【全程复习方略】高中数学 课时提升卷 第四讲 数学归纳法 新人教A版选修45(1).doc

【全程复习方略】2013-2014学年高中数学（人教a版）选修4-5课时提升卷 第四讲 一 数学归纳法（45分钟 100分）一、选择题(每小题5分,共30分)1.某个命题:(1)当n=1时,命题成立.(2)假设n=k(k1,kn+)时成立,可以推出n=k+2时也成立,则命题对成立.()a.正整数b.正奇数c.正偶数d.奇数2.设f(n)=1n+1+1n+2+1n+3+12n(nn+),在利用数学归纳法证明时,从n=k到n=k+1需添的项为()a.12k+1 b.12k+2c.12k+1+12k+2 d.12k+1-12k+23.记凸k边形的内角和为f(k),则凸k+1边形的内角和f(k+1)=f(k)+a,则a=()a.2 b. c.2 d.324.在数列an中,a1=2-1,前n项和sn=n+1-1,先算出数列的前4项的值,再根据这些值归纳猜想数列的通项公式是()a.an=n+1-1 b.an=nn+1-1c.an=2n-n d.an=n+1-n5.(2013渭南高二检测)已知f(n)=(2n+7)3n+9,存在自然数m,使得对任意nn+,都能使m整除f(n),则最大的m的值为()a.30 b.26 c.36 d.66.(2013宝鸡高二检测)在数列an中,a1=13,且sn=n(2n-1)an,通过求a2,a3,a4,猜想an的表达式为()a.1(n-1)(n+1) b.12n(2n+1)c.1(2n-1)(2n+1) d.1(2n+1)(2n+2)二、填空题(每小题8分,共24分)7.用数学归纳法证明12+cos+cos3+cos(2n-1)=1sinsin2n+12cos2n-12(n,nn),在验证n=1等式成立时,左边计算所得的项是.8.(2013徐州高二检测)用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,当第二步假设n=2k-1(kn+,k1)命题为真时,进而需证n=时,命题亦真.9.(2013广州高二检测)设平面内有n条直线(n2),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数,则f(4)=;当n4时,f(n)=(用n表示).三、解答题(1011题各14分,12题18分)10.用数学归纳法证明:若nn+,求证:cos2cos22cos23cos2n=sin2nsin2n.11.(2013淮南高二检测)已知数列an满足a1=0,a2=1,当nn+时,an+2=an+1+an,求证:数列an的第4m+1项(mn+)能被3整除.12.(能力挑战题)平面上有n个圆,每两圆交于两点,每三圆不过同一点,求证这n个圆分平面为n2-n+2个部分.答案解析1.【解析】选b.由题意知,k=1时,k+2=3;k=3时,k+2=5,依此类推知,命题对所有正奇数成立,故选b.2.【解析】选d.因为f(k)=1k+1+1k+2+12k所以f(k+1)=1k+2+1k+3+12k+12k+1+12k+2故需添的项为12k+1+12k+2-1k+1=12k+1-12k+2.【误区警示】本题易错选c.忽略了n=k+1时少了一项1k+1.【拓展提升】数学归纳法解决项数问题数学归纳法证明中的项数问题,重点看从n=k到n=k+1时项数的变化规律,多了哪些项,少了哪些项,把握好项的规律,利用数列知识解决.3.【解析】选b.从n=k到n=k+1时,内角和增加.4.【解析】选d.因为a1=2-1,s2=2+1-1=3-1,所以a2=(3-1)-(2-1)=3-2,则a3=s3-s2=(3+1-1)-(2+1-1)=4-3,a4=s4-s3=(4+1-1)-(3+1-1)=5-4,故猜想an=n+1-n.5.【解析】选c.因为f(1)=36,f(2)=108=336,f(3)=360=1036,所以f(1),f(2),f(3)能被36整除,猜想f(n)能被36整除.证明:n=1,2时,由上得证,设n=k(k2)时,f(k)=(2k+7)3k+9能被36整除,则f(k+1)-f(k)=(2k+9)3k+1-(2k+7)3k=(6k+27)3k-(2k+7)3k=(4k+20)3k=36(k+5)3k-2,故f(k+1)能被36整除,因为f(1)不能被大于36的数整除,所以所求最大的m值等于36.6.【解析】选c.因为a1=13,由sn=n(2n-1)an,得a1+a2=2(22-1)a2,解得a2=115=135,a1+a2+a3=3(23-1)a3,解得a3=135=157,a1+a2+a3+a4=4(24-1)a4,解得a4=163=179.猜想an=1(2n-1)(2n+1).7.【解析】由等式的特点知:当n=1时,左边从第一项起,一直加到cos(2n-1),故左边计算所得的项是12+cos.答案:12+cos8.【解析】因为n为正奇数,假设n=2k-1成立后,需证明的应为n=2k+1时成立.答案:2k+19.【解析】f(2)=0,f(3)=2,f(4)=5,f(5)=9,每增加一条直线,交点增加的个数等于原来直线的条数.所以f(3)-f(2)=2,f(4)-f(3)=3,f(5)-f(4)=4,f(n)-f(n-1)=n-1.累加,得f(n)-f(2)=2+3+4+(n-1)=2+(n-1)2(n-2).所以f(n)=12(n+1)(n-2).答案:512(n+1)(n-2)10.【证明】(1)n=1时,左边=cos2,右边=sin2sin2=cos2,左边=右边,等式成立.(2)假设n=k(k1,kn+)时,等式成立,即cos2cos22cos23cos2k=sin2ksin2k,当n=k+1时,(cos2cos22cos23cos2k)cos=sin2ksin2kcos=cos=,即当n=k+1时,等式也成立.由(1)(2)知,等式对nn+均成立.11.【证明】(1)当m=1时,a4m+1=a5=a4+a3=(a3+a2)+(a2+a1)=(a2+a1)+2a2+a1=3a2+2a1=3+0=3.即当m=1时,第4m+1项能被3整除.(2)假设当m=k(k1)时,a4k+1能被3整除,则当m=k+1时,a4(k+1)+1=a4k+5=a4k+4+a4k+3=2a4k+3+a4k+2=2(a4k+2+a4k+1)+a4k+2=3a4k+2+2a4k+1.显然,3a4k+2能被3整除,又由假设知a4k+1能被3整除.所以3a4k+2+2a4k+1能被3整除.即当m=k+1时,a4(k+1)+1也能被3整除.由(1)和(2)知,对于nn+,数列an中的第4m+1项能被3整除.12.【证明】(1)当n=1时,n2-n+2=1-1+2=2,而一圆把平面分成两部分,所以n=1时,命题成立.(2)假设n=k(k1)时,k个圆分平面为k2-k+2个部分,则n=k+1时,第k+1个圆与前k个圆有2k个交点,这2k个交点分第k+1个圆为2k段,每一段都将原来所在的平面一分为二,故增加了2k个平面部分,共