高中数学 第1章 集合与函数概念 1.3.1 单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性课件 新人教A版必修1.ppt

第一章1 3 1单调性与最大 小 值 第1课时函数的单调性 1 了解函数单调性的概念 掌握判断简单函数单调性的方法 2 能用文字语言和数学符号语言描述增函数 减函数 单调性等概念 能准确理解这些定义的本质特点 学习目标 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 栏目索引 知识梳理自主学习 知识点一增函数与减函数的定义一般地 设函数f x 的定义域为i 如果对于定义域i内某个区间d上的任意两个自变量的值x1 x2 当x1f x2 那么就说函数f x 在区间d上是减函数 思考任何函数在定义域上都具有单调性吗 答案 答案 返回 知识点二函数的单调区间如果函数y f x 在区间d上是增函数或减函数 那么就说函数y f x 在这一区间具有 严格的 单调性 区间d叫做y f x 的单调区间 思考若函数f x 在定义域内的两个区间d1 d2上都是减函数 那么f x 的减区间能写成d1 d2吗 题型探究重点突破 题型一求函数的单调区间例1 1 如图所示的是定义在区间 5 5 上的函数y f x 的图象 则函数的单调递减区间是 在区间 上是增函数 解析观察图象可知 y f x 的单调区间有 5 2 2 1 1 3 3 5 其中y f x 在区间 5 2 1 3 上是增函数 在区间 2 1 3 5 上是减函数 解析答案 2 1 3 5 5 2 1 3 1 1 解析答案 例2画出函数y x2 2 x 1的图象并写出函数的单调区间 解析答案 反思与感悟 函数的大致图象如图所示 单调增区间为 1 0 1 单调减区间为 1 0 1 1 作出函数的图象 利用图形的直观性能快速判断函数的单调区间 但要注意图象一定要画准确 2 函数的单调区间是函数定义域的子集 在求解的过程中不要忽略了函数的定义域 3 一个函数出现两个或两个以上的单调区间时 不能用 连接两个单调区间 而要用 和 或 连接 反思与感悟 解析答案 由图象可知 函数的单调递减区间为 1 和 1 2 单调递增区间为 2 解析答案 题型二函数单调性的判定与证明 反思与感悟 证明设任意的x1 x2 0 1 且x1 x2 因为00 x2 x1 0 反思与感悟 利用定义证明函数单调性的步骤如下 1 取值 设x1 x2是该区间内的任意两个值 且x1 x2 2 作差变形 作差f x1 f x2 并通过因式分解 通分 配方 有理化等手段 转化为易判断正负的式子 3 定号 确定f x1 f x2 的符号 4 结论 根据f x1 f x2 的符号及定义判断单调性 证明任取x1 x2 1 且x1 x2 解析答案 x2 x1 1 x2 x1 0 x1 1 x2 1 0 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 函数f x 在 1 上为减函数 解析答案 反思与感悟 题型三函数单调性的简单应用例4已知函数f x x2 2 a 1 x 2在区间 4 上是减函数 求实数a的取值范围 解 f x x2 2 1 a x 2 x 1 a 2 2 1 a 2 f x 的减区间是 1 a f x 在 4 上是减函数 对称轴x 1 a必须在直线x 4的右侧或与其重合 1 a 4 解得a 3 反思与感悟 1 二次函数是常见函数 遇到二次函数后就配方找对称轴 画出图象 会给研究问题带来很大的方便 2 已知函数单调性求参数的取值范围 要注意数形结合 采用逆向思维方法 解析答案 跟踪训练3函数f x x2 2ax 1在 2 上是增函数 则实数a的取值范围是 解析f x x2 2ax 1 x a 2 1 a2 抛物线开口向下 对称轴x a 2时 f x 在 2 上是增函数 所以实数a的取值范围是a 2 a 2 忽视函数定义域致误 易错点 解析答案 易错警示 例5已知y f x 在定义域 1 1 上是减函数 且f 1 a f 2a 1 则实数a的取值范围为 错解 f x 在 1 1 上是减函数 且f 1 a f 2a 1 又f x 在 1 1 上是减函数 且f 1 a f 2a 1 易错警示 解析答案 返回 跟踪训练4已知f x 是定义在 1 1 上的单调递增函数 若f a f 2 3a 则a的取值范围是 当堂检测 1 2 3 4 5 解析答案 a 函数f x 先增后减b f x 是r上的增函数c 函数f x 先减后增d 函数f x 是r上的减函数 b 当a b时 f a f b 所以函数f x 是r上的增函数 解析答案 2 函数y x2 6x的减区间是 a 2 b 2 c 3 d 3 解析y x2 6x x 3 2 9 故减区间为 3 d 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 解析答案 3 下列函数中 在区间 0 1 上是增函数的是 a y x b y 3 x a 解析答案 1 2 3 4 5 4 已知函数f x 是 上的增函数 若a r 则 a f a f 2a b f a2 f a 2 d f 6 f a 解析因为函数f x 是增函数 且a 3 a 2 所以f a 3 f a 2 c 1 2 3 4 5 解析答案 5 函数y x x 1 的单调递增区间是 课堂小结 1 对函数单调性的理解 1 单调性是与 区间 紧密相关的概念 一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性 2 单调性是函数在某一区间上的 整体 性质 因此定义中的x1 x2有以下几个特征 一是任意性 即任意取x1 x2 任意 二字绝不能丢掉 证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换 二是有大小 通常规定x1x2 4 并不是所有函数都具有单调性 若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间 则此函数在这个区间上不存在单调性 2 单调性的证明方法证明f x 在区间d上的单调性应按以下步骤 1 设元 设x1 x2 d且x1 x2 2 作差 将函数值f x1 与f x2 作差 3 变形 将上述差式 因式分解 配方等 变形 4 判号 对上述变形的结果的正 负加以判断 5 定论 对f x 的单调性作出结论 其中变形为难点 变形一定要到位 即变形到能