【创新设计】高考数学 第八篇 第8讲 立体几何中的向量方法（二）限时训练 新人教A版.doc

第8讲 立体几何中的向量方法（二）a级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1已知向量m，n分别是直线l和平面的方向向量、法向量，若cosm，n，则l与所成的角为 ()a30 b60 c120 d150解析设l与所成的角为，则sin |cosm，n|，30.答案a2正方体abcda1b1c1d1中，e是棱bb1中点，g是dd1中点，f是bc上一点且fbbc，则gb与ef所成的角为 ()a30 b120 c60 d90解析如图建立直角坐标系dxyz，设da1，由已知条件，得g，b，e，f，cos，0，则.答案d3长方体abcda1b1c1d1中，abaa12，ad1，e为cc1的中点，则异面直线bc1与ae所成角的余弦值为 ()a. b. c. d.解析建立坐标系如图，则a(1,0,0)，e(0,2,1)，b(1,2,0)，c1(0，2,2)(1,0,2)，(1,2,1)，cos，.所以异面直线bc1与ae所成角的余弦值为.答案b4(2013杭州月考)在正方体abcda1b1c1d1中，m、n分别为棱aa1和bb1的中点，则sin，的值为 ()a. b. c. d.解析设正方体的棱长为2，以d为坐标原点，da为x轴，dc为y轴，dd1为z轴建立空间直角坐标系(如图)，可知(2，2,1)，(2,2，1)，cos，sin，答案b二、填空题(每小题5分，共10分)5(2013连云港模拟)若平面的一个法向量为n(4,1,1)，直线l的一个方向向量为a(2，3,3)，则l与所成角的正弦值为_解析cosn，a.又l与所成角记为，即sin |cosn，a|.答案.6如图所示，在三棱柱abca1b1c1中，aa1底面abc，abbcaa1，abc90，点e、f分别是棱ab、bb1的中点，则直线ef和bc1所成的角是_解析建立如图所示的空间直角坐标系设abbcaa12，则c1(2,0,2)，e(0,1,0)，f(0,0,1)，则(0，1,1)，(2,0,2)，2，cos，ef和bc1所成角为60.答案60三、解答题(共25分)7(12分)如图，四面体abcd中，ab、bc、bd两两垂直，abbcbd4，e、f分别为棱bc、ad的中点(1)求异面直线ab与ef所成角的余弦值；(2)求e到平面acd的距离；(3)求ef与平面acd所成角的正弦值解如图，分别以直线bc、bd、ba为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则各相关点的坐标为a(0,0,4)、c(4,0，0)、d(0,4，0)，e(2,0,0)、f(0，2,2)(1)(0,0，4)，(2,2,2)，|cos，|，异面直线ab与ef所成角的余弦值为.(2)设平面acd的一个法向量为n(x，y,1)，则(4,0，4)，(4,4,0)，xy1，n(1,1,1，)f平面acd，(2,2,2)，e到平面acd的距离为d.(3)ef与平面acd所成角的正弦值为|cosn，|8(13分)如图，在底面为直角梯形的四棱锥pabcd中，adbc，abc90，pa平面abcd，pa3，ad2，ab2，bc6.(1)求证：bd平面pac；(2)求二面角pbda的大小(1)证明如图，建立空间直角坐标系，则a(0,0,0)，b(2，0,0)，c(2，6,0)，d(0,2,0)，p(0,0,3)，(0,0,3)，(2，6,0)，(2，2,0)0，0.bdap，bdac.又paaca，bd面pac.(2)解设平面abd的法向量为m(0,0,1)，设平面pbd的法向量为n(x，y，z)，则n0，n0.(2，0,3)，解得令x，则n(，3,2)，cosm，n.二面角pbda的大小为60.b级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1如图，在四面体abcd中，ab1，ad2，bc3，cd2.abcdcb，则二面角abcd的大小为 ()a.b.c.d.解析二面角abcd的大小等于ab与cd所成角的大小.而22222|cos ，即1214922cos，cos，ab与cd所成角为，即二面角abcd的大小为.故选b.答案b2如图，设动点p在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1的对角线bd1上，记.当apc为钝角时，则的取值范围是 ()a. b.c. d.解析由题设可知，以、为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系d xyz，则有a(1,0,0)，b(1,1,0)，c(0,1,0)，d1(0,0,1)由(1,1，1)，得(，)，所以(，)(1,0，1)(1，1)，(，)(0,1，1)(，1，1)显然apc不是平角，所以apc为钝角等价于cos apccos，0，这等价于0，即(1)()()(1)(1)2(1)(31)0，得 1.因此，的取值范围为.答案d二、填空题(每小题5分，共10分)3(2011全国)已知点e、f分别在正方体abcda1b1c1d1的棱bb1，cc1上，且b1e2eb，cf2fc1，则面aef与面abc所成的二面角的正切值为_解析如图，建立直角坐标系dxyz，设da1由已知条件a(1,0,0)，e，f，设平面aef的法向量为n(x，y，z)，面aef与面abc所成的二面角为，由得令y1，z3，x1，则n(1,1，3)平面abc的法向量为m(0,0，1)cos cosn，m，tan .答案4在三棱锥oabc中，三条棱oa，ob，oc两两垂直，且oaoboc，m是ab边的中点，则om与平面abc所成角的正切值是_解析如图所示建立空间直角坐标系，设oaoboc1，则a(1,0,0)，b(0，1,0)，c(0,0,1)，m，故(1,1,0)，(1,0,1)，.设平面abc的法向量为n(x，y，z)，则由得令x1，得n(1,1,1)故cosn，所以om与平面abc所成角的正弦值为，其正切值为.答案三、解答题(共25分)5(12分)(2012新课标全国)如图，直三棱柱abca1b1c1中，acbcaa1，d是棱aa1的中点，dc1bd.(1)证明：dc1bc.(2)求二面角a1bdc1的大小(1)证明由题设知，三棱柱的侧面为矩形由于d为aa1的中点，故dcdc1.又acaa1，可得dcdc2cc，所以dc1dc.而dc1bd，dcbdd，所以dc1平面bcd.因为bc平面bcd，所以dc1bc.(2)解由(1)知bcdc1，且bccc1，则bc平面acc1a1，所以ca，cb，cc1两两相互垂直以c为坐标原点，的方向为x轴的正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 cxyz.由题意知a1(1,0,2)，b(0,1,0)，d(1,0,1)，c1(0,0,2)则(0,0，1)，(1，1,1)，(1,0,1)设n(x，y，z)是平面a1b1bd的法向量，则即可取n(1,1,0)同理，设m(x，y，z)是平面c1bd的法向量，则即可取m(1,2,1)从而cosn，m.故二面角a1bdc1的大小为30.6.(13分)(2012全国)如图，四棱锥pabcd中，底面abcd为菱形，pa底面abcd，ac2，pa2，e是pc上的一点，pe2ec.(1)证明：pc平面bed；(2)设二面角apbc为90，求pd与平面pbc所成角的大小(1)证明以a为坐标原点，射线ac为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系axyz.设c(2，0,0)，d(，b,0)，其中b0，则p(0,0,2)，e，b.于是(2，0，2)，从而0，0，故pcbe，pcde.又bedee，所以pc平面bde.(2)解(0,0,2)，(，b,0)设m(x，y，z)为平面pab的法向量，则m0，且m0，即2z0且xby0，令xb，则m(b，0)设n(p，q，r)为平面pb