【全程复习方略】（广西专用）高中数学 9.9空间向量的坐标运算课时提能训练 理 新人教A版.doc

【全程复习方略】（广西专用）2013版高中数学 9.9空间向量的坐标运算课时提能训练 理 新人教a版 (45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.已知a(0,2t1,1t)，b(t，t,2)，则|ba|的最小值是()(a)(b)(c)(d)2.在正方体abcda1b1c1d1中，若e为a1c1的中点，则直线ce垂直于()(a)ac (b)bd (c)a1d (d)a1a3.已知正四棱柱abcda1b1c1d1中，aa12ab，e为aa1中点，则异面直线be与cd1所成角的余弦值为()(a)(b)(c)(d)4.(2012百色模拟)已知a(2，5,1)，b(2，2,4)，c(1，4,1)，则向量与的夹角为()(a)30 (b)45 (c)60 (d)905.如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，棱长为a，m，n分别为a1b和ac上的点，a1man，则mn与平面bb1c1c的位置关系是()(a)相交 (b)平行(c)垂直 (d)不能确定6.(易错题)如图，在矩形abcd中，ab3，bc4，沿对角线bd将abd折起，使a点在平面bcd内的射影o落在bc边上，若二面角cabd的大小为，则sin 的值等于()(a) (b) (c) (d)二、填空题(每小题6分，共18分)7.已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为.8.如图，正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，o是底面a1b1c1d1的中心，则点o到平面abc1d1的距离为.9.正四棱锥sabcd中，o为顶点在底面上的射影，p为侧棱sd的中点，且sood，则直线bc与平面pac所成的角是.三、解答题(每小题15分，共30分)10.(预测题)已知正方体abcdabcd的棱长为1，点m是棱aa的中点，点o是对角线bd的中点.(1)求证：om为异面直线aa和bd的公垂线；(2)求二面角mbcb的大小；(3)求三棱锥mobc的体积.11.(2012南宁模拟)已知在四棱锥pabcd中，底面abcd是矩形，且ad2，ab1，pa平面abcd，e、f分别是线段ab、bc的中点.(1)证明：pffd；(2)判断并说明pa上是否存在点g，使得eg平面pfd；(3)若pb与平面abcd所成的角为45，求二面角apdf的平面角的余弦值.【探究创新】(16分)如图，在矩形abcd中，ab2，bca，pad为等边三角形，又平面pad平面abcd.(1)若在边bc上存在一点q，使pqqd，求a的取值范围；(2)当边bc上存在唯一点q，使pqqd时，求二面角apdq的余弦值.答案解析1.【解析】选c.|ba|，故选c.2.【解题指南】合理建立坐标系，分别求出选项中的线段对应的向量，即可求得结果.【解析】选b.以a为原点，ab、ad、aa1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则a(0,0,0)，c(1,1,0)，b(1,0,0)，d(0,1,0)，a1(0,0,1)，e(，1)，(，1)，(1,1,0)，(1,1,0)，(0,1，1)，(0,0，1)，显然00，即cebd.3.【解析】选c.建立如图所示空间直角坐标系，令aa12ab2，则e(1,0,1)，b(1,1,0)，c(0,1,0)，d1(0,0,2).(0，1,1)，(0，1,2).cos.【变式备选】在正方体abcda1b1c1d1中，m为dd1的中点，o为底面abcd的中心，p为棱a1b1上任意一点，则直线op与直线am所成的角是()(a) (b) (c) (d)【解析】选d.建立坐标系，通过向量的坐标运算可知amop总成立，即am与op所成角为.4.【解析】选c.因为a(2，5,1)，b(2，2,4)，c(1，4,1)，所以(0,3,3)，(1,1,0)，所以0(1)31303，并且|3，|，所以cos，与的夹角为60，故选c.5.【解题指南】建立坐标系，判断与平面bb1c1c的法向量的关系.【解析】选b.分别以c1b1，c1d1，c1c所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.a1mana，m(a，a，)，n(a，a，a).(，0，a).又c1(0,0,0)，d1(0，a,0)，(0，a,0).0.是平面bb1c1c的一个法向量，且mn平面bb1c1c，mn平面bb1c1c.6.【解析】选a.由题意可求得bo，oc，ao，建立空间直角坐标系如图，则c(，0,0)，b(，0,0)，a(0,0，)，d(，3,0)，(4,3,0)，(，0，)设m(x，y，z)是平面abd的一个法向量.则，取z3，则x7，y.则m(7，3).又(0,3,0)是平面abc的一个法向量.cosm，.sin.【方法技巧】求二面角的策略(1)法向量法，其步骤是建系，分别求构成二面角的两个半平面的法向量，求法向量夹角的余弦值，根据题意确定二面角的余弦值或其大小.(2)平面角法，该法就是首先利用二面角的定义，找出二面角的平面角，然后用向量法或解三角形法求其余弦值.7.【解析】cosm，n，m，n，两平面所成二面角的大小为或.答案：或【误区警示】本题容易认为两平面所成角只有，而忽视.8.【解析】以d为原点，da、dc、dd1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则a(1,0,0)，b(1,1,0)，d1(0,0,1)，c1(0,1,1)，o(，1)，设平面abc1d1的法向量为n(x，y，z)，由，得，令x1，得n(1,0,1)，又(，0)，o到平面abc1d1的距离d.答案：9.【解析】如图，以o为原点建立空间直角坐标系oxyz.设odsooaoboca，则a(a,0,0)，b(0，a,0)，c(a,0,0)，p(0，)，则(2a,0,0)，(a，)，(a，a,0)，设平面pac的一个法向量为n，可取n(0,1,1)，则cos，n，n60，直线bc与平面pac所成的角为906030.答案：3010.【解析】以点d为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系dxyz， 则a(1,0,0)，b(1,1,0)，c(0,1,0)，a(1,0,1)，c(0,1,1)，d(0,0,1)(1)点m是棱aa的中点，点o是bd的中点，m(1,0，)，o(，)，(，0)，(0,0,1)，(1，1,1).0，0，omaa，ombd，又mo与异面直线aa和bd都相交， 故mo为异面直线aa和bd的公垂线.(2)设平面bmc的一个法向量为(x，y，z)，(0，1，)，(1,0,1).，即.取z2，则x2，y1，从而n1(2,1,2).取平面bcb的一个法向量n2(0,1,0).cosn1，n2，由图可知，二面角mbcb的平面角为锐角，故二面角mbcb的大小为arccos.(3)易知，sobcs四边形bcda1，设平面obc的一个法向量为n3(x1，y1，z1)，(1，1,1)，(1,0,0)，即.取z11，则y11，从而n3(0,1,1)，点m到平面obc的距离d.vmobcsobcd.【变式备选】如图，已知四棱锥pabcd的底面abcd是边长为2的正方形，pd底面abcd，e、f分别为棱bc、ad的中点.(1)若pd1，求异面直线pb与de所成角的余弦值.(2)若二面角pbfc的余弦值为，求四棱锥pabcd的体积.【解析】(1)e，f分别为棱bc，ad的中点，abcd是边长为2的正方形dfbe且dfbedfbe为平行四边形debfpbf等于pb与de所成的角.pbf中，bf，pf，pb3cospbf异面直线pb和de所成角的余弦值为.(2)以d为原点，直线da，dc，dp分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设pda，可得如下点的坐标：p(0，0，a)，f(1,0,0)，b(2,2,0)，则有： (1,0，a)， (1,2,0)，因为pd底面abcd，所以平面abcd的一个法向量为m(0,0,1)，设平面pfb的一个法向量为n(x，y，z)，则可得即，令x1，得z，y，所以n(1，).已知二面角pbfc的余弦值为，所以得：cosm，n，解得a2.因为pd是四棱锥pabcd的高，所以，其体积为vpabcd222.11.【解析】(1)pa平面abcd，bad90，ab1，ad2，建立如图所示的空间直角坐标系axyz，则a(0,0,0)，b(1,0,0)，f(1，1,0)，d(0,2,0).不妨令p(0,0，t)，(1,1，t)， (1，1,0)111(1)(t)00，即pffd.(2)存在.设平面pfd的一个法向量为n(x，y，z)，结合(1)，由，得，令z1，解得：xy.n(，1).设g点坐标为(0,0，m)，e(，0,0)，则(，0，m)，要使eg平面pfd，只需n0，即()01mm0，得mt，从而满足agap的点g即为所求.(3)ab平面pad，是平面pad的法向量，易得(1,0,0)，又pa平面abcd，pba是pb与平面abcd所成的角，得pba45，pa1，结合(2)得平面pfd的法向量为n(，1)，cos，n，由题意知二面角apdf为锐二面角.故所求二面角apdf的平面角的余弦值为.【探究创新】【解析】(1)取ad中点o，连接po，则poad平面pad平面abcd，平面pad平面abcdad，po平面abcd.建立如图的空间直角坐标系，则p(0,0，a)，d(，0,0).设q(t,2,0)，则(t,2，a)，(t，2,0).pqqd，t(t)40.a2(t)，a0，t0，2(t)8，等号成立当且