《高等数学课程》(下)教学大纲(本科用).pdf

课程代码 09010020 高等数学课程 下 教学大纲 本科用 一 课程的性质 任务和目的 高等数学课程是高等工科院校各专业学生必修的重要的基础理论课 为学生培养分析 问题 解决问题的能力 抽象思维和逻辑思维能力 为学生进一步学习后继课程打下扎实 的基础 二 课程基本内容和要求 1 通过本课程的学习 要使学生获得 函数 极限 连续 一元函数微积分学 向 量代数和空间解析几何 多元函数微积分学 无穷级数 包括傅里叶级数 常微分方程 等方面的基本概念 基本理论和基本运算技能 为学习后继课程和进一步获得数学知识奠 定必要的数学基础 2 再传授知识的同时 要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象概括问题的能 力 逻辑推理能力 空间想象能力和自学能力 还要特别注意培养学生具有比较熟练的运 算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力 3 本课程的教学就把重点放在培养学生正确理解和运用基本概念与基本方法上 并 注意理论联系实际的原则 力求反应这些基本概念的实际背景及其应用 使学生认识到数 学来源于实践又服务于实际 从而有助于树立辩证唯物主义观点 4 教材的选取与课堂讲授要贯彻少而精原则 着重于基本概念 基本理论的讲授和 基本技能的培养 不要追求内容上的完备和全面 本大纲包括 一 教学内容 二 教学要求 三 重点与难点 教学要求的高低用不同的词汇加以区分 对概念 理论从高到低用 理解 了解 知道 三级区分 对运算 方法从高到低用 熟练掌握 掌握 会 三级区分 熟悉一 词相当于 理解 熟练掌握 空间解析几何与向量代数 一 教学内容 空间直角坐标系 向量及其加减法 向量与数的乘法 向量的坐标 数量积 向量 积 曲面及其方程 空间曲线及其方程 平面及其方程 空间直线及其方程 二次曲 面 其中 基本概念 空间直角坐标的概念 向量的概念 曲面及其方程 空间曲线与方程 基本理论 平面与三元一次方程的对应 基本方法 向量代数的线性运算 数量积与向量积的运算方法 根据已知条件建立各 类平面 直线方程的方法 二 教学要求 1 理解空间直角坐标系 理解向量的概念 2 掌握向量的运算 线性运算 数量积 向量积 掌握两个向量夹角的求法 与 平行与垂直的条件 3 熟悉单位向量 方向余弦及向量的坐标表示式 熟练掌握用坐标表达式进行向量 的运算 4 熟练掌握平面的点法式方程与一般方程及求法 掌握平面的截距式方程 5 熟悉空间直线的标准式 点向式 方程与一般方程及求法 掌握空间直线的参数 方程 6 掌握两直线间 两平面间 平面与直线问的夹角公式 熟练掌握应用 平行 垂直 条件建立平面 直线方程 7 理解曲面方程的概念 掌握常用二次曲面的方程及其图形 掌握以坐标轴为旋转 轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程 8 掌握空间曲线的参数方程及一般方程 9 掌握求空间曲线在坐标平面上的投影曲线的方法 10 会给制由几个较简单的曲面围成的立体图形 三 重点与难点 重点 向量概念 向量的坐标 数量积与向量积 平面的点法式方程 直线的标准方 程 曲面方程的概念 难点 向量积的概念 绘制几个曲面围成的图形 多元函数微分法及其应用 一 教学内容 多元函数的基本概念 偏导数 全微分及其应用 多元复合函数的求导法则 隐函数 的求导公式 微分在几何上的应用 方向导数的与梯度 多元函数的极值及其求法 其中 基本概念 多元函数的概念 偏导数的概念 全微分的概念 多元函数极值的概念 基本理论 全微分与偏导数的关系 基本方法 复合函数微分法 应用偏导数求极值的方法 二 教学要求 1 理解多元函数等概念 知道点函数的概念 2 知道二元函数的极限与连续性的概念 以及有界闭区域上连续函数的性质 3 理解偏导数 全微分等概念 并掌握偏导数与全微分的计算方法 了解全微分存 在的充要条件 了解多元函数的可微与可偏导之间的区别和联系 4 熟练掌握复合函数的求偏导数方法 掌握二阶偏导数的求法 5 掌握求隐函数的偏导数的方法 会求由方程组确定的隐函数的偏导数 6 了解方向导数和梯度的概念 并掌握它们的计算方法 7 了解曲线的切线与法平面及曲面的切平面和法线 并掌握它们的方程的求法 8 理解多元函数的极值和条件极值的概念 会求二元函数的极值 会用拉格朗日乘 数法求条件极值 会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题 三 重点和难点 重点 偏导数的概念 全微分的概念 复合函数微分法 难点 全微分的概念 复合函数 抽象式子 的二阶偏导数的求法 重积分 一 教学内容 二重积分的概念与性质 二重积分的计算法 二重积分的应用 三重积分的概念及 其计算法 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 其中 基本概念 二重积分与三重积分的概念 基本理论 重积分的性质 基本方法 重积分的计算方法 二 教学要求 1 理解二重积分 三重积分和概念 了解重积分的性质 2 熟练掌握二重积分的计算方法 直角坐标系 极坐标系 掌握三重积分的计 算方法 直角坐标 柱坐标 球坐标 3 能应用重积分来表达和计算一些几何量与物理量 如体积 质量 重心等 三 重点与难点 重点 重积分的计算法 难点 用球坐标计算三重积分 曲线积分与曲面积分 教学内容 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 格林公式 对面积的曲面积分 对坐标的曲 面积分 高斯公式 环流量与旋度 其中 基本概念 曲线积分与曲面积分的概念 基本理论 格林公式 奥氏公式 曲线积分与路径无关的条件 基本方法 曲线积分与曲面积分的方法 二 教学要求 1 理解两类曲线积分的概念 了解两类曲线积分的性质 2 掌握两类曲线积分的计算方法 3 熟悉格林公式 掌握平面曲线积分路径无关的条件 4 了解两类曲面积分的概念及高斯公式 斯托克斯公式 并掌握两类曲面积分的 计算方法 5 了解散度 旋度的概念及其计算方法 6 能用曲线积分和曲面积分解决一些几何与物理问题 三 重点与难点 重点 对坐标的曲线积分计算法 难点 对坐标的曲面积分计算法 无穷级数 一 教学内容 常数项级数的概念和性质 常数项级数的审敛法 幂级数 函数展开成幂级数 付立叶级数 正弦级数和余弦级数 周期为2L的周期函数的付立叶级数 其中 基本概念 级数收敛与发散的定义 幂级数的收敛区间 傅氏级数的定义 基本理论 数项级数的比较法 幂级数的四则运算与逐项微分 逐项积分 三角函数组的正交性 Euler Fourier公式 基本方法 比值审敛法 函数的幂级数表达式以及定义在上的函 数展成傅氏级数的方法 二 教学要求 1 理解无穷级数收敛 发散以及和的概念 了解无穷级数收敛的必要 条件 知道无 穷级数的性质 2 熟练掌握几何级数和P级数的敛散性 3 掌握正项级数的比较审敛法 熟练掌握正项级数的比值审敛法 4 掌握交错项级数的莱布尼兹定理 并能估计交错级数的余项 5 了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与条件收敛的关系 6 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念 7 熟练掌握较简单的幂级数的收敛半径与收敛区域的求法 可不考虑端点的敛散 性 8 知道幂级数在其收敛区间内的一些基本性质 9 知道函数展开为泰勒级数的充要条件 10 掌握的马克劳林展开式 掌握把初等函数展开成幂级数的直接方法 熟练掌握把 初等函数展开为幂级数的 间接方法 11 了解三角函数组在上的正交性 知道函数展开成付立叶级数的充分条件 狄克雷 条件 会将定义在和 1 1 上的函数展成付立叶级数 并会将定义在上和 0 1 的函 数展成正弦或余弦付立叶级数 三 重点与难点 重点 无穷级数收敛和发散的概念 正项级数的比值审敛法 把函数展开为幂 级数的 间接法 以及收敛区间的求法 定义在上的函数展成傅氏级数 的方法 难点 正项级数比值审敛法的证明 函数展成幂级数的直接法和余项的估计 微分方程 一 教学内容 微分方程的基本概念 可分高变量的微分方程 齐次方程 一阶线性微分方程 高 阶线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数非齐次线性微分方程 可降 阶的高阶微分方程 其中 基本概念 微分方程的定义 解 通解与特解 基本理论 齐次与非齐次线性微分方程解的结构 基本方法 解一阶微分方程的分离变量法 解二阶常系数齐次线性微分方程的 特 征根法 以及二阶常系数非齐次线性微分方程特解的 待定系数法 二 教学要求 l 了解微分方程 解 通解 初始条件 特解等基本概念 2 会识别下列几种一阶微分方程 变量可分离的方程 齐次方程 一阶线性方程 伯努利方程和全微分方程 3 熟练掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法 4 会解齐次方程和伯努利方程 并借此知道用变量代换求解方程的思路 能解较简 单的全微分方程 5 会用降阶法解下列方程 6 了解二阶线性微分方程解的结构 7 熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法 特征根法 并知道高阶常系数 齐次线性微分方程的解法 8 掌握自由项形如的二阶常系数非 齐次线性微分方程的特解的求法 待定系数法 人 9 知道常数变易法解非齐次一阶 二阶微分方程的步骤 10 会用微分方程解一些简单的几何和物理问题 三 重点与难点 重点 微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程和一阶线性微分方程的解 法 二阶常系数线性微分方程的解法 难点 线性微分方程解的理论 二阶常系数非齐次线性微分方程估计特解的方 法 常数变易法 三 学时分配表 序号 内容 讲授习题课小计 1 空间解析几何与向量代数 12 2 14 2 多元函数微分法及其应用 14 4 18 3 重积 分 12 4 16 4 曲线积分