Matlab笔记之二---- 符号工具箱的应用2.doc

符号计算有两个特点：1. 运算对象和运算过程允许存在非数值的符号变量； 2. 可以获得任意精度的数值解。A=sym(a11,a12,a21,a22)inv(A)determ(A)eigensys(A)syms a b c d A=a b c d;b -a d -c;c -d -a b;d c -b -aA1=det(A)simple(A1) A1=simple(A1)Symbolic Math Toolbox 2.1 版沿用数值计算的这种模式，规定：在进行符号计算时，首先要定义基本的符号对象（可以是常数、变量、表达式），然后利用这些基本符号对象去构成新的表达式，进而从事所需的符号运算。在运算中，凡是由包含符号对象的表达式所生成的衍生对象也都是符号对象。 定义基本符号对象的命令有两个：sym, syms。它们常用的使用格式有： f=sym(arg) 把数字、字符串或表达式arg转换为符号对象f。 f=sym(argn,flagn) 把数值或数值表达式argn转换为flagn格式的符号对象。 argv=sym(argv, flagv) 按flagv指定的要求把字符串argv定义为符号对象argv。 syms(argv1,argv2,argvk) 把字符argv1 argv2 argvk 定义为基本符号对象。syms argv1 argv2 argvk 上述格式的简洁形式y=sym(2*sin(x)*cos(x)y=simple(y)syms fai1 fai2y=simple(sin(fai1)*cos(fai2)-cos(fai1)*sin(fai2)在符号运算中，倘若事先没对表达式中的独立符号变量进行定义，那么MATLAB将会自动检查哪些字符是符号函数，哪些是变量符号，且总把在英文字母表中离x最近的字母认作为独立符号变量。MATLAB采用了重载技术，使得用来构成符号计算表达式的算符和基本函数，无论在形状、名称上，还是在使用方法上，都与数值计算中的算符和基本函数几乎完全相同。1 基本运算符 算符“+”，“-”，“*”，“”，“/”, “”分别实现矩阵的加、减、乘、左除、右除、求幂运算。 算符“.*”，“./”，“.”，“.”分别实现“元素对元素”的数组乘、除、求幂。 算符“”，“.”分别实现矩阵的共轭转置、非共轭转置。 2 关系运算符 在符号对象的比较中，没有“大于”、“大于等于”、“小于”、“小于等于”的概念，而只有是否“等于”的概念。 算符“= =”，“ =”分别对算符两边的对象进行“相等”、“不等”的比较。当事实为“真”时，比较结果用1表示；当事实为“假”时，比较结果则用0表示。 3 三角函数、双曲函数及它们的反函数 除atan2仅能用于数值计算外，其余的三角函数（如sin）、双曲函数（如cosh）及它们的反函数（如asin,acosh），无论在数值计算还是符号计算中，它们的使用方法相同。 4 指数、对数函数 在数值、符号计算中，函数sqrt,exp,expm的使用方法完全相同。至于对数函数，符号计算中只有自然对数log(即一般教材中用ln)，而没有数值计算中的log2,log10。 5 复数函数 涉及复数的共轭conj、求实部real、求虚部imag和求模abs函数，在符号、数值计算中的使用方法相同。但注意，在符号计算中，MATLAB没有提供求相角的命令。6 矩阵代数指令 在矩阵计算中，MATLAB提供的常用矩阵代数指令有diag,triu,tril,inv,det,rank,rref,null,colspace,poly,expm,eig,svd。它们的用法几乎与数值计算中的情况完全一样，只有svd稍微不同。findsym可以实现对表达式中所有自由变量或指定数目的独立自变量的自动认定。具体如下：findsym(EXPR) 确认表达式EXPR中所有“自由”符号“变量”。 findsym(EXPR, N) 从表达式EXPR中确认出靠x最近的N个独立自变量。syms a b x X Yk=sym(3)z=sym(c*sqrt(delta)+y*sin(theta)EXPR=a*z*X+(b*x2+k)*Yfindsym(EXPR)findsym(EXPR,1)findsym(EXPR,2)findsym(EXPR,3)syms a b t u v x yA=a+b*x,sin(t)+u;x*exp(-t),log(y)+vfindsym(A,1)RS, ssub=subexpr(S, ssub) 运用符号变量置换子表达式，重写S为RS。syms a b c d W V,D=eig(a b;c d)RVD,W=subexpr(V;D,W)被置换的子表达式是机器自动寻找的。其置换原则是：只有比较长的子表达式才被置换；至于比较短的子表达式，即便多次重复出现，也不被置换。RES=subs(ES, old, new) 用new置换ES中的old后产生RES。 RES=subs(ES, new) 用new置换ES中的自由变量后产生RES。syms a xf=a*sin(x)+5f1=subs(f,sin(x),sym(y)double(x) 把符号常数转化为16位相对精度的浮点数值对象。digits(n) 设置今后数值计算以n位相对精度进行。 xs=vpa(x) 在digits指定精度下，给出x的数值型符号结果xs。xs=vpa(x, n) 在n位相对精度下，给出x的数值型符号结果xs。1 double指令运作所得结果一定是双精度数值对象。 2 除了使用vpa(x,n)对特定符号对象指定具体精度外，所有vpa(x)的精度都受其前的digit指令控制。digit指令的缺省精度是32位。 3 x可以是符号对象，也可以是数值对象，但指令运作后所得结果xs一定是符号对象。p0=sym(1+sqrt(5)/2)p1=sym(1+sqrt(5)/2)pd=double(p0)e01=vpa(abs(p0-p1)e0d=vpa(abs(p0-pd)p2=vpa(p0)e02=vpa(abs(p0-p2),64)digits符号序列求和s=symsum(f, v, a, b) 求f在指定变量v取遍a, b中所有整数时的和。1 f是矩阵时，求和对元素逐个进行，但自变量定义在整个矩阵上。2 v缺省时，f中的自变量由findsym自动辨认；b可以取有限整数，也可以取无穷大。3 a, b可同时缺省，此时默认求和的自变量区间为0, v-1。syms k tf1=t k3f2=1/(2*k-1)2,(-1)k/ks1=simple(symsum(f1)s2=simple(symsum(f2,1,inf)符号微分和Jacobian矩阵diff(f, v, n)jacobian(f, v) 求多元向量函数f的Jacobian矩阵。对一个矩阵的各个元素求偏导，结果仍为矩阵。syms a t xf=a t3;t*cos(x) log(x)dfx=diff(f)dft2=diff(f,t,2)dfxt=diff(diff(f,x),t)syms x1 x2f=x1*exp(x2);x2;cos(x1)*sin(x2)v=x1 x2fjac=jacobian(f,v)积分函数：int(f,v) 求f对指定变量v（不带积分常数的）不定积分。 int(f, v, a, b) 求f对指定变量v的定积分syms a b xf=a*x b*x2; 1/x sin(x)disp(The integeral of f is);pretty(int(f)f1=int(1/log(t),t,0,x)x=0.5:0.1:0.9f11=-mfun(Ei,1,-log(x)syms x y zf=int(int(int(x2+y2+z2,z,sqrt(x*y),x2*y),y,sqrt(x),x2),x,1,2)vf=vpa(f)符号卷积卷积在物理学与信号分析学起着极为重要的作用：一个信号，记为f(t)，通过某个线性系统S时，如果线性系统的脉冲响应是h(t)，则其输出信号就是f(t)与h(t)的卷积。syms T t positive syms tao ut=exp(-t)ht=exp(-t/T)/Tuh_tao=subs(ut,t,tao)*subs(ht,t,t-tao)yt=int(uh_tao,tao,0,t)求函数u(t)=U(t)-U(t-1)和h(t)=t*exp(-t)U(t)的卷积。syms taot=sym(t,positive) %定义t为正的符号变量ut=sym(Heaviside(t)-Heaviside(t-1)ht=t*exp(-t)yt=int(subs(ut,t,tao)*subs(ht,t,t-tao),tao,0,t)yt=collect(yt,Heaviside(t-1)SYMS arg1 arg2 . %定义arg1，arg2为符号变量 is short-hand notation for arg1 = sym(arg1); arg2 = sym(arg2); .SYMS arg1 arg2 . real %定义arg1，arg2为实数符号变量 is short-hand notation for arg1 = sym(arg1,real); arg2 = sym(arg2,real); .SYMS arg1 arg2 . positive %定义arg1，arg2为正数符号变