河南省北大附中分校宇华教育集团高一数学上学期期末试卷（宏志班含解析）.doc

2015-2016学年河南省北大附中分校宇华教育集团高一（上）期末数学试卷（宏志班）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设全集u=x|x4，xn，a=0，1，2，b=2，3，则bua等于（）a3b2，3cd0，1，2，32设l是直线，是两个不同的平面（）a若l，l，则b若l，l，则c若，l，则ld若，l，则l3由下表可计算出变量x，y的线性回归方程为（）x54321y21.5110.5a =0.35x+0.15b =0.35x+0.25c =0.35x+0.15d =0.35x+0.254直线3x+4y=b与圆x2+y22x2y+1=0相切，则b=（）a2或12b2或12c2或12d2或125在abc中，c=90，且ca=cb=3，点m满足等于（）a2b3c4d66一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）a2+2b4+2c2+d4+7一对夫妇有两个孩子，已知其中一个孩子是女孩，那么另一个孩子也是女孩的概率为（）abcd8已知函数y=asin（x+）+b的一部分图象如图所示，如果a0，0，|，则（）aa=4b=1c=db=49某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的b等于（）a15b29c31d6310过点（3，1）作圆（x1）2+y2=1的两条切线，切点分别为a，b，则直线ab的方程为（）a2x+y3=0b2xy3=0c4xy3=0d4x+y3=011a=cos50cos127+cos40cos37，b=（sin56cos56），c=，d=（cos802cos250+1），则a，b，c，d的大小关系为（）aabdcbbadccacbddcabd12已知函数y=f（x）的图象与函数y=logax（a0且a1）的图象关于直线y=x对称，如果函数g（x）=f（x）f（x）3a21（a0，且a1）在区间0，+）上是增函数，那么a的取值范围是（）a0，b，1）c1，d，+）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13正方体abcda1b1c1d1中，bb1与平面acd1所成角的余弦值为14已知|=1，|=， =0，点c在aob内，且aoc=30，设=m+n（m、nr），则等于15若，0且sin（+）=，cos（+）=，求sin（+）的值16为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一部分跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图所示），图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12，若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生单调达标率是三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知点p（0，5）及圆c：x2+y2+4x12y+24=0，若直线l过点p且被圆c截得的线段长为4，求l的方程18设abc的内角a、b、c所对的边长分别为a、b、c，且a2+c2=b2+6c，bsina=4（1）求边长a；（2）若abc的面积s=10，求cosc的值19如图，bc为圆o的直径，d为圆周上异于b、c的一点，ab垂直于圆o所在的平面，beac于点e，bfad于点f（）求证：bf平面acd；（）若ab=bc=2，cbd=45，求四面体bdef的体积20在以o为圆心，1为半径的圆上均匀、依次分布有六点，分别记为：a、b、c、d、e、f（1）点p是圆o上运动的任意一点，试求|pa|1的概率；（2）在a、b、c、d、e、f六点中选择不同的三点构成三角形，其面积记为s，试求s=和s=的概率21已知=（sinx，m+cosx），=（cosx，m+cosx），且f（x）=（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x，时，f（x）的最小值是4，求此时函数f（x）的最大值，并求出相应的x的值22已知f（x）是定义在1，1上的奇函数，且f（1）=1，若a，b1，1，a+b0时，有成立（）判断f（x）在1，1上的单调性，并证明（）解不等式：（）若f（x）m22am+1对所有的a1，1恒成立，求实数m的取值范围2015-2016学年河南省北大附中分校宇华教育集团高一（上）期末数学试卷（宏志班）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设全集u=x|x4，xn，a=0，1，2，b=2，3，则bua等于（）a3b2，3cd0，1，2，3【考点】全集及其运算；交、并、补集的混合运算【专题】集合思想；综合法；集合【分析】先求出全集u=3，2，1，0，然后进行补集、并集的运算即可【解答】解：u=3，2，1，0；ua=3；bua=2，3故选：b【点评】考查描述法和列举法表示集合，以及全集的概念，补集、并集的运算2设l是直线，是两个不同的平面（）a若l，l，则b若l，l，则c若，l，则ld若，l，则l【考点】平面与平面之间的位置关系【专题】空间位置关系与距离【分析】利用面面垂直的判定定理可证明b是正确的，对于其它选项，可利用举反例法证明其是错误命题【解答】解：a，若l，l，则满足题意的两平面可能相交，排除a；b，若l，l，则在平面内存在一条直线垂直于平面，从而两平面垂直，故b正确；c，若，l，则l可能在平面内，排除c；d，若，l，则l可能与平行，相交，排除d故选 b【点评】本题主要考查了空间线面、面面位置关系，空间线面、面面垂直于平行的判定和性质，简单的逻辑推理能力，空间想象能力，属基础题3由下表可计算出变量x，y的线性回归方程为（）x54321y21.5110.5a =0.35x+0.15b =0.35x+0.25c =0.35x+0.15d =0.35x+0.25【考点】线性回归方程【专题】计算题；概率与统计【分析】利用平均数公式求得平均数，代入公式求回归系数，可得回归直线方程【解答】解： =3， =1.2，b=0.35，a=1.20.353=0.15，线性回归方程为y=0.35x+0.15故选：a【点评】本题考查了线性回归方程是求法，利用最小二乘法求回归系数时，计算要细心4直线3x+4y=b与圆x2+y22x2y+1=0相切，则b=（）a2或12b2或12c2或12d2或12【考点】圆的切线方程【专题】计算题；转化思想；数学模型法；直线与圆【分析】化圆的一般式方程为标准式，求出圆心坐标和半径，由圆心到直线的距离等于圆的半径列式求得b值【解答】解：由圆x2+y22x2y+1=0，化为标准方程为（x1）2+（y1）2=1，圆心坐标为（1，1），半径为1，直线3x+4y=b与圆x2+y22x2y+1=0相切，圆心（1，1）到直线3x+4yb=0的距离等于圆的半径，即，解得：b=2或b=12故选：d【点评】本题考查圆的切线方程，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题5在abc中，c=90，且ca=cb=3，点m满足等于（）a2b3c4d6【考点】平面向量数量积的运算【专题】计算题【分析】由=（），再利用向量和的夹角等于45，两个向量的数量积的定义，求出 的值【解答】解：由题意得 ab=3，abc是等腰直角三角形，=（）=+=0+|cos45=33=3，故选b【点评】本题考查两个向量的数量积的定义，注意向量和的夹角等于45这一条件的运用6一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）a2+2b4+2c2+d4+【考点】由三视图求面积、体积【专题】立体几何【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个上部是四棱锥，下部是圆柱其高已知，底面是半径为1的圆，故分别求出两个几何体的体积，再相加即得组合体的体积【解答】解：此几何体为一个上部是正四棱锥，下部是圆柱由于圆柱的底面半径为1，其高为2，故其体积为122=2棱锥底面是对角线为2的正方形，故其边长为，其底面积为2，又母线长为2，故其高为由此知其体积为=故组合体的体积为2+故选c【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是组合体的体积，其方法是分部来求，再求总体积三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视7一对夫妇有两个孩子，已知其中一个孩子是女孩，那么另一个孩子也是女孩的概率为（）abcd【考点】条件概率与独立事件【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计【分析】记事件a为“其中一个是女孩”，事件b为“另一个也是女孩”，分别求出a、b的结果个数，问题是求在事件a发生的情况下，事件b发生的概率，即求p（b|a），由条件概率公式求解即可【解答】解：一个家庭中有两个小孩只有4种可能：男，男，男，女，女，男，女，女记事件a为“其中一个是女孩”，事件b为“另一个也是女孩”，则a=（男，女），（女，男），（女，女），b=（男，女），（女，男），（女，女），ab=（女，女）于是可知 p（a）=，p（ab）=问题是求在事件a发生的情况下，事件b发生的概率，即求p（b|a），由条件概率公式，得p（b|a）=故选d【点评】本题的考点是条件概率与独立事件，主要考查条件概率的计算公式：p（b|a）=，等可能事件的概率的求解公式：p（m）=（其中n为试验的所有结果，m为基本事件的结果）8已知函数y=asin（x+）+b的一部分图象如图所示，如果a0，0，|，则（）aa=4b=1c=db=4【考点】由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式【专题】计算题【分析】先根据函数的最大值和最小值求得a和b，然后利用图象中求得函数的周期，求得，最后根据x=时取最大值，求得【解答】解：如图根据函数的最大值和最小值得求得a=2，b=2函数的周期为（）4=，即=，=2当x=时取最大值，即sin（2+）=1，2+=2k+=2k=故选c【点评】本题主要考查了由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式考查了学生基础知识的运用和图象观察能力9某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的b等于（）a15b29c31d63【考点】循环结构【专题】图表型【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算b值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示： a b 是否继续循环循环前 2 1/第一圈 3 3 是第二圈 4 7 是第三圈 5 15 是第四圈 6 31 否则输出的结果为31故选c【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法10过点（3，1）作圆（x1）2+y2=1的两条切线，切点分别为a，b，则直线ab的方程为（）a2x+y3=0b2xy3=0c4xy3=0d4x+y3=0【考点】圆的切线方程；直线的一般式方程【专题】直线与圆【分析】由题意判断出切点（1，1）代入选项排除b、d，推出令一个切点判断切线斜率，得到选项即可【解答】解：因为过点（3，1）作圆（x1）2+y2=1的两条切线，切点分别为a，b，所以圆的一条切线方程为y=1，切点之一为（1，1），显然b、d选项不过（1，1），b、d不满足题意；另一个切点的坐标在（1，1）的右侧，所以切线的斜率为负，选项c不满足，a满足故选a【点评】本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程求法，可以直接解答，本题的解答是间接法，值得同学学习11a=cos50cos127+cos40cos37，b=（sin56cos56），c=，d=（cos802cos250+1），则a，b，c，d的大小关系为（）aabdcbbadccacbddcabd【考点】两角和与差的正弦函数【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质【分析】利用两角和公式和倍角公式对a，b，c，d分别化简，利用诱导公式再转化成单调区间的正弦函数，最后理由正弦函数的单调性求得答案【解答】解：a=sin40cos127+cos40sin127=sin（40+127）=sin167=sin13，b=（sin56cos56）=sin56cos56=sin（5645）=sin11c=cos239sin239=cos78=sin12，d=cos80cos100=cos80+cos80=cos80=sin10sin10sin11sin12sin13，dbca故选：c【点评】本题主要考查了两角和公式，二倍角角公式，诱导公式的应用，正弦函数的单调性为了便于比较，应把每一项转化成同名函数，且在一个单调区间12已知函数y=f（x）的图象与函数y=logax（a0且a1）的图象关于直线y=x对称，如果函数g（x）=f（x）f（x）3a21（a0，且a1）在区间0，+）上是增函数，那么a的取值范围是（）a0，b，1）c1，d，+）【考点】对数函数的图象与性质【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用【分析】由已知函数g（x）=ax（ax3a21）（a0且a1）在区间0，+）上是增函数，令ax=t，利用换元法及二次函数性质能求出a的取值范围【解答】解：函数y=f（x）的图象与函数y=logax（a0且a1）的图象关于直线y=x对称，f（x）=ax（a0，a1），函数g（x）=f（x）f（x）3a21（a0，且a1）在区间0，+）上是增函数，函数g（x）=ax（ax3a21）（a0且a1）在区间0，+）上是增函数令ax=t，则g（x）=ax（ax3a21）转化为y=t2（3a2+1）t，其对称轴为t=0，当a1时，t1，要使函数y=t2（3a2+1）t在1，+）上是增函数则t=1，故不存在a使之成立；当0a1时，0t1，要使函数y=t2（3a2+1）t在（0，1上是减函数则t=1，故a1综上所述，a的取值范围是，1）故选：b【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意换元法及二次函数性质的合理运用二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13正方体abcda1b1c1d1中，bb1与平面acd1所成角的余弦值为【考点】直线与平面所成的角【专题】计算题【分析】正方体上下底面中心的连线平行于bb1，上下底面中心的连线平面acd1所成角即为线面角，直角三角形中求出此角的余弦值【解答】解：如图，设上下底面的中心分别为o1，o；o1o与平面acd1所成角就是bb1与平面acd1所成角，；故答案为：【点评】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出d到平面acd1的距离是解决本题的关键所在，这也是转化思想的具体体现14已知|=1，|=， =0，点c在aob内，且aoc=30，设=m+n（m、nr），则等于3【考点】平面向量数量积的运算；线段的定比分点【分析】先根据=0，可得，又因为=|oc|1cos30=1，所以可得：在x轴方向上的分量为在y轴方向上的分量为，又根据=m+n=n+m，可得答案【解答】解：|=1，|=， =0，=|oc|1cos30=1在x轴方向上的分量为在y轴方向上的分量为=m+n=n+m，两式相比可得： =3故答案为：3【点评】本题主要考查向量数量积的几何意义对于向量数量积要明确其几何意义和运算法则15若，0且sin（+）=，cos（+）=，求sin（+）的值【考点】两角和与差的正弦函数【专题】三角函数的图像与性质【分析】首先，根据sin（+）=，cos（+）=，求解cos（+），sin（+），然后，结合诱导公式进行求值【解答】解：，又，又=，sin（+）=【点评】本题重点考查了三角函数的求值、三角恒等变换公式等知识，属于中档题16为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一部分跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图所示），图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12，若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生单调达标率是0.88【考点】频率分布直方图【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计【分析】根据从左到右各小长方形的面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12，用比值做出样本容量，根据样本容量和前两个小长方形所占的比例，用所有的样本容量减去前两个的频数之和，得到结果，除以样本容量得到概率【解答】解：从左到右各小长方形的面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12样本容量是=150，次数在110以上为达标，次数在110以上的有150（1）=132，全体高一学生的达标率为=0.88【点评】本题考查频率分步直方图的应用，是一个基础题，这种题目解题的关键是看清图中所给的条件，知道小长方形的面积就是这组数据的频率三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知点p（0，5）及圆c：x2+y2+4x12y+24=0，若直线l过点p且被圆c截得的线段长为4，求l的方程【考点】直线与圆的位置关系【专题】直线与圆【分析】将圆v方程化为标准方程，找出圆心c坐标与半径r，根据题意画出相应的图形，取ab的中点为d，连接cd，可得出cd垂直于ab，得出|ad|与|ac|的长，利用勾股定理求出|cd|的长，然后分两种情况考虑：（i）直线l斜率存在时，设斜率为k，表示出l方程，由c到l的距离为2，利用点到直线的距离公式求出k的值，确定出此时l的方程；（ii）当直线l的斜率不存在时，直线x=0满足题意，综上，得到所求的直线方程【解答】解：将圆c方程化为标准方程得：（x+2）2+（y6）2=16，圆心c坐标为（2，6），半径r=4，如图所示，|ab|=4，取ab的中点d，连接cd，可得cdab，连接ac、bc，|ad|=|ab|=2，|ac|=4，在rtacd中，由勾股定理得：|cd|=2，分两种情况考虑：（i）当直线l的斜率存在时，设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y5=kx，即kxy+5=0，由点c到直线ab的距离公式，得=2，解得：k=，当k=时，直线l的方程为3x4y+20=0；（ii）直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x=0，综上，所求直线的方程为3x4y+20=0或x=0【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，点到直线的距离公式，利用了数形结合及分类讨论的思想，是一道综合性较强的试题18设abc的内角a、b、c所对的边长分别为a、b、c，且a2+c2=b2+6c，bsina=4（1）求边长a；（2）若abc的面积s=10，求cosc的值【考点】余弦定理；正弦定理【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形【分析】（1）由余弦定理可求得acosb=3，又bsina=4，从而可求，结合同角三角函数关系式即可求得sinb，cosb的值，从而可求a的值（2）由三角形面积公式可求c，由余弦定理可求b，即可求得cosc的值【解答】解：（1），acosb=3（2分）又bsina=4，a=5（6分）（2），c=5（8分）b2=a2+c22accosb=20，（10分）（12分）【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，同角三角函数关系式的应用，考查了计算能力，属于中档题19如图，bc为圆o的直径，d为圆周上异于b、c的一点，ab垂直于圆o所在的平面，beac于点e，bfad于点f（）求证：bf平面acd；（）若ab=bc=2，cbd=45，求四面体bdef的体积【考点】直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】空间位置关系与距离【分析】对第（）问，由于bfad，要证bf平面acd，只需证bfcd，故只需cd平面abd，由于cdbd，只需cdab，由ab平面bdc；对第（）问，四面体bdef即三棱锥ebdf，由cd平面abd及e为ac的中点知，三棱锥ebdf的高等于，在rtabd中，根据bfad，设法求出sbdf，即得四面体bdef的体积【解答】解：（）证明：bc为圆o的直径，cdbd，ab圆0所在的平面bcd，且cd平面bcd，abcd，又abbd=b，cd平面abd，bf平面abd，cdbf，又bfad，且adcd=d，bf平面acd（）ab=bc=2，cbd=45，bd=cd=，beac，e为ac的中点，又由（）知，cd平面abd，e到平面bdf的距离d=在rtabd中，有ad=，bfad，由射影定理得bd2=dfad，则df=，从而，四面体bdef的体积=【点评】1本题考查了线面垂直的定义与性质与判定，关键是掌握线面垂直与线线垂直的相互转化：“线线垂直”可由定义来实现，“线面垂直”可由判定定理来实现2考查了三棱锥体积的计算，求解时，应寻找适当的底面与高，使面积和高便于求解，面积可根据三角形形状求解，高可转化为距离的计算20在以o为圆心，1为半径的圆上均匀、依次分布有六点，分别记为：a、b、c、d、e、f（1）点p是圆o上运动的任意一点，试求|pa|1的概率；（2）在a、b、c、d、e、f六点中选择不同的三点构成三角形，其面积记为s，试求s=和s=的概率【考点】几何概型【专题】计算题；转化思想；概率与统计【分析】（1）设事件a1：|pa|1，求出满足条件的弧长，代入几何概型概率计算公式可得答案；（2）从六个点中任选三个不同的点构成一个三角形，共有种不同的选法其中的为有一个角为30的rt，的为顶角为120的等腰三角形，进而得到答案【解答】解：（1）设事件a1：|pa|1，则动点则沿bcdef运动均满足题意，则（6分）（2）从六个点中任选三个不同的点构成一个三角形，共有种不同的选法其中的为有一个角为30的rt（如adf），不同的选法种数为62=12种（10分）的为顶角为120的等腰三角形（如abc），不同的选法种数为6种（12分）【点评】本题考查的知识点是古典概型和几何概型，转化思想，找到满足条件的基本事件的几何特征是解答的关键21已知=（sinx，m+cosx），=（cosx，m+cosx），且f（x）=（1）求函数f（x）的解析式；（2）