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2015届安师大附中、马鞍山二中统一考试试卷数学试题(理科)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. 全集,集合,那么集合( )a. b. c. d.2已知数列满足,则的前10项和等于( )a.b. c. d. 3已知实数满足约束条件,则的最大值等于 ()a9 b12 c27 d364用数学归纳法证明:“,在验证n1时,左端计算所得的项为()a1 b c d5非零向量,若向量,则的最大值为( )a b c d以上均不对6若在区间上有极值点,则实数的取值范围是( )a b c d 7已知为三条不同的直线,和是两个不同的平面,且.下列命题中正确的是( ) a.若与是异面直线,则与都相交 b.若不垂直于,则与一定不垂直 c若,则 d若则8设为正实数,则“”是“”成立的() a充分不必要条件 b必要不充分条件 c既不充分也不必要条件 d充要条件9 的外接圆的圆心为,半径为,且,则向量在方向上的投影为 ( )a. b. c. d. 10设等差数列满足:,公差若当且仅当时,数列的前项和取得最大值,则首项的取值范围是( )abcd二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填写在答题纸相应位置上)11已知下图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为_。22正视图侧视图俯视图12若存在实数满足,则实数的取值范围是_. 13已知函数(其中,)的部分图象如下图所示,如果对函数g(x)的图像进行如下变化:横坐标扩大为原来的2倍,纵坐标不变,也可得到f(x)函数的图像,则函数g(x)的解析式是_.14已知首项为正数的等差数列中,,则当取最大值时,数列的公差= 15函数的定义域为,若且时总有,则称为单函数,例如:函数是单函数下列命题:函数是单函数;指数函数是单函数;若为单函数,且,则;在定义域上具有单调性的函数一定是单函数;若为单函数,则函数在定义域上具有单调性。其中的真命题是_(写出所有真命题的编号)三、解答题(本大题共6小题,共75分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)16(本小题满分12分)已知分别在射线(不含端点)上运动,在中,角、所对的边分别是、 (1)若、依次成等差数列,且公差为2求的值; (2)若,试用表示的周长,16题图并求周长的最大值 17(本小题满分12分)已知数列满足,.猜想数列的单调性,并证明你的结论18(本小题满分12分)在多面体中, 平面, 为的中点.(1)求证:平面;(2)若,求二面角的正切 值的大小.来源:学18题图19(本小题满分13分)已知等差数列的公差为,首项为正数,将数列的前项抽去其中一项后,剩下三项按原来顺序恰为等比数列的前3项, (1)求数列的通项公式与前项和; (2)是否存在三个不等正整数,使成等差数列且成等比数列.20(本小题满分13分)如图,某工厂生产的一种无盖纸筒为圆锥形,现一客户订制该圆锥纸筒,并要求该圆锥纸筒的容积为立方分米设圆锥纸筒底面半径为r分米,高为h分米(1)求出r与h满足的关系式;(2)工厂要求制作该纸筒的材料最省,求最省时的值20题图21(本小题满分13分)已知函数. (1)求的单调区间; (2)已知数列的通项公式为, 求证:(为自然对数的底数); (3)若,且对任意恒成立,求的最大值。2015届安师大附中、马鞍山二中统一考试试卷 数学试题(理科)答案一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. 全集,集合,那么集合( a )a. b. c. d.2已知数列满足,则的前10项和等于( c )a.b. c. d. 3已知实数满足约束条件,则的最大值等于 (b)a9 b12 c27 d364用数学归纳法证明:“,在验证n1时,左端计算所得的项为( c)a1 b c d5非零向量,若向量,则的最大值为( b )a b c d以上均不对6若在区间上有极值点,则实数的取值范围是( d )a b c d7已知为三条不同的直线,和是两个不同的平面,且.下列命题中正确的是( c ) a.若与是异面直线,则与都相交 b.若不垂直于,则与一定不垂直 c若,则 d若则8设为正实数,则“”是“”成立的(d) a充分不必要条件 b必要不充分条件 c既不充分也不必要条件 d充要条件9 的外接圆的圆心为,半径为,且,则向量在方向上的投影为 ( a )a. b. c. d. 10设等差数列满足:,公差若当且仅当时,数列的前项和取得最大值,则首项的取值范围是( b )abcd二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填写在答题纸相应位置上)11已知下图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为_。22正视图侧视图俯视图12若存在实数满足,则实数的取值范围是_. 13已知函数(其中,)的部分图象如下图所示,如果对函数g(x)的图像进行如下变化:横坐标扩大为原来的2倍,纵坐标不变,也可得到f(x)函数的图像,则函数g(x)的解析式是.14已知首项为正数的等差数列中,,则当取最大值时,数列的公差= -3 15函数的定义域为,若且时总有,则称为单函数,例如:函数是单函数下列命题:函数是单函数;指数函数是单函数;若为单函数,且,则;在定义域上具有单调性的函数一定是单函数;若为单函数,则函数在定义域上具有单调性。其中的真命题是_(写出所有真命题的编号)三、解答题(本大题共6小题,共75分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)16(本小题满分12分)已知分别在射线(不含端点)上运动,在中,角、所对的边分别是、 (1)若、依次成等差数列,且公差为2求的值; (2)若,试用表示的周长,16题图并求周长的最大值 解:(1)、成等差,且公差为2,、. 又, , (4分)恒等变形得 ,解得或.又,. (6分)(2)在中, ,. (8分)的周长 , (10分)又,, 当即时,取得最大值 (12分)17(本小题满分12分)已知数列满足,.猜想数列的单调性,并证明你的结论解:由及,得,由猜想:数列是递减数列 (4分)下面用数学归纳法证明:(1)当时,已证命题成立(2)假设当时命题成立,即,易知,那么 = = =即也就是说,当时命题也成立结合(1)和(2)知命题成立 (12分)18(本小题满分12分)在多面体中, 平面, 为的中点.(1)求证:平面;(2)若,求二面角的正切 值的大小.来源:学18题图证明:()取中点,连接.因为是的中点,所以是的中位线,则,所以, (2分)则四边形是平行四边形,所以,故平面. (4分)()过点作垂直的延长线于点,因为平面,所以,则平面,过作,垂足为,连接,易证平面,所以,则是二面角的平面角. (7分)设,则,在中,所以. (10分)又因为,所以,则 (12分)19(本小题满分13分)已知等差数列的公差为,首项为正数,将数列的前项抽去其中一项后,剩下三项按原来顺序恰为等比数列的前3项,(1)求数列的通项公式与前项和; (2)是否存在三个不等正整数,使成等差数列且成等比数列.解:(1)设前4项为 则或 或或 (3分) (6分)(2) (9分)但(12分)等号不成立故不存在三个不等正整数,使成等差数列且成等比数列. (13分)20(本小题满分13分)如图,某工厂生产的一种无盖纸筒为圆锥形,现一客户订制该圆锥纸筒,并要求该圆锥纸筒的容积为立方分米设圆锥纸筒底面半径为r分米,高为h分米(1)求出r与h满足的关系式;(2)工厂要求制作该纸筒的材料最省,求最省时的值20题图解:(1)设圆锥纸筒的容积为,则, 由该圆锥纸筒的容积为,则,即, 故r与h满足的关系式为; (4分) (2)工厂要求制作该纸筒的材料最省,即所用材料的面积最小,即要该圆锥的侧面积最小, 设该纸筒的侧面积为,则,其中为圆锥的母线长,且,所以( ), (7分) 设 ( ), 由,解得 , 当时,;当时,; 因此,时取得极小值,且是最小值,此时亦最小;(11分)由得,所以最省时的值为 (13分)21(本小题满分13分)已知函数.(1)求的单调区间;(2)已知数列的通项公式为,求证:(为自然对数的底数);(3)若,且对任意恒成立
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