秆与水平线的夹角表示 2 小球2用1离轻扦时的位置 用小球2脱离杆时杆与水平线的夹角表示 参考解答 设轻杆的杆长为2 当仟 与水平线的夹角为夕 时 球l 和球2的速度分别为v l 和 1勹 杆转动的角这庋廾o 因机械能丰恒 有 o U蚰卜勿么 矿蚰 饵 评 咭 州 1 t l V2 r 叉因 汀由 1 2 觯得 轻杆与两小球构成的系统对转轴的角动蚩 由角动量走律狗 根椐角加速度 的 定义 瞥 由 2 l 5 6 各式得 D冖1r v l v 2 s 矽 刀 COs 夕 耆 7 i 4 5 g c S汐 当两球都未脱寓轻杆时 两球都绕转轴作圆周运动 2g s i l l 汐 3 夕 k 球 1的切向加速度和法向加速度分 为 8 由 1 1 各式得 以 表示沿垂直于轻杆方向球 小 根据牛顿第 定律 有 n 与杆拘相互作用力的大 2 z 黑c s 宀亡 2 7矸 彳 2 昭s i n 夕 2刀q Jv 营n 息c s 汐 彳 詈 唿 n 汐 以石哀示 宦轾杆方向 1 C9 杆 叻粕互作用力的大 i O 11 12 13 14 15 对2球作Fo H样的分析 沿垂直于轻杆方向球 2与杆的相互乍用力的大小 f 与沿着轻杆方向球2与杆的相互作 9l 力的大小r 分别为 g c o s 汐 0 g s i n 矽 由o 勾 I 式可知 杆与刁 球I 杆与小球2的导大静摩衍 焖竿 i I3 14 式表哟小球 1与 杆的摩撩力大于小球2与秆的摩擦力 故在转动辶t 中 小球 与 杆乏问的摩擦力先达到最大静摩擦力 故小 I先滑动j t l 开始滑动时 细 杆与水平线夹角为 同 叨刂彳 g l e R卩 瞥 g n 喁 昔 g c s g 囹 管 由 16 式并f 戈 人数据得 当矽 q 时 球 1开始向 外 滑动 由 于 球l 的初始 位 置 紧辜羟扦 末 端 塔 丈 开始滑动到脱离细杆的时间可忽略 不计 因此球l 脱离细杆时细杆与水平线夹角也为a 二 6 运动 诖叠爵禺孛笤尹W艮萎竽粽 褶誊窒 轻杆间打相互作用立 失 此后球2只受重力作闱而阼斛抛 V冤 0 1 丝 n 研 3 初速度的方向与水平线莳夹角 在球2作抛体运动的过程中 球与轻杆问虽无相互作用 但球仍套在杆上 轻杆将跟着球运动 但不会干扰小 球的运动 当球离转轴的距离再次等于 时 球 2便脱离轻秆 筵立如图所示的坐标系0叻 根据斜抛运动规律可 得任意湘寸 刻 取球2开始作抛体运动的时刻为廿时起点 球 2的位置坐标 t c Os 喁 v O COs 昆 r 咖G 岣 咭 箩1 球2脱离细杆呵有 利用 Ii l 18 19 各式得 免 雪 q 尸 f 冫 2 c 22浯 舍 0 2 早 彳l 9 23 24 1 Z z 22 从而l T得 评分标准 3 式2分 9 式 1分 20 此时 设球2脱离细杆时细杆与水平线夹角也为钙 如图 则 抄 0 c s 6 毕 a E等 E 猡 c 2雨 兰 马 7 或1 弧 度 25 O7 2 式3分 2 15 式 各 1分 16 式2分 式各 丫 分 26 27l 分 一 17 式1分 18 式2分 J磕 I5彡 如图所示 月 雳 C为 个 质点 朐 质量远远大 r C的质量 2和C的质量相等 已 彳 汐之闯 刀 C之问存在 耐 吸F 汐 C之 间存在相互排斥力 个质点在相互间引力或斥力的作用下运矽如 果作用力合适 可以存在 种如下形式的运动 a C的相对位置圃定 它们掏成 个平面 二 个质 饶宕 泣i 这个平面内的某条轴匀速转动 因为质点刀的质昼远远大于P C的质蚩 可认 为该 转 轴过 质点 且 固 定不 动 迕 线彳 9勹转 牯的 央9 与 连 线亻f 与 传轴的夫角饵不相等 且0 r 2 o 钙 t 2 芦 丬B之间吸引力的大小尼 BF 别为 刀与 彳 C之间的距离 为比例系数 现 参考解答 C 彳C之伺吸弓 力的大小为 讠饣 彳c 阝 其中丨 刀 彳C丨分 不计重力的影响 试问 的值在什么范圃内 上述运动才能实 4 3 2 斑 哏 以 I表 示质点B的质量 夕表示连线彐C与竖直方向的夫角 表示 功的仲 这度 几c 表示扌C间排斥力的大小 市 艮 据牛顿定律有 凡a s i n q 疡f s i n 汐 7r L 2 到钫n q 凡 c o s 饵 几r c o s 汐 0 凡c s l l l 尼c n e 彳 q s h 1鲂 凡c s 饵 尼c c o s 夕 0 由 I 3 两式并利用 两式同得 删耦黯 5 考虑到几何关系 四 6 并利用 己知的 和 几c 的表迓式 刂钓 5 得到 9 7 联立 9l 9 从而有 亻 扌 阝 c o s 侈 亻c F COs 鲂 s i n d 田c s 砜 s i n 岔鲂c o s 2 l 0 如果q 田 则 意味着方程 s i n 田c s 2r C 0 1I 在 0 刀 2 区间有两个不同的藩 其中C为某 合适的常数 这要求函数s i n c o s 2夕 在 0 2 区间不能 是单调函数 也就是说s i n 和o o s 2 不能同时为单调J曾函数或单调减函数 因此 当 田增大时 若s i n 仓田 增大 则c o s d l 应减小 反之 若 s i n l Ft 小 贝刂 c o s 2 应增大 故 与 2同号 因此有 2 13 对 6灬代入 3a l 得 屮 d i i 管 觜 由 7d l 得 n q c o s 口 l 伢 n 仇 9o s 鲂 之后的讨论与 参考解答 卩 相同 评分标准 参考 参考解答l 2a l 丽 面 一一 h面 伍石 南 h 劫 邕 冫 4a 5a 6a 7a 8a 10 r l 五 15分 南极冰梁崩裂i 乡以一l 匚虫冰l l 违洋流漂l J 个城市 自丿 设 汁了一 引用这座冰 六大电 的方窠 具体过程为 先将环境 一走呈的空气装 体积可变 t 容器 在倮持厅强不变的条件下廷 冰 山接触使容器内空气温度降至冰山温度 b l 使容器脱烹冰山 保持其体积不变 让容竽 约冷空气从 境肀 吸收热量 使其温度升至环境温度I 在保持容器体积不变的情况下让空气从容器中啧出 带动发电装置发 电 如此重复 直至整座冰山鼬化 已知环境溢度 a 93 冰山的温度为冰的熔点 273K9可利 冰 山的质量 1o 1d k g 为了估箅可能水得的电能 设计者做出的假设和利用的数据如下 l 空气可视为理想气体 2 冰的熔解热 334 10 J k g 冰融化成愠度为马的水之后即不再利用 3 压强为p 体积为 的 空气的内能 25 7 容器与坏境之间的热传导良好 可 以保证喷气过程中容器中空气温度不变 5 唢气过程可分解为一迕串小过程 每次喷出的气体的体积都是 且 远小于容 力体积 在钅 j 过 程屮 喷管中的气体在内外压强差的作用下加速 从雨获得 定 动能 E 从喷蔫责出 不考疗 士气 体在加速过程中体积的改变 并认为在喷气过程中容器内的气体压强仍是均匀扩 卜压强为大气三 假设可能获得的电能是龃 总和的45 7 当丨x 1时 l n 1 l j t 试棂据 没计者的假设 计算利用这座冰 山可以获得的电能 参考解答 以 表示环境中大气的压强 则初始时装入容嚣的空气的压强为r 9温度为z 圪表示其体 当容 器与冰山接触 达到平衡时 容器中空气的温度为 体积减小为 根据题薏 空气经 贡的过程为等三t 程 故有 l o Z 1 马 在这 过程中 容器中空气内能的增加量为 1 大气对所考察空气儆功为 y 25尸 吒 2 臼 凡 圪 j 公 若以o 表示此过程中冰山传给容器中空气的热量 l l i 据热力学第 走律 r t r i 由以上四式得 阝 既 吒 f 刂 2 丿y 9式 给出的g 是负的 表示在这一过程中 卖际上是容器中的空气祀热量传给冰L 容器中空气的温度降至冰山温度后 叉经 过等容升i 昆过程 歼保拧忤积 不变 温度I 升至环境愠 度马 并从周囝环境吸热 若以p 表示所考察空气的压强 则 有 凡 2t 丐 6 设 唢管 l 9体积为 当喷眚中的气体第 次被喷出时 容器中空气的压强出卢 l 降到尸 根荦乏目给出豹条 仵 有 p l p 2 即 乃 n s 氵 竺 8 唢出气体获得钓动能 AEk l l 凡 当喷管中的空气第二次被喷出后 容器中空气压强由 P2降到p 裉 据瑟给出的条件可得 炳 宀 奸 i 竺 IO 喷出气体获得的动能 岷2 妈 宀 I 当 喷管中 的空气第 次被喷出后 容器内空气的压强由p 降到尸H 裉据题给出的条 件可待 v w 一 可 一 冫 12 啧出气体荻得的动能 巫k N t 果经过 次喷射后 容器中空气的压强降到周围大气的压强 1 艹 0尸 这时喷末过程终止 在整过喷气过程 中 喷出气体的 总动能 刀k Ek 迅 2 k N 利用 8 孳刂 13 式 15 式可化成 砷 竿 箐 帑 1 咖 16 式等号右边第 I项方括号内是 项的等比级数 故有 5 I6 14 Fk r 卩饣 JCf z D 哕Ly 19 O 21 又 根据 8 10 12 l l 各式可得 对 18 式等式两边取自然对数得 n 锌 Pl 凡 P l n 贵 臼 0 可利用近似公式 l n 芝雨由 ID 18 O0 式得 简 化 步 风 将 l 6 代入 21 式 可得 13 弓 丝 25 24 22 C3 量 热 忠 的 收 吸 可 埠 化 根据题意 以上讨论表明 要获得电能z 因此可产生的总电量为 将 5 和O3 带入侈匀式 得 代入数据后有 评分标准 5 式3分 式各 1分 1 丹 丹 畀 且 岛 这些动能可转化成 L 70 一 一 一 一 26 厶 5 10 J 7 式 l 分 9 式2分 17 式2分 l 式l 分 22 式3分 25 27 27 14 参考解答 以P 表示环境中大气的压强 设融化整座冰山可使刀摩尔匆空气参与如题所述的过程 体积和温度变化分别为 和 r 日 几 贝刂 义 过程中磨芎 气体苡出的热量为 t 9 p 口 死 9 其中右边第 项表示大气对系统做的功 第二项表示系统内能药变化 考虑到物态方程 有 R 马 r 这部分热量等于冰山融化吸收的熔解热 故 g 和 因此联立 2 3 可得 2刀 z 7R 几 丐 中 设最后达到压逞风 风 E f 巳 望Zl 戊 在气体等容吸热的过程 b 体积达 r 则易 得 且在过程 a 中 3 5 i 2 6 7 4 15 再考虑喷气过程i 因为等温 在每个喷气的小过程中过后 容 s 一 内的压强增量d 满足 p p 9 I P 其中 0为过程 b 中系统的体积 P为这个喷气过程中容器 约 压强 那么喷出的气体的动能 蜢冫 P J 与 7 联立 消去 得 峨 臼 死 吒 坐 P P 总的动 能贝 刂 为 困此 做变换M E 脚 9 景后 据题意所获得的总的电能为 厶 饣 t P卩 v 典 9l 丹 且 宀 045 1 式 得 主 j 70 5 l 0 J 12 13 将 4 5 1o 带入 一 T 卜一 F 一 r亠 I二 代人数据后有 评分标准兮参照 参考解答1 韵怦分仔准 l l 赢氵 藐 樊 謦 段T篷黥 l 蘑 覆 篓I吾 晷甜 其质量为 轻推乒乓球 使乏向其中一 全屑梗运动 乒乓球与该板碰撞后 返F 并与另 钣碰擅 如此不 l 反复 假设乒乓球与两板的碰撞为非弹l J 碰撞 其恢复系数为 g 乒乓球与金属 接触的时间极短 并在这段时间内 达到静电平衡 达到静 电平街肘 乒乓球所带的电衔量 与两极板之问电势 差的关系可表示为 C仓 其中气为一常量 同时假设乒乓球半径远小于 两全属扳间距d 乒乓球上的电荷不影响全属板上的电苻分布 连接乒乓球 的绳子足够长 乒乓球的运动可近似为沿水平方向的壹线运动 乒乓球第 次与金属扳碰撞时的初动能可忽略 9 气阻力可忽略 试求 l 乒乓球运动过程中可能获得的最大动能 2 经过足够长时问后 通过外电路的平均电流 参考解答1 1 根据题意 乒乓球与全属板第一次碰撞前其动能和速度分别为 夙I o Vl 0 刚碰后 乒乓球带的电荷量 u 丬 y 其动能和速度分剔为 夙1 0 v 丨 0 5 此后在电场力作用下乒乓球向 另一金属板加速运动 当它刭达男 金属板 与金属板第二次碰撞前其动能为 g Cc 1 3 2 注意至 刂 3 4 式有 且2 夙I g y 19 与金属板第二次碰撞前的速度为 第工 次斑撞后的速度和动能分别 白 9 l 分式得 乒乓球与金属板第三次碰撞前动能为 战2 c l 2 浮 v g 2 泓2 吉 J 呓 2 夙2 Ek 2 夙3 凤2 g y 凡 疒0 l c 卩 2 8 氵 99 10 由o 7 l l l a 式得 16 12 I5 l l 17 18 19 乒乓球与金属板第三次碰撞前速度 浮 乒乓球与金属板第三次碰撞后的速度和动能分别为 呓 召v 3 矸J 圹 Fk 3 乒乓球与金属扳四次碰撞前的动能 由 3 l 18 19 式得 风4 夙3 g 夙 矿 c 咣r r 20 乒乓球与全属板第四次碰撞前速度为 盱 晤 2 乒乓球与全属板第四次碰攮后的这度斥i 动能 裂为 v i 民 f 2钱 以此类推 可得乒乓球与全属板第 次碰撞交 后的动能分剔为 Eh 1 2 C l q 2 丑 c I 沪 泸 l 幼 t i 卩 民 军 1 l 召 瓯 2 对非弹性砸撞 e l 可曲以上两式看出三 和 辶均随碰撞次数单调递塘 凡 1 矿 2 P 了 亏F咣r 乒乓球运动过程中能达到的最大动能应为与圭昌板砬揸前的极限动能 即 Fl m 亠 r i 歹 u 2 22 23 27 当彳 o o 时有 I i 艹 肛 暂 良督畲备蛰 扌 2 2劭 29 30 2 经过足够长肘间后亦盱 时 乓球在臬 次与全属板碰撞后和下一次碰撞前的速度分别为 l L平刁叱 磊 吒 导 r 孑 卺 马 缶 3D 32 此间时阃间膈 因此可得 通过外电路的平均 毫流强蒉 33 31 含2 03 3 l 各式得 C34 rl 合 28 29 三 式2分 3 33 式各 分 05 式2分 一 亠 评分标准 26 27 式或 t l 20z y 夕 口 图 a Pr 示 碡艮 均厶的导线i f 联成 边长为 的 网 叶 生 耳方体 每根导罕杆的宅 均 为 尕 该正方体在匀强磁场中绕通过其中心且与 四 6 d 面垂直的转动轱作匀速转动 角速度为r t 己知磁蓉 强度 大小为B 方向与转动轴垂直 忽略电路的自感 当正方体转动到如图 b 所示的位置 对角线o h 与瘩矛万庶 夹角为夕 时 求 通过导线 a 夕d c 和t l 的电流强度 2 为维蒋正方体作匀速转动所糯的外力矩 b 参考解答i l 和c 中的感应电动势为 洳 气 6 乎引 s l l l 汐 y b 和 d 中的感应电动势为 刃 2Jf y c o s 9 根据电珞的对称性可知 厶 r 2 涩 r l 几 几b 岛t 彳 记 l J 厶犭 F r 根据基耳瞿大第一定律 有 r 耐 厶t 4 巧 几 v 龆 厶 r 8 厶 C 6 3 4 5 k 9 讠z 分 r 1 r f L 子 z 厶 根据基耳霍夫第二定律 有 R 几 R r 1R z J 农 2 气 0 根据 D 7 可 解得 廴 乓亍 纟o 分 刂 n t 艹半C 汐 焖 2 当正方体转动到任意位置 芯隽笺凼 吏 瑷吴亮为任意 时 通 过 四 c C t F 廴 亚 丛 艹 夕 廴 廴 艹 呜 弘 n 矽 厶 l 仝 121r 二竺 c s 卩 鸽 撑辔 c t l s 9 为维持正方体作匀速转动所需的外力矩等于碰汤对耄奏i 月的合力矩 目卩 凡 刀吒 尻 B叱j 14 v 呃 鲁 氵s 澜 呃 犭乎 c s 夕 将 l l 14 代入 15 俜 l v r 些垫 2R 16 n i 7冫 t 9 莎 b t r 氵 r s 乏 i 10 12 姻0 尘辶r 评分标准 i 2 式共2分 4 5 式共4分 6 式共 2分 14 式 1分 15 式 2分 6 式 l 分 8 9 式共4分 n O 113 1 k 9卜 i 7 式共4分 冖 o 口 0 口 I I I 口 口 冂 口 参考解答2 1 曰 和c c 中的感应 电动势为 油 r 喾勿 l n 矽 b b 和汨 中的感应 电动劳为 e 半 y s 矽 2b 先计算 b 和 单独存在 和 短路 跗流过各支路 的电流 若将 曰 和c 断开 则等效电路如图所示 则通过b 和 诎 端 业屮涮 通过 乃o n 3c 和c 的电流强度 4P 邛P 犭 r 犭 2三 至 三 c s 矽 根据