江苏省姜堰市蒋垛中学2012-2013学年度第二学期期初测试高三数学试题.doc

姜堰市蒋垛中学20122013学年度第二学期期初调研测试高三数学试题 (考试时间：120分钟 总分160分) 命题人：刘小明 审题人：宋元海注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）1.已知集合,且集合，则实数的值为 2.计算 （为虚数单位）3.已知向量，则 4.圆的半径为 5.双曲线的离心率为 6.已知数列an满足a1 = 1，an + 1 = 2an，则该数列前8项之和S8 = 7、点在函数的图像上，则该函数在点处的切线方程为 8.将个数平均分为两组，第一组的平均数为，第二组的平均数为，则整个数组的平均数是 9.已知函数，若对任意实数，恒成立，则实数的取值范围是 10. 已知直线的充要条件是a= 11. 已知实数满足，则的取值范围是 12.设是定义在上的奇函数，且当时，若对任意的不等式恒成立，则的最大值为 13.已知数列的通项公式为，若对任意的，都有，则实数 的取值范围为 14. 已知R，则的最大值为 二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）15（本题满分14分）设的内角的对边分别为（1）求证：；（2）若，试求的值16（本题满分14分）第16题图如图，在四棱柱中，已知平面平面且,.（1） 求证：（2） 若为棱上的一点，且平面，求线段的长度17. （本题满分14分）已知函数，(1)求函数的极大值和极小值；（2）已知，求函数的最大值和最小值。（3）若函数的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围18. （本题满分16分）如图，海岸线，,现用长为6的拦网围成一养殖场，其中(1)若BC = 6，,求养殖场面积最大值；(2)若AB = 2，AC = 4，在折线内选点， 使BD + DC = 6，求四边形养殖场DBAC的最大面积（保留根号）19（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知分别是椭圆E:的左、右焦点，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，且. （1）求椭圆E的离心率；（2）已知点为线段的中点，M 为椭圆上的动点（异于点、），连接并延长交椭圆于点，连接、并分别延长交椭圆于点、，连接，设直线、的斜率存在且分别为、，试问是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.20. （本题满分16分）定义数列：，当 时，。（1）当时， 。求：； 求证：数列中任意三项均不能够成等差数列。（2）若r0，求证：不等式（nN*）恒成立。21.（本小题满分10分，几何证明选讲）如图，过圆外一点作圆的切线，切点为,过作于.(1) 求证：;(2) 为线段上一点，直线垂直直线,且交圆于点.过点的切线交直线于,求证：.22.（本小题满分10分，矩阵与变换）已知矩阵 有特征值及对应的一个特征向量.（1）求矩阵;（2）求曲线在的作用下的新曲线方程.23.（本小题满分10分，坐标系与参数方程）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合.若直线的极坐标方程为.（1）把直线的极坐标方程化为直角坐标系方程；（2）已知为椭圆上一点，求到直线的距离的最大值.24.（本小题满分10分，不等式选讲）设为正数，求证：.25.（本小题满分10分）如图，在棱长为3的正方体中，.求两条异面直线与所成角的余弦值；求直线与平面所成角的正弦值.26.（本小题满分10分）已知数列（1）求； （2）试用数学归纳法证明 姜堰市蒋垛中学20122013学年度第二学期期初调研测试参考答案1、0 2、 3、 4、5 5、 6、255 7、 8、45 9、 10、-1 11、1,5 12、-413、6,12 14、 15、(1)运用余弦定理6分（2）由（1）知：即：即：即：所以：14分16、（1）6分（2）14分17.解（1）的极大值为的极小值为4分（2）令，则=，由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，的最大值为，最小值为。9分（3）由（1）可得，或或14分18. 解：(1)设，4分， 所以， 面积的最大值为，当且仅当时取到7分(2) BC = 2，由DB + DC = 6，知点在以、为焦点的椭圆上，10分只需面积最大,需此时点到的距离最大, 即必为椭圆短轴顶点面积的最大值为，因此,四边形ACDB面积的最大值为14分19解：（1），.，化简得，故椭圆E的离心率为.5分（2）存在满足条件的常数，.点为线段的中点，从而，左焦点，椭圆E的方程为.8分设，则直线的方程为，代入椭圆方程，整理得，.，.从而，故点.同理，点.三点、共线，从而.从而故，从而存在满足条件的常数。.14分20、解：（1）当时，计算得数列的前8项为：1，1，2，2，4，4，8，8.从而猜出数列、均为等比数列。 ，数列、均为等比数列，。，4分证明（反证法）：假设存在三项是等差数列，即成立。因均为偶数，设，（），即 ，而此等式左边为偶数，右边为奇数，这就矛盾。8分（2），是首项为，公比为2的等比数列，。又，是首项为，公比为2的等比数列， 。 ，。，。16分21证明：（1）因为是圆的切线，所以，又因为在中，由射影定理知，4分（2）因为是圆的切线，同（1），有，又，所以，即，又，所以，故 10分22.解：（1）由已知，即，所以; 4分（2）设曲线上任一点P，P在M作用下对应点，则即，解之得，代入得，即曲线在的作用下的新曲线的方程是10分23.解：（1）直线l的极坐标方程，则， 即，所以直线l的直角坐标方程为； 4分（2）P为椭圆上一点，设，其中， 则P到直线l的距离，其中 所以当时，的最大值为 10分24.因为，所以， 4分同理, 三式相加即可得又因为所以 10分25.解：（1）以点为原点，建立空间直角坐标系如图所示：则则两条异面直线与所成角的余弦值为 5分(2)易知平面的一个法向量为设直线与平面所成角为，则 10分26.解：（1） 2分方法一 用数学归纳法证明：