【创新设计】高考数学一轮总复习 第四篇 三角函数、解三角形教案 理 苏教版(1).doc

第四篇三角函数、解三角形第1讲弧度制及任意角的三角函数知 识 梳 理1角的概念(1)任意角：定义：角可以看做平面内的一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；分类；角按旋转方向分为正角、负角和零角(2)与角终边相同的角的集合|k360，kz(3)象限角：使角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限2弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角弧度记作rad.(2)公式：角的弧度数公式|(弧长用l表示)角度与弧度的换算1rad1 rad弧长公式弧长l|r扇形面积公式slr|r23.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点p(x，y)，那么y叫做的正弦，记作sin x叫做的余弦，记作cos 叫做的正切，记作tan 各象限符号口诀全正，正弦，正切，余弦三角函数线有向线段mp为正弦线有向线段om为余弦线有向线段at为正切线辨 析 感 悟1对角的概念的认识(1)小于90的角是锐角()(2)锐角是第一象限角，反之亦然()(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30.()(4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等()2任意角的三角函数定义的理解(5)(教材练习改编)已知角的终边经过点p(1,2)，则sin .()(6)(2014济南模拟改编)点p(tan ，cos )在第三象限，则角的终边在第二象限()(7)(2011新课标全国卷改编)已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y2x上，则cos .()感悟提升1一个区别“小于90的角”、“锐角”、“第一象限的角”的区别如下：小于90的角的范围：，锐角的范围：，第一象限角的范围：(kz)所以说小于90的角不一定是锐角，锐角是第一象限角，反之不成立如(1)、(2)2三个防范一是注意角的正负，特别是表的指针所成的角，如(3)；二是防止角度制与弧度制在同一式子中出现；三是如果角的终边落在直线上时，所求三角函数值有可能有两解，如(7)学生用书第46页考点一象限角与三角函数值的符号判断【例1】 (1)若sin tan 0，且0，则角是_ (2)sin 2cos 3tan 4的值_0.解析(1)由sin tan 0可知sin ，tan 异号，从而为第二或第三象限的角，由0，可知cos ，tan 异号从而为第三或第四象限角综上，为第三象限角(2)sin 20，cos 30，tan 40，sin 2cos 3tan 40.答案(1)三(2)规律方法 熟记各个三角函数在每个象限内的符号是判断的关键，对于已知三角函数式符号判断角所在象限，可先根据三角函数式的符号确定各三角函数值的符号，再判断角所在象限【训练1】 设是第三象限角，且cos ，则是第_象限角解析由是第三象限角，知为第二或第四象限角，cos ，cos 0，知为第二象限角答案二考点二三角函数定义的应用【例2】 已知角的终边经过点p(，m)(m0)且sin m，试判断角所在的象限，并求cos 和tan 的值解由题意得，r，sin m.m0，m.故角是第二或第三象限角当m时，r2，点p的坐标为(，)，角是第二象限角，cos ，tan .当m时，r2，点p的坐标为(，)，角是第三象限角cos ，tan .综上可知，cos ，tan 或cos ，tan .规律方法 利用三角函数的定义求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x、纵坐标y、该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)【训练2】 已知角的终边在直线3x4y0上，求sin ，cos ，tan 的值解角的终边在直线3x4y0上，在角的终边上任取一点p(4t，3t)(t0)，则x4t，y3t，r5|t|，当t0时，r5t，sin ，cos ，tan ；当t0时，r5t，sin ，cos ，tan .综上可知，sin ，cos ，tan 或sin ，cos ，tan .考点三扇形弧长、面积公式的应用【例3】 已知一扇形的圆心角为(0)，所在圆的半径为r.(1)若60，r10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值c(c0)，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？审题路线(1)角度化为弧度求扇形的弧长s弓s扇s分别求s扇lr，sr2sin 计算得s弓(2)由周长c与半径r的关系确定r与的关系式代入扇形面积公式确定s扇与的关系式求解最值解(1)设弧长为l，弓形面积为s弓，则60，r10，l10(cm)，s弓s扇s10102sin 50(cm2)(2)法一扇形周长c2rl2rr，r，s扇r22.当且仅当24，即2 rad时，扇形面积有最大值.法二由已知，得l2rc，s扇lr(c2r)r(2r2rc)2.故当r(l2r，2 rad)时，这个扇形的面积最大，最大值为.规律方法 (1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷(2)求扇形面积的最值应从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值.学生用书第47页【训练3】 (1)一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是多少弧度？扇形的面积是多少？(2)一扇形的周长为20 cm；当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？解(1)设扇形的圆心角为 rad，则扇形的周长是2rr.依题意：2rrr，(2)rad.扇形的面积sr2(2)r2.(2)设扇形的半径为r，弧长为l，则l2r20，即l202r(0r10)扇形的面积slr(202r)rr210r(r5)225.当r5 cm时，s有最大值25 cm2，此时l10 cm，2 rad.因此，当2 rad时，扇形的面积取最大值1在利用三角函数定义时，点p可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点|op|r一定是正值2三角函数符号是重点，也是难点， 在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦3在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧 创新突破4以任意角为背景的应用问题【典例】 (2012山东卷)如图，在平面直角坐标系xoy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点p的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为_突破1：理解点p转动的弧长是解题的关键，在单位圆中可寻找直角三角形突破2：在直角三角形中利用三角函数定义求边长突破3：由几何图形建立p点坐标与边长的关系解析如图，作cqx轴，pqcq, q为垂足根据题意得劣弧2，故dcp2，则在pcq中，pcq2，|cq|cos sin 2，|pq|sincos 2，所以p点的横坐标为2|cq|2sin 2，p点的纵坐标为1|pq|1cos 2，所以p点的坐标为(2sin 2,1cos 2)，故(2sin 2,1cos 2)答案(2sin 2,1cos 2)反思感悟 (1)解决此类问题时应抓住在旋转过程中角的变化，结合弧长公式、解三角形等知识来解决(2)常见实际应用问题有：表针的旋转问题、儿童游乐场的摩天轮的旋转问题等【自主体验】已知圆o：x2y24与y轴正半轴的交点为m，点m沿圆o顺时针运动弧长到达点n，以on为终边的角记为，则tan _.解析圆的半径为2，的弧长对应的圆心角为，故以on为终边的角为，故tan 1.答案1基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1若sin 0且tan 0，则是第_象限角解析sin 0，则的终边落在第三、四象限或y轴的负半轴；又tan 0，在第一象限或第三象限，故在第三象限答案三2若1弧度的圆心角所对的弦长等于2，则这个圆心角所对的弧长等于_解析设圆的半径为r，由题意知rsin 1，r，弧长lr.答案3(2014苏中联考)若角与角终边相同，则在0,2内终边与角终边相同的角是_解析由题意，得2k(kz)，(kz)又0,2，所以k0,1,2,3，.答案，4已知点p落在角的终边上，且0,2)，则的值为_解析由sin 0，cos 0知角是第四象限的角，tan 1，0,2)，.答案5有下列命题：终边相同的角的同名三角函数的值相等；终边不同的角的同名三角函数的值不等；若sin 0，则是第一、二象限的角；若是第二象限的角，且p(x，y)是其终边上一点，则cos .其中正确的命题是_解析正确，不正确，sin sin ，而与角的终边不相同不正确sin 0，的终边也可能在y轴的正半轴上不正确在三角函数的定义中，cos ，不论角在平面直角坐标系的任何位置，结论都成立答案6已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若p(4，y)是角终边上一点，且sin ，则y_.解析因为sin ，所以y0，且y264，所以y8.答案87.如图所示，在平面直角坐标系xoy中，角的终边与单位圆交于点a，点a的纵坐标为，则cos _.解析因为a点纵坐标ya，且a点在第二象限，又因为圆o为单位圆，所以a点横坐标xa，由三角函数的定义可得cos .答案8函数y的定义域为_解析2cos x10，cos x.由三角函数线画出x满足条件的终边的范围(如图阴影所示)x(kz)答案(kz)二、解答题9(1)写出与下列各角终边相同的角的集合s，并把s中适合不等式360720的元素写出来：60；21.(2)试写出终边在直线yx上的角的集合s，并把s中适合不等式180180的元素写出来解(1)s|60k360，kz，其中适合不等式360720的元素为300，60，420；s|21k360，kz，其中适合不等式360720的元素为21，339，699.(2)终边在yx上的角的集合是s|k360120，kz|k360300，kz|k180120，kz，其中适合不等式180180的元素为60，120.10(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；(2)一个扇形oab的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长ab.解(1)设圆心角是，半径是r，则解得或(舍去)扇形的圆心角为.(2)设圆的半径为r cm，弧长为l cm，则解得圆心角2.如图，过o作ohab于h，则aoh1弧度ah1sin 1sin 1 (cm)，ab2sin 1 (cm)能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1(2014杭州模拟)已知角的终边经过点(3a9，a2)，且cos 0，sin 0，则实数a的取值范围是_解析由cos 0，sin 0可知，角的终边落在第二象限或y轴的正半轴上，所以有解得2a3.答案(2,32给出下列命题：第二象限角大于第一象限角；三角形的内角是第一象限角或第二象限角；不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关；若sin sin ，则与的终边相同；若cos 0，则是第二或第三象限的角其中正确命题是_解析由于第一象限角370不小于第二象限角100，故错；当三角形的内角为90时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故错；正确；由于sin sin ，但与的终边不相同，故错；当，cos 10时，才能把x看作一个整体，代入ysin t的相应单调区间求解2三个防范一是函数ysin x与ycos x的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且平行于y轴的直线，如ycos x的对称轴为xk，而不是x2k(kz) 二是对于ytan x不能认为其在定义域上为增函数，应在每个区间(kz)内为增函数，如(6) 三是函数ysin x与ycos x的最大值为1，最小值为1，不存在一个值使sin x，如(7).考点一三角函数的定义域、值域问题【例1】 (2014广州模拟)已知函数f(x)，求f(x)的定义域和值域解由cos 2x0得2xk，kz，解得x，kz，所以f(x)的定义域为.f(x)3cos2x1cos 2x.所以f(x)的值域为.学生用书第52页规律方法 (1)求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解(2)三角函数值域的不同求法利用sin x和cos x的值域直接求把形如yasin xbcos x的三角函数化为yasin(x)的形式求值域利用sin xcos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域【训练1】 (1)函数y的定义域为_(2)当x时，函数y3sin x2cos2x的最小值是_，最大值是_解析(1)法一要使函数有意义，必须使sin xcos x0.利用图象，在同一坐标系中画出0,2上ysin x和ycos x的图象，如图所示在0,2内，满足sin xcos x的x为，再结合正弦、余弦函数的周期是2，所以原函数的定义域为.法二利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)定义域为.法三sin xcos xsin0，将x视为一个整体，由正弦函数ysin x的图象和性质可知2kx2k，kz，解得2kx2k，kz.所以定义域为.(2)y3sin x2cos2x3sin x2(1sin2x)2sin2 xsin x1，令sin xt，y2t2t122，t，ymin，ymax2.答案(1)(2)2考点二三角函数的奇偶性、周期性和对称性【例2】 (1)函数y2cos21的最小正周期是_奇 偶性为_(2)函数y2sin(3x)的一条对称轴为x，则_.解析(1)y2cos21cossin 2x为奇函数，t.(2)由ysin x的对称轴为xk(kz)，所以3k(kz)，得k(kz)，又|，k0，故.答案(1)奇函数(2)规律方法 (1)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为yasin(x)或yacos( x)的形式，则最小正周期为t；奇偶性的判断关键是解析式是否为yasin x或yacos xb的形式(2)求f(x)asin(x)(0)的对称轴，只需令xk(kz)，求x；求f(x)的对称中心的横坐标，只需令xk(kz)即可【训练2】 (1)已知函数f(x)sin(xr)，下面结论正确的是_函数f(x)的最小正周期为函数f(x)是偶函数函数f(x)的图象关于直线x对称函数f(x)在区间上是增函数(2)如果函数y3cos(2x)的图象关于点中心对称，那么|的最小值为_解析(1)f(x)sincos 2x，故其最小正周期为，正确；易知函数f(x)是偶函数，正确；由函数f(x)cos 2x的图象可知，函数f(x)的图象不关于直线x对称，错误；由函数f(x)的图象易知，函数f(x)在上是增函数，正确故正确的为.(2)由题意得3cos3cos3cos0，k，kz，k，kz，取k0，得|的最小值为.答案(1)(2)考点三三角函数的单调性【例3】 (2014临沂月考)设函数f(x)sin(2x)(0)，yf(x)图象的一条对称轴是直线x.(1)求；(2)求函数yf(x)的单调区间审题路线令(2)k，kz解得？又0得出值把f(x)sin(2x)，化为f(x)sin(2x)令g(x)sin(2x)求出g(x)的单调区间利用f(x)与g(x)的关系求f(x)的单调区间解(1)令(2)k，kz，k，kz，又0，.(2)由(1)得f(x)sinsin，令g(x)sin，由2k2x2k，kz，得kxk，kz，即g(x)的单调增区间为，kz；由2k2x2k，kz，得kxk，kz，即g(x)的单调减区间为(kz)，故f(x)的单调增区间为(kz)；单调减区间为(kz)规律方法 求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成yasin(x)形式，再求yasin(x)的单调区间，只需把x看作一个整体代入ysin x的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数【训练3】 (2012北京卷)已知函数f(x).(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递减区间解(1)由sin x0，得xk(kz)，故f(x)的定义域为x|xr，且xk，kz，因为f(x)2cos x(sin xcos x)sin 2xcos 2x1sin1，所以f(x)的最小正周期t.(2)将2x看做一个整体，根据ysin x的单调递减区间列不等式求解函数ysin x的单调递减区间为2k，2k(kz)由2k2x2k，且xk(kz)，得kxk(kz)所以f(x)的单调递减区间为(kz)1求三角函数的定义域应注意利用三角函数线或者三角函数图象2判断函数奇偶性，应先判定函数定义域的对称性，注意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数；复合函数在复合过程中，对每个函数而言，一偶则偶，同奇则奇3三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解对复合函数单调区间的确定，应明确是对复合过程中的每一个函数而言，同增同减则为增，一增一减则为减4求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数的式子，否则很容易出现错误一般地，经过恒等变形成“yasin(x)，yacos(x)，yatan(x)”的形式，再利用周期公式即可学生用书第53页答题模板5三角函数的最值(或值域)问题【典例】 (12分)(2013陕西卷)已知向量a，b(sin x，cos 2x)，xr，设函数f(x)ab.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在上的最大值和最小值规范解答f(x)(sin x，cos 2x)cos xsin xcos 2x，(2分)sin 2xcos 2xsin.(4分)(1)f(x)的最小正周期为t，即函数f(x)的最小正周期为.(6分)(2)0x，2x.(8分)由正弦函数的性质，得当2x，即x时，f(x)取得最大值1.当2x，即x0时，f(0)，当2x，即x时，f，f(x)的最小值为.(11分)因此，f(x)在上最大值是1，最小值是.(12分)反思感悟 求解三角函数的最值(或值域)时一定要注意自变量的取值范围，由于三角函数的周期性，正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处取得，因此要把这两个最值点弄清楚如本例中有学生直接把x0和x代入求得最值，这显然是错误的答题模板求函数f(x)asin(x)在区间a，b上值域的一般步骤：第一步：三角函数式的化简，一般化成形如yasin(x)k的形式或yacos(x)k的形式第二步：由x的取值范围确定x的取值范围，再确定sin(x)(或cos(x)的取值范围第三步：求出所求函数的值域(或最值)【自主体验】已知函数f(x)cos2sinsin.(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴；(2)求函数f(x)在区间上的值域解(1)f(x)cos2sinsincos 2xsin 2x(sin xcos x)(sin xcos x)cos 2xsin 2xsin2xcos2xcos 2xsin 2xcos 2xsin.最小正周期t，由2xk(kz)，得x(kz)函数图象的对称轴为x(kz)(2)x，2x，sin1.即函数f(x)在区间上的值域为.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1函数ylg(sin x)的定义域为_解析要使函数有意义必须有即解得2kx2k(kz)，函数的定义域为.答案(kz)2函数y(0x)的最小值为_解析令sin xt(0,1，则函数y1，t(0,1又y1在t(0,1上是减函数，所以当t1时，y取得最小值2.答案23函数f(x)2sin xcos x的最小正周期是_，奇偶性为_解析f(x)2sin xcos xsin 2x，即函数为最小正周期为的奇函数答案奇函数4(2014徐州联考)已知函数f(x)sin 1(0)的最小正周期为，则f(x)的图象的一条对称轴方程是_x；x；x；x解析依题意得，|3，又0，因此3，所以3xk，解得x，当k0时，x.因此函数f(x)的图象的一条对称轴方程是x.答案5已知函数f(x)sin(x)cos(x)是偶函数，则的值为_解析据已知可得f(x)2sin，若函数为偶函数，则必有k(kz)，又由于，故有，解得，经代入检验符合题意答案6(2014济南调研)已知f(x)sin2 xsin xcos x，则f(x)的最小正周期和单调增区间分别为_、_.解析由f(x)sin2xsin xcos xsin 2xsin.t.又2k2x2k，kxk(kz)为函数的单调递增区间答案k，k(kz)7(2014三明模拟)已知函数f(x)2sin(x)对任意x都有ff，则f等于_解析由ff知，函数图象关于x对称，f是函数f(x)的最大值或最小值答案2或28已知函数f(x)3sin(x)(0)和g(x)3cos(2