【全程复习方略】（山东专用）高中数学 单元评估检测(七) 理 新人教B版.doc

单元评估检测（七）（第七章）（120分钟 150分） 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知直线a、b是两条异面直线，直线c平行于直线a，则直线c与直线b()(a)一定是异面直线 (b)一定是相交直线(c)不可能是平行直线 (d)不可能是相交直线2.(2012日照模拟)一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，已知这个球的表面积是12，那么这个正方体的体积是()(a) (b)4 (c)8 (d)243.已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，下列命题中是假命题的是()(a)若m，m，则(b)若mn，m，则n(c)若m，n，则mn(d)若m，m，则4.(2012济南模拟)关于直线m，n与平面，有以下四个命题：若m，n且，则mn；若m，n且，则mn；若m，n且，则mn；若m，n且，则mn.其中真命题有()(a)1个 (b)2个 (c)3个 (d)4个5.(预测题)已知某几何体的三视图如图所示，根据图中的数据可得此几何体的体积为()(a) (b)(c) (d)6.(2012威海模拟)如图，在斜三棱柱abca1b1c1中，bac90，bc1ac，则c1在底面abc上的射影h必在()(a)直线ab上 (b)直线bc上(c)直线ac上 (d)abc内部7.(2012滨州模拟)如图，平行四边形abcd中，abbd，沿bd将abd折起，使面abd面bcd，连接ac，则在四面体abcd的四个面中，互相垂直的平面的对数为()(a)4 (b)3 (c)2 (d)18.已知正方体abcda1b1c1d1，e，f分别是aa1，cc1的中点，p是cc1上的动点(包括端点)，过点e、d、p作正方体的截面，若截面为四边形，则p的轨迹是()(a)线段c1f (b)线段cf(c)线段cf和一点c1 (d)线段c1f和一点c9.已知圆柱的母线长等于底面圆的直径，其体积为16，则其外接球的表面积为()(a)32 (b)64 (c) (d)12810.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面均相切，已知这个球的体积是，那么这个三棱柱的体积是()(a)96 (b)16 (c)24 (d)4811.如图正四面体abcd的棱长为1，g是abc的中心，m在线段dg上，且amb90，则gm的长为()(a) (b)(c) (d)12.如图所示，在三棱柱abcabc中，点e、f、h、k分别为ac、cb、ab、bc的中点，g为abc的重心.从k、h、g、b中取一点作为p，使得该棱柱恰有2条棱与平面pef平行，则p为().(a)k (b)h (c)g (d)b二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知三个球的半径r1，r2，r3满足r12r23r3，则它们的表面积s1，s2，s3满足的等量关系是.14.(2012南京模拟)如图，在正三棱柱abca1b1c1中，d为棱aa1的中点，若截面bc1d是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为.15.(2012东营模拟)在正四棱锥pabcd中，paab，m是bc的中点，g是pad的重心，则在平面pad中经过g点且与直线pm垂直的直线有条.16.等边三角形abc与正方形abde有一公共边ab，二面角cabd的余弦值为，m，n分别是ac，bc的中点，则em，an所成角的余弦值等于.三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12分)(易错题)如图所示，正方形adef与梯形abcd所在的平面互相垂直，adcd，abcd，cd2ab2ad.(1)求证：bcbe；(2)在ec上找一点m，使得bm平面adef，请确定m点的位置，并给出证明.18.(12分)在四棱锥pabcd中，abcacd90，baccad60，pa平面abcd，e为pd的中点，pa2，ab1.(1)求四棱锥pabcd的体积v；(2)若f为pc的中点，求证：平面pac平面aef.19.(12分)(2012济宁模拟)如图，在底面为直角梯形的四棱锥pabcd中，adbc，abc90，pa平面abcd，pa3，ad2，ab2，bc6.(1)求证：bd平面pac；(2)求二面角pbda的大小.20.(12分)如图，在直三棱柱abca1b1c1中，abac5，d，e分别为bc，bb1的中点，四边形b1bcc1是边长为6的正方形.(1)求证：a1b平面ac1d；(2)求证：ce平面ac1d；(3)求二面角cac1d的余弦值.21.(12分)(预测题)已知在四棱锥pabcd中，底面abcd是矩形，且ad2，ab1，pa平面abcd，e、f分别是线段ab、bc的中点.(1)证明：pffd；(2)判断并说明pa上是否存在点g，使得eg平面pfd；(3)若pb与平面abcd所成的角为45，求二面角apdf的平面角的余弦值.22.(14分)如图，已知abcda1b1c1d1是棱长为3的正方体，点e在aa1上，点f在cc1上，且aefc11.(1)求证：e，b，f，d1四点共面；(2)若点g在bc上，bg，点m在bb1上，gmbf，垂足为h，求证：em平面bcc1b1；(3)用表示截面ebfd1和侧面bcc1b1所成的锐二面角的大小，求tan.答案解析1.【解析】选c.若cb，ca，ab，与已知矛盾.2.【解析】选c.设球的半径为r，则4r212，从而r，所以正方体的体对角线为2，故正方体的棱长为2，体积为238.3.【解析】选c.由m，n无法得到m，n的确切位置关系.4.【解析】选b.中两直线可以平行、相交或异面，故不正确；中两直线可以平行、相交或异面，故不正确；中，由条件可得m，进而有mn，故正确；中，由条件可得m与平行或m在内，故有mn.综上正确.5.【解析】选c.由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥，下部分是半球，所以根据三视图中的数据可得v()3111.6.【解析】选a.baac，bc1ac，babc1b，ac平面abc1.ac平面abc，平面abc平面abc1，且交线是ab.故平面abc1上一点c1在底面abc的射影h必在交线ab上.7.【解析】选b.因为abbd，面abd面bcd，且交线为bd，故有ab面bcd，则面abc面bcd，同理cd面abd，则面acd面abd，因此共有3对互相垂直的平面.8.【解析】选c.如题干图，de平面bb1c1c，平面dep与平面bb1c1c的交线pmed，则emdp，四边形demp为平行四边形，m到达b1时仍可构成四边形，此时p到f；而p在c1f之间，不满足要求，p到点c1仍可构成四边形.9.【解题指南】先根据题意，求出圆柱的母线长和底面圆的半径，进而求出球的半径和球的表面积.【解析】选a.设圆柱的底面圆的半径为r，则其母线长为2r，则r22r16，r2，设球的半径为r，则(2r)24242，r28，s球4r232.10.【解题指南】根据组合体的特征求得三棱柱的底面边长和高，然后求体积即可.【解析】选d.易求得球的半径为2，球与正三棱柱各个面都相切，可知各切点为各个面的中心，棱柱的高等于球的直径，设棱柱底面三角形的边长为a，则有a2a4，故棱柱的体积v(4)2448.故选d.11.【解析】选d.连接ag，bg，g是边长为1的等边abc的中心，gagb，mg平面abc，易得rtmagrtmbg，mamb，amb90，ab1，ma，mg.12.【解题指南】逐一验证，注意利用中位线定理和三棱柱中已有的平行关系.【解析】选c.若p为点g，连接bc，则f为bc的中点，efab、efab，ab平面gef，ab平面gef，p为点g符合题意；若p为点k，则3条侧棱与该平面平行，不符合题意；若p为点h，则有上下两底面中的6条棱与该平面平行，不符合题意；若p为点b，则只有1条棱ab与该平面平行，也不符合题意.故选c.13.【解析】s14，2r1，同理：2r2，2r3，故r1，r2，r3，由r12r23r3，得23.答案：2314.【解析】设正三棱柱的底面边长为a，高为2h，则bdc1d，bc1，由bc1d是面积为6 的直角三角形，得，解得，故此三棱柱的体积为v8sin 6048.答案：815.【解析】设正四棱锥的底面边长为a，则侧棱长为a.由pmbc，pma.连接pg并延长与ad相交于n点，则pna，mnaba，pm2pn2mn2，pmpn，又pmad，pm平面pad，在平面pad中经过g点的任意一条直线都与pm垂直.答案：无数16.【解析】设ab2，作co平面abde，ohab，则chab，cho为二面角cabd的平面角，ch，ohchcoscho1，结合等边三角形abc与正方形abde可知此四棱锥为正四棱锥，则anemch.()，()().故em，an所成角的余弦值为.答案：17.【解析】(1)连接bd，因为正方形adef与梯形abcd所在的平面互相垂直，dead，所以de平面abcd，所以debc.因为adcd，abcd，所以abad，又因为abad，所以adbbdc，bdad取cd中点n，连接bn，则由题意知：四边形abnd为正方形，所以bcad，bdbc，则bdc为等腰直角三角形，则bdbc，则bc平面bde，则bcbe.(2)取ec中点m，则有bm平面adef.证明如下：连接mn，由(1)知bnad，所以bn平面adef，又因为m、n分别为ce、cd的中点，所以mnde，则mn平面adef，则平面bmn平面adef，所以bm平面adef.18.【解析】(1)在rtabc中，ab1，bac60，bc，ac2.在rtacd中，ac2，cad60，cd2，s四边形abcdabbcaccd122.则v2.(2)pa平面abcd，pacd.又accd，paaca，cd平面pac，e、f分别是pd、pc的中点，efcd，ef平面pac，ef平面aef，平面pac平面aef.19.【解析】(1)如图，建立空间直角坐标系axyz，则a(0,0,0)，b(2，0,0)，c(2，6,0)，d(0,2,0)，p(0,0，3)，(0,0,3)，(2，6,0)，(2，2,0)，0，0，bdap，bdac，又paaca，bd平面pac.(2)设平面abd的一个法向量为m(0,0,1)，设平面pbd的一个法向量为n(x，y，z)，则n0，n0.(2，0,3)，解得.令x，则n(，3,2)，cosm，n.二面角pbda的大小为60.20.【解析】(1)连接a1c，与ac1交于o点，连接od.因为o，d分别为a1c和bc的中点，所以oda1b.又od平面ac1d，a1b平面ac1d，所以a1b平面ac1d.(2)在直三棱柱abca1b1c1中，bb1平面abc，又ad平面abc，所以bb1ad.因为abac，d为bc的中点，所以adbc.又bcbb1b，所以ad平面b1bcc1.又ce平面b1bcc1，所以adce.因为四边形b1bcc1为正方形，d，e分别为bc，bb1的中点，所以rtcbertc1cd，cc1dbce.所以bcec1dc90.所以c1dce.又adc1dd，所以ce平面ac1d.(3)如图，以b1c1的中点g为原点，建立空间直角坐标系.则a(0,6,4)，e(3,3,0)，c(3,6,0)，c1(3,0,0).由(2)知ce平面ac1d，所以(6，3,0)为平面ac1d的一个法向量.设n(x，y，z)为平面acc1的一个法向量，(3,0，4)，(0，6,0).由可得令x1，则y0，z.所以n(1,0，).从而cos，n.因为二面角cac1d为锐角，所以二面角cac1d的余弦值为.21.【解析】方法一：(1)pa平面abcd，bad90，ab1，ad2，建立如图所示的空间直角坐标系axyz，则a(0,0,0)，b(1,0,0)，f(1，1,0)，d(0,2,0).不妨令p(0,0，t)，(1,1，t)，(1，1,0)，111(1)(t)00，即pffd.(2)存在.设平面pfd的一个法向量为n(x，y，z)，结合(1)，由，得，令z1，解得：xy.n(，1).设g点坐标为(0,0，m)，e(，0,0)，则(，0，m)，要使eg平面pfd，只需n0，即()0m1m0，得mt，从而满足agap的点g即为所求.(3)ab平面pad，是平面pad的法向量，易得(1,0,0)，又pa平面abcd，pba是pb与平面abcd所成的角，得pba45，pa1，结合(2)得平面pfd的法向量为n(，1)，cos，n，由题意知二面角apdf为锐二面角.故所求二面角apdf的平面角的余弦值为.方法二：(1)连接af，则af，df，又ad2，df2af2ad2，dfaf，又pa平面abcd，dfpa，又paafa，df平面paf，又pf平面paf，dfpf.(2)过点e作ehdf交ad于点h，则eh平面pfd，且有ahad，再过点h作hgdp交pa于点g，则hg平面pfd且agap，平面ehg平面pfd，eg平面pfd.从而满足agap的点g即为所求.(3)pa平面abcd，pba是pb与平面abcd所成的角，且pba45，paab1，取ad的中点m，则fmad，fm平面pad，在平面pad中，过m作mnpd于n，连接fn，则pd平面fmn，则mnf即为二面角apdf的平面角，rtmndrtpad，pa1，md1，pd，mn，又fmn90，fn，cosmnf.22.【解析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则(3,0,1)，(0,3,2)