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锐角三角函数（三）龙山二中 彭华一：教学目标1.能推导并熟记30,45,60角的三角函数值,并能根据这些值说出对应的锐角度数.2.能熟练计算含有30,45,60角的三角函数的代数式.1.通过探索特殊角的三角函数值的过程,培养学生观察、分析、发现的能力.2.通过推导特殊角的三角函数值,了解知识间的联系,提升综合运用数学知识解决问题的能力.3.经历特殊角的三角函数值的学习,培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.1.在探索特殊角的三角函数值中,学生积极参与数学活动,培养学生独立思考问题的能力.2.让学生经历观察、操作等过程,探索特殊三角函数值,让学生获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心.二：教学重难点【重点】熟记30,45,60角的三角函数值,能熟练计算含有30,45,60角的三角函数的代数式.【难点】30,45,60角的三角函数值的推导过程.三：教学准备【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习锐角三角函数的定义.四：教学过程导入一:如图所示,这是一块三角形草皮,A=60,AB=2米,AC=1.8米,那么这块三角形的草皮面积为多少呢?如图所示,这是一块三角形草皮,A=60,AB=2米,AC=1.8米,那么这块三角形的草皮面积为多少呢?【师生活动】学生思考后,小组合作交流,回答解决方法,教师点评,导出新课.结合学生回答,教师分析:过C点作AB的垂线CD,垂足为D,sin A=CDAC,CD=ACsin 60.过渡语AC是已知的,假如sin 60能够知道,CD就可求,那么这个问题就得到解决.本节课我们就一同来探讨30,45,60角的三角函数值.导入二:【复习提问】1.什么是锐角的正弦、余弦、正切?2.含30,45角的直角三角形有哪些性质?3.你还记得我们探究锐角的正弦概念时所得的30,45角的正弦吗?4.你还能推导出30,45,60角的其他三角函数值吗?设计意图通过生活实际问题导入新课,激发学生的求知欲望,感受生活中处处有数学,复习直角三角形的性质和三角函数的概念,为本节课特殊角的三角函数值的推导打下基础,做好铺垫,让学生从已有的知识体系中很自然地构建出新知识.过渡语探究30,45,60角的三角函数值就是我们本节课要学的内容.一、实践探究思路一动手操作:画出含有30,45角的直角三角形,分别求出30,45,60角的所有三角函数值.【师生活动】学生画图,根据直角三角形的知识和三角函数定义,独立推导各三角函数值,然后小组成员交流推导结果,教师提示可以用字母表示三角形的一条边长,然后计算各三角函数值,对学生推导的结果教师作出点评,共同完成下列表格.【课件展示】锐角A锐角三角函数304560sin A122232cos A322212tan A3313【思考】观察表格中特殊角的三角函数值,你能发现什么结论?【师生活动】学生进行小组讨论,教师巡视中帮助有困难的学生,并对学生的回答作出点评,只要学生说得有理,就要给予肯定和鼓励.【结论】(1)正弦、正切值随着角度的增大而增大,余弦值随着角度的增大而减小.(2)sin 30=cos 60,sin 60=cos 30,sin 45=cos 45,故sin =cos (90-),cos =sin (90-),其中为锐角.(3)0sin A1,0cos A1.思路二【思考】(1)在直角三角形中,30角所对的直角边和斜边之间有什么关系?(2)设30角的对边为k,你能用k表示三角形的各边长吗?(3)利用三角函数定义,分别求出30,60角的各三角函数值.(4)含有45角的直角三角形有什么特点?(5)设等腰直角三角形的腰长为k,你能用k表示直角三角形的斜边吗?(6)利用三角函数定义,求出45角各三角函数值.【师生活动】学生逐步回答教师提出的问题,通过计算得出30,45,60角的各三角函数值.师生共同完成下表:【课件展示】锐角A锐角三角函数304560sin A122232cos A322212tan A3313【思考】(1)观察表格中数据,当锐角增大时,它的正弦、余弦、正切怎样变化?(2)表格中哪些角的三角函数值是相等的?(3)根据(2)猜想正确结论.(4)观察表格中数据,锐角的正弦、余弦值与1之间的大小有何关系?【师生活动】学生进行小组讨论,教师巡视中帮助有困难的学生,并对学生的回答作出点评,只要学生说得有理,就要给予肯定和鼓励.【结论】(1)正弦、正切值随着角度的增大而增大,余弦值随着角度的增大而减小.(2)sin 30=cos 60,sin 60=cos 30,sin 45=cos 45,故sin =cos (90-),cos =sin (90-),其中为锐角.(3)0sin A1,0cos A1.设计意图学生在教师提出的问题的引导下,完成特殊角的三角函数值的推导,并通过观察得到锐角三角函数的一些性质.学生通过动手画图、计算验证得出结论,让学生经历知识的形成过程,加深对知识的理解和掌握,同时学生之间的讨论、交流,增强了学生之间的合作能力.二、例题讲解(教材例3)求下列各式的值.(1)cos260+sin260;(2)cos45sin45-tan 45.教师引导思考:(1)你知道cos260与sin260表示的意义吗?(cos260表示(cos 60)2,sin260表示(sin 60)2)(2)cos 60,sin 60,cos 45,sin 45,tan 45各等于什么值?(3)将各三角函数值代入,计算各代数式的值.【师生活动】教师边提问边解答该题,同时板书解题过程,教师强调易错点.解:(1)cos260+sin260=122+322=1.(2)cos45sin45-tan 45=2222-1=0.(教材例4)(1)如图(1)所示,在RtABC中,C=90,AB=6,BC=3,求A的度数;(2)如图(2)所示,AO是圆锥的高,OB是底面半径,AO=3OB,求的度数.【思考】(1)图(1)中,在RtABC中,边长AB,BC与A有什么关系?sin A=BCAB=36=22(2)哪个锐角的正弦值等于22?sin 45=22(3)图(2)中,在RtAOB中,OB,AO与有什么关系?tan =OAOB=3(4)哪个锐角的正切值等于3?(tan 60=3)【师生活动】学生独立思考后,小组合作交流,完成解答过程,小组代表板书解题过程,教师点评,师生共同归纳解题方法.解:(1)sin A=BCAB=36=22,A=45.(2)tan =OAOB=3OBOB=3,=60.【归纳】要求一个直角三角形中一个锐角的度数,可以先求它的某一个三角函数的值,如果这个值是一个特殊值,那么我们就可以求出这个角的度数.设计意图在教师的引导下完成例题的分析和解答,正确认识特殊角的三角函数值,熟练掌握由特殊角求三角函数值,由特殊三角函数值求出对应角的度数,通过探索解题过程,提高学生分析问题、解决问题的能力,通过对题型方法技巧的总结,培养学生归纳总结能力.知识拓展(1)结合图形(如图所示)及其中的数据和三角函数定义来计算特殊角的三角函数值,从而记住结果.(2)对于其他相关角的三角函数值,往往用定义求解,15,22.5,75角等.(3)等边三角形、等腰直角三角形及与30,45,60角相关联的其他三角形问题,常常要用特殊角的三角函数值解答.1.特殊角的三角函数值: 锐角A锐角三角函数304560sin A122232cos A322212tan A33132.求含有特殊角的三角函数的代数式.3.已知特殊的三角函数值求特殊角.1.计算3tan 30的值等于()A.3B.33C.33D.32解析:3tan 30=333=3.故选A.2.在ABC中,A,B都是锐角,若sin A=12,且B=90-A,则sin B等于()A.12B.22C.32D.1解析:sin A=12,A=30,又B=90-A,B=60,sin B=sin 60=32.故选C.3.在ABC中,A,B都是锐角,sin A=12,cos B=22,则ABC的形状为三角形.解析:sin A=12,cos B=22,A=30,B=45,又A+B+C=180,C=105,ABC为钝角三角形.故填钝角.4.计算.(1)2sin 30-2cos 45;(2)tan 30-sin 60sin 30;(3)(1-3tan 30)2.解:(1)