【三维设计】北京航空航天大学附中高考数学二轮复习 导数及其应用.doc

北京航空航天大学附中三维设计2013年高考数学二轮复习：导数及其应用本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分考试时间120分钟第卷(选择题共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若函数在区间内可导，且则 的值为( )a b c d 【答案】b2设函数是上以5为周期的可导偶函数，则曲线在处的切线的斜率为( )abcd【答案】d3一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为st3t22t，那么速度为零的时刻是( )a0秒b1秒末c2秒末d1秒末和2秒末【答案】d4已知函数的定义域为，部分对应值如下表的导函数的图象如图所示下列关于函数的命题： 函数是周期函数； 函数在是减函数； 如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4； 当时，函数有4个零点其中真命题的个数是( )a4个 b3个 c2个 d1个【答案】d5( )abcd【答案】b6函数y=x33x的极大值为m,极小值为n,则m+n为( )a0b1c2d4【答案】a7曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )abcd【答案】b8已知函数的导数为0的值也使值为0，则常数的值为( )a0bc0或d非以上答案【答案】a9已知点p是曲线上的一个动点，则点p到直线l：的距离的最小值为( )a1bcd【答案】b10曲线在点处的切线的斜率为( )abcd【答案】b11已知物体的运动方程为（是时间，是位移），则物体在时刻时的速度为( )abcd【答案】d12的图象画在同一直角坐标系中，不可能正确的是( )【答案】d第卷(非选择题共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13已知函数的导函数为偶函数，则 .【答案】014 . 【答案】15已知函数，当时函数f(x)的导数为零，f(-1)= ，则 【答案】16曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 【答案】三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17某企业有一条价值为m万元的生产流水线，要提高其生产能力，提高产品的价值，就要对该流水线进行技术改造，假设产值y万元与投入的改造费用x万元之间的关系满足：y与成正比；当时，其中a为常数，且.(1）设，求出的表达式;(2）求产值y的最大值，并求出此时x的值.【答案】（1）y与（mx）x成正比， yf (x)=k (mx)x2又时， k4yf (x)4(mx)x2由得 (2） 令得(i）若 即当时，在0，m上单调递增当时，由在上单调递减当，(i i）若 即时当(0, )时，在0，上单调递增综合（i）（i i）可知当时，产值y的最大值为，此时投入的技术改造费用为；当时，产值y的最大值为，此时投入的技术改造费用为；18已知函数，（为实数）.(1）当时，求函数在上的最小值；(2）若方程（其中）在区间上有解，求实数的取值范围；(3）证明：（参考数据：.【答案】（1）当时，令得在上单调递减，在上单调递增时的最小值为(2）在上有解在上有解在上有解令令上单调递增，上单调递减，又即故(3）设由（1），可得构造函数当时，在上单调递减，即当时，即故19已知函数，且其导函数的图像过原点.(1)当时，求函数的图像在处的切线方程;(2)若存在，使得，求的最大值；(3)当时，求函数的零点个数。【答案】 ,由得 ,. (1) 当时, ,，,所以函数的图像在处的切线方程为,即(2) 存在,使得, ，当且仅当时，所以的最大值为. (3) 当时，的变化情况如下表：的极大值，的极小值又，.所以函数在区间内各有一个零点，故函数共有三个零点。注：证明的极小值也可这样进行:设，则当时, ,当时, ,函数在区间上是增函数,在区间上是减函数,故函数在区间上的最大值为,从而的极小值.证明函数共有三个零点。也可这样进行:的极大值，的极小值,当无限减小时，无限趋于 当 无限增大时，无限趋于故函数在区间内各有一个零点，故函数共有三个零点。20已知函数(1）讨论函数在定义域内的极值点的个数；(2）若函数在处取得极值，对,恒成立，求实数的取值范围.【答案】（），当时，在上恒成立，函数 在单调递减，在上没有极值点；当时，得，得，在上递减，在上递增，即在处有极小值当时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点(）函数在处取得极值，令，可得在上递减，在上递增，即21统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：y=(0x120).已知甲、乙两地相距100千米。(）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？【答案】 (1)当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了小时,要耗油(.答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升.(2)当速度为x千米/小时，汽车从甲地到乙地行驶了设耗油量为h(x)升，衣题意得h(x)=(),h(x)=(0x120令h(x)=0，得x=80.当x(0,80)时，h(x)0,h(x)是减函数;当x(80,120)时，h(x)0,h(x)是增函数.当x=80时，h(x)取到极小值h(80)=11.25.因为h(x)在(0,120)上只有一个极值，所以它是最小值.答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.22已知函数(为实数)有极值，且在处的切线与直线平行(1)求实数的取值范围；(2)是否存在实数a,使得函数f(x)的极小值为1,若存在,求出实数a的值,若不存在,请说明理由；(3)设,的导数为,令求证: 【答案】 (1),，