【三维设计】高考数学一轮复习 （基础知识+高频考点+解题训练）两角和与差的正弦、余弦和正切公式教学案.doc

第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式知识能否忆起1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)c()：cos()cos_cos_sin_sin_；(2)c()：cos()cos_cos_sin_sin_；(3)s()：sin()sin_cos_cos_sin_；(4)s()：sin()sin_cos_cos_sin_；(5)t()：tan()；(6)t()：tan().2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)s2：sin 22sin_cos_；(2)c2：cos 2cos2sin22cos2112sin2；(3)t2：tan 2.3常用的公式变形(1)tan tan tan()(1tan tan )；(2)cos2，sin2；(3)1sin 2(sin cos )2，1sin 2(sin cos )2，sin cos sin.小题能否全取1(2011福建高考)若tan 3，则的值等于()a2b3c4 d6解析：选d2tan 236.2sin 68sin 67sin 23cos 68的值为()a b.c. d1解析：选b原式sin 68cos 23cos 68sin 23sin(6823)sin 45.3已知sin ，则cos(2)等于()a bc. d.解析：选bcos(2)cos 2(12sin2)2sin2121.4(教材习题改编)若cos ，是第三象限角，则sin_解析：由已知条件sin ，sinsin cos .答案：5若tan，则tan _.解析：tan，即5tan 522tan .则7tan 3，故tan .答案：1.两角和与差的三角函数公式的理解：(1)正弦公式概括为“正余，余正符号同”“符号同”指的是前面是两角和，则后面中间为“”号；前面是两角差，则后面中间为“”号(2)余弦公式概括为“余余，正正符号异”(3)二倍角公式实际就是由两角和公式中令所得特别地，对于余弦：cos 2cos2sin22cos2112sin2，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现2重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角为：对角的分拆要尽可能化成已知角、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形三角函数公式的应用典题导入例1(2011广东高考)已知函数f(x)2sin，xr.(1)求f的值；(2)设，f，f(32)，求cos()的值自主解答(1)f(x)2sin，f2sin2sin.(2)，f，f(32)，2sin ，2sin.即sin ，cos .cos ，sin .cos()cos cos sin sin .由题悟法两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用、的三角函数表示的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的以题试法1(1)已知sin ，则_.(2)(2012济南模拟)已知为锐角，cos ，则tan()a3bc d7解析：(1)cos sin ，sin ，cos .原式.(2)依题意得，sin ，故tan 2，tan 2，所以tan.答案：(1)(2)b三角函数公式的逆用与变形应用典题导入例2(2013德州一模)已知函数f(x)2cos2sin x.(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；(2)若为第二象限角，且f，求的值自主解答(1)f(x)2cos2sin x1cos xsin x12cos，周期t2，f(x)的值域为1,3(2)f，12cos ，即cos .为第二象限角，sin .由题悟法运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan tan tan()(1tan tan )和二倍角的余弦公式的多种变形等以题试法2(1)(2012赣州模拟)已知sincos ，则sin的值为()a.b.c. d.(2)若，则(1tan )(1tan )的值是_解析：(1)由条件得sin cos ，即sin cos .sin.(2)1tantan()，tan tan 1tan tan .1tan tan tan tan 2，即(1tan )(1tan )2.答案：(1)a(2)2角 的 变 换典题导入例3(1)(2012温州模拟)若3，tan()2，则tan(2)_.(2)(2012江苏高考)设为锐角，若cos，则sin的值为_自主解答(1)由条件知3，则tan 2.故tan(2)tan ().(2)因为为锐角，cos，所以sin，sin 2，cos 2，所以sinsin.答案(1)(2)由题悟法1当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；2当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”3常见的配角技巧：2；()；()；()()；()()；.以题试法3设tan，tan，则tan()a.b.c. d.解析：选ctantan.1(2012重庆高考)设tan ，tan 是方程x23x20的两根，则tan ()的值为()a3b1c1 d3解析：选a由题意可知tan tan 3，tan tan 2，tan()3.2(2012南昌二模)已知cos，则cos xcos的值是()a bc1 d1解析：选ccos xcoscos xcos xsin xcos xsin xcos1.3 (2012乌鲁木齐诊断性测验)已知满足sin ，那么sinsin的值为()a. bc. d解析：选a依题意得，sinsinsincossincos 2(12sin2).4已知函数f(x)x3bx的图象在点a(1，f(1)处的切线的斜率为4，则函数g(x)sin 2xbcos 2x的最大值和最小正周期为()a1， b2，c.，2 d.，2解析：选b由题意得f(x)3x2b，f(1)3b4，b1.所以g(x)sin 2xbcos 2xsin 2xcos 2x2sin，故函数的最大值为2，最小正周期为.5 (2012东北三校联考)设、都是锐角，且cos ，sin，则cos ()a. b.c.或 d.或解析：选a依题意得sin ，cos().又、均为锐角，因此0cos()，注意到，所以cos().cos cos()cos()cos sin()sin .6已知为第二象限角，sin cos ，则cos 2()a bc. d.解析：选a将sin cos 两边平方，可得1sin 2，sin 2，所以(sin cos )21sin 2.因为是第二象限角，所以sin 0，cos 0，所以sin cos ，所以cos 2(sin cos )(cos sin ).7(2012苏锡常镇调研)满足sinsin xcoscos x的锐角x_.解析：由已知可得coscos xsinsin x，即cos，又x是锐角，所以x，即x.答案：8化简_.解析：原式tan(902).答案：9(2013烟台模拟)已知角，的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，(0，)，角的终边与单位圆交点的横坐标是，角的终边与单位圆交点的纵坐标是，则cos _.解析：依题设及三角函数的定义得：cos ，sin().又0，sin ，cos().cos cos()cos()cos sin()sin .答案：10已知，tan ，求tan 2和sin的值解：tan ，tan 2，且，即cos 2sin ，又sin2cos21，5sin21，而，sin ，cos .sin 22sin cos 2，cos 2cos2sin2，sinsin 2coscos 2sin.11已知：0，cos.(1)求sin 2的值；(2)求cos的值解：(1)法一：coscoscos sin cos sin ，cos sin ，1sin 2，sin 2.法二：sin 2cos2cos21.(2)0，0，cos()0.cos，sin()，sin，cos().coscoscos()cos.12(2012衡阳模拟) 函数f(x)cossin，xr.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若f()，求tan的值解：(1)f(x)cossinsincossin，故f(x)的最小正周期t4.(2)由f()，得sincos，则22，即1sin ，解得sin ，又，则cos ，故tan ，所以tan7.1若tan lg(10a)，tan lg，且，则实数a的值为()a1 b.c1或 d1或10解析：选ctan()11lg2alg a0，所以lg a0或lg a1，即a1或.2化简sin2sin2sin2的结果是_解析：原式sin21sin21cos 2cossin21.答案：3已知sin cos ，sin，.(1)求sin 2和tan 2的值；(2)求cos(2)的值解：(1)由题意得(sin cos )2，即1sin 2，sin 2.又2，cos 2，tan 2.(2)，sin，cos，于是sin 22sincos.又sin 2cos 2，cos 2，又2，sin 2，又cos2，cos ，sin .cos(2)cos cos 2sin sin 2 .1(2012北京西城区期末)已知函数f(x)sin2xsin xcos x，x.(1)求f(x)的零点；(2)求f(x)的最大值和最小值解：(1)令f(x)0，得sin x(sin xc