信号与系统实验一、二.doc

实验一、 信号运算与连续时间系统的时域分析1、 实验目的（1）学会用MATLAB表示常用连续信号的方法；（2）学会用MATLAB进行信号基本运算的方法；（3）深刻理解卷积运算，掌握连续线性卷积的计算方法；（4）加深对线性时不变系统中零状态响应概念的理解，掌握其求解方法；（5）掌握给定连续系统的冲激响应和阶跃响应。2、 实验原理1 连续信号的MATLAB表示MATLAB提供了大量的生成基本信号的函数，例如指数信号、正余弦信号。表示连续时间信号有两种方法，一是数值法，二是符号法。数值法是定义某一时间范围和取样时间间隔，然后调用该函数计算这些点的函数值，得到两组数值矢量，可用绘图语句画出其波形；符号法是利用MATLAB的符号运算功能，需定义符号变量和符号函数，运算结果是符号表达的解析式，也可用绘图语句画出其波形图。例1-1指数信号 指数信号在MATLAB中用exp函数表示。如，调用格式为 ft=A*exp(a*t) 程序是 A=1; a=-0.4;t=0:0.01:10; %定义时间点ft=A*exp(a*t); %计算这些点的函数值plot(t,ft); %画图命令，用直线段连接函数值表示曲线grid on; %在图上画方格例1-2 正弦信号 正弦信号在MATLAB中用 sin 函数表示。调用格式为 ft=A*sin(w*t+phi)A=1; w=2*pi; phi=pi/6;t=0:0.01:8; %定义时间点ft=A*sin(w*t+phi); %计算这些点的函数值plot(t,ft); %画图命令grid on; %在图上画方格例1-3 抽样信号 抽样信号Sa(t)=sin(t)/t在MATLAB中用 sinc 函数表示。定义为 t=-3*pi:pi/100:3*pi; ft=sinc(t/pi); plot(t,ft); grid on; axis(-10,10,-0.5,1.2); %定义画图范围，横轴，纵轴 title(抽样信号) %定义图的标题名字例1-4 三角信号 三角信号在MATLAB中用 tripuls 函数表示。调用格式为 ft=tripuls(t,width,skew)，产生幅度为1，宽度为width，且以0为中心左右各展开width/2大小，斜度为skew的三角波。width的默认值是1，skew的取值范围是-1+1之间。一般最大幅度1出现在t=(width/2)*skew的横坐标位置。 t=-3:0.01:3; ft=tripuls(t,4,0.5); plot(t,ft); grid on; axis(-3,3,-0.5,1.5);例1-5 虚指数信号 调用格式是f=exp(j*w)*t) t=0:0.01:15;w=pi/4;X=exp(j*w*t);Xr=real(X); %取实部 Xi=imag(X); %取虚部Xa=abs(X); %取模Xn=angle(X); %取相位subplot(2,2,1),plot(t,Xr),axis(0,15,-(max(Xa)+0.5),max(Xa)+0.5),title(实部);subplot(2,2,3),plot(t,Xi),axis(0,15,-(max(Xa)+0.5),max(Xa)+0.5),title(虚部);subplot(2,2,2), plot(t,Xa),axis(0,15,0,max(Xa)+1),title(模);subplot(2,2,4),plot(t,Xn),axis(0,15,-(max(Xn)+1),max(Xn)+1),title(相角); %subplot(m,n,i) 命令是建立m行n列画图窗口，并指定画图位置i例1-6 复指数信号 调用格式是f=exp(a+j*b)*t) t=0:0.01:3;a=-1;b=10;f=exp(a+j*b)*t); subplot(2,2,1),plot(t,real(f),title(实部)subplot(2,2,3),plot(t,imag(f),title(虚部) subplot(2,2,2),plot(t,abs(f),title(模)subplot(2,2,4),plot(t,angle(f),title(相角)例1-7 矩形脉冲信号 矩形脉冲信号可用rectpuls函数产生，调用格式为y=rectpuls(t,width),幅度是1，宽度是width，以t=0为对称中心。t=-2:0.01:2;width=1;ft=2*rectpuls(t,width);plot(t,ft)grid on;例1-8 单位阶跃信号 单位阶跃信号u(t)用“t=0”产生，调用格式为ft=(t=0) t=-1:0.01:5; ft=(t=0); %关系运算结果为0或1 plot(t,ft); grid on; axis(-1,5,-0.5,1.5);例1-9 正弦信号符号算法syms t %定义符号变量ty=sin(pi/4*t) %符号函数表达式ezplot(y,-16,16) %符号函数画图命令或者f=sym(sin(pi/4*t) %定义符号函数表达式ezplot(f,-16,16)例1-10 单位阶跃信号 MATTLAB符号数学函数Heaviside表示阶跃信号，但要画图需在工作目录创建Heaviside的M文件function f=Heaviside(t)f=(t0); 保存，文件名是Heaviside ，调用该函数即可画图，例t=-1:0.01:3;f=heaviside(t);plot(t,f)axis(-1,3,-0.2,1.2) 或者y=sym(Heaviside(t);ezplot(y,-1,5);grid on 2 信号基本运算的MATLAB实现 信号基本运算是乘法、加法、尺度、反转、平移、微分、积分，实现方法有数值法和符号法例1-11 以f(t)为三角信号为例，求f(2t) , f(2-2t) t=-3:0.001:3; ft=tripuls(t,4,0.5); subplot(3,1,1); plot(t,ft); grid on; title (f(t); ft1= tripuls(2*t,4,0.5); subplot(3,1,2); plot(t,ft1); grid on; title (f(2t); ft2= tripuls(2-2*t,4,0.5); subplot(3,1,3); plot(t,ft2); grid on; title (f(2-2t);例1-12 已知f1(t)=sinwt , f2(t)=sin8wt , w=2pi , 求f1(t)+f2(t)和f1(t)f2(t) 的波形图 w=2*pi;t=0:0.01:3;f1=sin(w*t);f2=sin(8*w*t);subplot(211)plot(t,f1+1,:,t,f1-1,:,t,f1+f2) %前两个曲线为包络线grid on,title(f1(t)+f2(t)subplot(212)plot(t,f1,:,t,-f1,:,t,f1.*f2) %前两个曲线为包络线grid on,title(f1(t)*f2(t)符号算法也可实现上述运算，以信号的微积分运算为例说明符号算法应用微分的调用格式为 diff(function,variable,n)积分的调用格式为 int(function,variable,a,b)式中function表示要微分或积分的函数，variable表示运算变量，n表示求导阶数，默认值是求一阶导数，a是积分下限，b是积分上限，a b默认是求不定积分。例1-13 求一阶导数的例题，已知，clear syms a x y1 y2 %定义符号变量a， x ，y1， y2 y1=sin(a*x2); %符号函数y1 y2=x*sin(x)*log(x); %符号函数y2 dy1=diff(y1,x) %无分号直接显示结果 dy2=diff(y2) %无分号直接显示结果例1-14 求积分的例题， clearsyms a x y3 y4y3=x5-a*x2+sqrt(x)/2;y4=(x*exp(x)/(1+x)2;iy3=int(y3,x)iy4=int(y4,0,1)(1) 卷积、LTI系统的响应线性时不变 (LTI) 连续时间系统用常系数线性微分方程进行描述，系统的零状态响应就是在系统初始状态为零条件下微分方程的解。MATLAB控制系统工具箱提供了一个lsim函数来求解连续时间系统的零状态响应。设系统方程为：,该方程左边、右边的系数向量分别为，所对应的系统模型sys可借助MATLAB中的tf函数得到：sys = tf(b, a) .这样，系统的零状态响应为：y = lsim(sys, f, t) ，其中f是输入信号向量，t是与f对应的时间变量。(2)连续系统的冲激响应、阶跃响应分别是输入信号为和所对应的零状态响应。MATLAB控制系统工具箱专门提供了两个函数求解连续系统的冲激响应和阶跃响应。冲激响应：y = impulse(sys, t) ;阶跃响应：y = step(sys, t) .其中sys, t的含义同上。(3)卷积是信号与系统中一个最基本、也是最重要的概念之一。在时域中，对于LTI 连续时间系统，其零状态响应等于输入信号与系统冲激响应的卷积；而利用卷积定理，这种关系又对应频域中的乘积。如实验一所述，我们用离散卷积来代替连续卷积，只要取样时间间隔足够小时，就可得到满意的效果。heaviside(t)表示阶跃函数u(t)dirac(t)表示冲激函数卷积的定义:f1(t)*f2(t)= ?三、程序示例示例1：已知系统的微分方程为，。求零状态响应。a = 1 4 4;b = 1 3;sys = tf(b, a);td = 0.01;t = 0 : td : 10;f = exp(-t);y = lsim(sys, f, t);y1 = impulse(sys, t) ;y2 = step(sys, t);subplot(3,1,1)plot(t, y,r); title(零状态响应);subplot(3,1,2)plot(t,y1,b); title(冲激响应);subplot(3,1,3)plot(t,y2,g); title(阶跃响应);%三种响应的曲线分别用红、蓝、绿、色表示）xlabel(t(sec);ylabel(y(t);grid on程序运行结果见下图。示例2：已知系统冲激响应，求输入下的零状态输出响应。（零状态响应等于u(t)与h(t)的卷积）syms T t taout=exp(-t);ht=exp(-t/T)/T;uh_tao=subs(ut,t,tao)*subs(ht,t,t-tao);%subs为替换指令，用tao代替ut中的t,用t-tao代替ht中的tyt=simple(simple(int(uh_tao,tao,0,t) %依据联系信号卷积的定义求卷积实例3：求函数和的卷积。syms taot=sym(t,positive);ut=heaviside(t)-heaviside(t-1);ht=t*exp(-t);yt=int(subs(ut,t,tao)*subs(ht,t,t-tao),tao,0,t)subplot(3,1,1) ,ezplot(ut,0,6)subplot(3,1,2) ,ezplot(ht,0,6)subplot(3,1,3) , ezplot(yt,0,6)三、实验内容（1）仔细阅读并验证执行以上 LTI系统时域分析 程序实例（2）已知系统的微分方程为，。计算系统的零状态响应、冲激响应和阶跃响应，并画出相应的图形。（3）编程实现如下图所示的两个波形；并计算这两个信号的卷积、画出卷积后的波形。 （参考1-1，1-10和1-11，1-12）四、实验报告要求(1) 整理并给出“实验内容与步骤”（2）、（3）中的程序代码与产生的图形；并回答下面的问题。(2) 说明系统零状态响应、冲激响应、阶跃响应的定义及三者之间的联系。 实验二、连续时间系统的频域分析、复频域分析一、实验目的1、学会用MATLAB实现连续时间信号傅里叶变换2、学会用MATLAB分析LTI系统的频域特性3、学会用MATLAB分析LTI系统的输出响应 4.学会用MATLAB进行Laplace正、反变换。 5.学会用MATLAB画离散系统零极点图，系统的稳定性判断 6.学会用MATLAB分析离散系统的频率特性；二、实验原理及程序示例 频域部分：1傅里叶变换的MATLAB求解 MATLAB的symbolic Math Toolbox 提供了直接求解傅里叶变换及逆变换的函数fourier()及ifourier()两者的调用格式如下。Fourier 变换的调用格式F=fourier(f)：它是符号函数f的fourier变换默认返回是关于w的函数。F=fourier(f，v):它返回函数F是关于符号对象v的函数，而不是默认的w，即 Fourier逆变换的调用格式f=ifourier(F):它是符号函数F的fourier逆变换，默认的独立变量为w，默认返回是关于x的函数。f=ifourier(f,u):它的返回函数f是u的函数，而不是默认的x.注意：在调用函数fourier()及ifourier()之前，要用syms命令对所用到的变量（如t,u,v,w）进行说明,即将这些变量说明成符号变量。例3-1 求的傅立叶变换解: 可用MATLAB解决上述问题：syms tFw=fourier(exp(-2*abs(t)例3-2 求的逆变换f(t)解： 可用MATLAB解决上述问题syms t wft=ifourier(1/(1+w2),t)2连续时间信号的频谱图例3-3 求调制信号的频谱，式中解：MATLAB程序如下所示ft=sym(4*cos(2*pi*6*t)*(Heaviside(t+1/4)-Heaviside(t-1/4);Fw=simplify(fourier(ft)subplot(121)ezplot(ft,-0.5 0.5),grid onsubplot(122)ezplot(abs(Fw),-24*pi 24*pi),grid 2用MATLAB分析LTI系统的频率特性 当系统的频率响应H（jw）是jw的有理多项式时，有 MATLAB信号处理工具箱提供的freqs函数可直接计算系统的频率响应的数值解。其调用格式如下H=freqs(b,a,w)其中，a和b分别是H(jw)的分母和分子多项式的系数向量，w为形如w1:p:w2的向量，定义系统频率响应的频率范围，w1为频率起始值，w2为频率终止值,p为频率取样间隔。H返回w所定义的频率点上，系统频率响应的样值。例如，运行如下命令，计算02pi频率范围内以间隔0.5取样的系统频率响应的样值a=1 2 1;b=0 1;h=freqs(b,a,0:0.5:2*pi)例 3-4 三阶归一化的butterworth 低通滤波器的频率响应为 试画出该系统的幅度响应和相位响应。解 其MATLAB程序及响应的波形如下w=0:0.025:5;b=1;a=1,2,2,1;H=freqs(b,a,w);subplot(2,1,1);plot(w,abs(H);grid;xlabel(omega(rad/s);ylabel(|H(jomega)|);title(H(jw)的幅频特性);subplot(2,1,2);plot(w,angle (H);grid;xlabel(omega(rad/s);ylabel(phi(omega);title(H(jw)的相频特性);3用MATLAB分析LTI系统的输出响应例 3-5已知一RC电路如图所示 系统的输入电压为f(t)，输出信号为电阻两端的电压y(t).当RC=0.04，f(t)=cos5t+cos100t, 试求该系统的响应y(t)-+-+f(t)y(t)RC解 由图可知 ，该电路为一个微分电路，其频率响应为 由此可求出余弦信号通过LTI系统的响应为 计算该系统响应的MATLAB程序及响应波形如下RC=0.04;t=linspace(-2,2,1024);w1=5;w2=100;H1=j*w1/(j*w1+1/RC);H2=j*w2/(j*w2+1/RC);f=cos(5*t)+cos(100*t);y=abs(H1)*cos(w1*t+angle(H1)+ abs(H2)*cos(w2*t+angle(H2);subplot(2,1,1);plot(t,f);ylabel(f(t);xlabel(Time(s);subplot(2,1,2);plot(t,y);ylabel(y(t);xlabel(Time(s);复频域部分1、用MATLAB进行复频域分析 用MATLAB分析LTI系统的特性系统函数H（s）通常是一个有理分式，其分子和分母均为多项式。计算H（s）的零极点可以应用MATLAB中的roots函数，求出分子和分母多项式的根，然后用plot命令画图。在MATLAB中还有一种更简便的方法画系统函数H（s）的零极点分布图，即用pzmap函数画图。其调用格式为 pzmap(sys)sys表示LTI系统的模型，要借助tf函数获得，其调用格式为sys=tf(b,a)式中，b和a分别为系统函数H（s）的分子和分母多项式的系数向量。如果已知系统函数H（s），求系统的单位冲激响应h(t)和频率响应可以用以前介绍过的impulse和freqs函数。例3-6 已知系统函数为 试画出其零极点分布图，求系统的单位冲激响应h(t)和频率响应，并判断系统是否稳定。解：其MATLAB程序如下：num=1;den=1,2,2,1;sys=tf(num,den);figure(1);pzmap(sys);t=0:0.02:10;h=impulse(num,den,t);figure(2);plot(t,h)title(Impulse Response)H,w=freqs(num,den);figure(3);plot(w,abs(H)xlabel(omega)title(Magnitude Response) 2、用MATLAB进行Laplace正、反变换MATLAB的符号数学工具箱提供了计算Laplace正、反变换的函数Laplace和ilaplace,其调用格式为 上述两式右端的f和F分别为时域表示式和s域表示式的符号表示，可以应用函数sym实现，其调用格式为 S=sym(A)式中，A为待分析表示式的字符串，S为符号数字或变量。例3-7 试分别用Laplace和ilaplace函数求（1）的Laplace变换；（2）的Laplace反变换。解：（1）其程序为f=sym(exp(-t)*sin(a*t);F=laplace(f)或syms a tF=laplace(exp(-t)*sin(a*t)（2）其程序为F=sym(s2/(s2+1);ft=ilaplace(F)或syms sft= ilaplace(s2/(s2+1)3、系统函数的零极点分布