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高等数学A教学大纲课程编号：060101,060103 开课院系：应用科学学院数力系课程类别：数自计必 适用专业：全校课内总学时：172 学分：19实验学时： 课内上机学时： 先修课程： 执笔： 审阅：张志刚一、 课程教学目的高等数学课程是理工科学生必修的一门基础课，通过该课程学习，使学生掌握一元微积分，多元微积分及级数和微分方程的一些知识，为学生学习后继课程打下一个必要的教学基础，也为学生进一步的深造做好必要的准备。二、 课程教学基本要求1课程重点：1.1函数的概念和几种特性1.2极限的概念性质及求法1.3确定无穷小量阶的方法1.4函数连续性的判别及连续函数的性质1.5导数概念、可导与连续之间的关系1.6导数和微分运算1.7中值定理与导数运用1.8求不定积分的基本方法和主要公式1.9定积分的概念、性质及计算方法1.10定积分的应用1.11向量代数1.12平面与直线1.13曲面与曲线1.14多元函数微分方法及其应用1.15重积分及其应用1.16两类曲线积分及格林公式1.17两类曲面积分，高斯公式，斯托克斯公式1.18常数项级数1.19幂级数1.20傅立叶级数1.21常微分方程的基本概念及一阶微分方程1.22几类特殊的高阶微分方程1.23常系数的线性微分方程2课程难点：2.1无穷小阶的确定2.2函数连续性的判别2.3复合函数、隐函数、参数方程所确定的函数的一二阶导数2.4微分中值定理和泰勒公式的应用2.5不等式的证明2.6各种函数不定积分的求法2.7关于变上限的定积分2.8定积分证明法2.9多元函数求偏导2.10方向导数和梯度2.11重积分的计算及应用2.12格林公式、高斯公式的应用2.13 旋度和散度2.14数项级数的收敛性的判别方法2.15幂级数的求和与函数展开成幂级数2.16各种微分方程的求解方法3能力培养要求：通过突出“三基”（基本概念、基本理论和基本技能）来培养学生的数学素质，以提高学生分析问题和解决问题的能力。通过加强基础、加强应用、加强现代内容的渗透、加强与计算机运用的结合，来培养现代化建设的人才，以提高学生的建模和创新能力。三、 课程教学内容与学时 课堂教学（96学时+108学时）1 函数、极限、连续(16学时)1.1 理解函数的概念，掌握函数的表示方法1.2 了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性1.3 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念1.4掌握基本初等函数的性质及其图形1.5会建立简单应用问题中的函数关系式1.6理解极限的概念，理解函数左、右极限的概念以及极限存在与左右极限之间的关系1.7掌握极限的性质及四则运算法则1.8掌握极限存在的两个法则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法1.9理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限1.10理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型1.11了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最值定理和介值定理），并会应用这些性质。2 一元函数微分学 （26学时）2.1 理解导数和微分的概念，理解导数和微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性和连续性之间的关系。2.2 熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导不数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变形，会求函数的微分，知道微分在近似计算中的应用。2.3理解高阶导数的概念，会求解函数的n阶导数2.4会求分段函数的一、二阶导数2.5会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数2.6理解并会用罗尔定理，拉格朗日中值定理和泰勒定理2.7了解并会用柯西中值定理2.8理解函数的极值概念，熟练掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用2.9会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点，会求函数图形的渐近线，会描绘函数的图形2.10熟练掌握用洛比达法则求未定式极限的方法 2.11知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径，会求两曲线的交角3. 一元函数微积分学 （28学时）3.1理解原函数概念，理解不定积分和定积分的概念3.2熟练掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法和分部积分法3.3会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分3.4理解变上限定积分定义的函数及其求导性质，熟练掌握牛顿?莱布尼兹公式3.5知道广义积分的概念并会计算广义积分3.6熟练掌握用定积分表达和计算一些几何量和物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力做功、引力及函数的平均值）4.向量代数和空间解析几何 （18学时）4.1了解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示4.2熟练掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），了解两个向量平行、垂直及三个向量共面的条件4.3掌握单位向量、方向数、方向余弦、向量的坐标表达式，以及用坐标表达式进行向量运算的方法4.4熟练掌握平面方程和直线方程及其求法，知道平面束方程，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题4.5理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程4.6了解空间曲线的参数方程和一般方程4.7了解空间曲面在坐标平面上的投影，并会求其方程5.多元函数微分学 (26学时)5.1理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义5.2知道二元函数的极限与连续性的概念，了解有界闭区域上连续函数的性质5.3理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，知道全微分形式的不变性，知道全微分在近似计算中的应用5.4理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法5.5熟练掌握多元复合函数偏导数的求法5.6掌握隐函数（包括由方程组确定的隐函数）偏导数的求法5.7理解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程5.8理解多元函数极值和条件极值的概念，知道二元函数泰勒公式，掌握多元函数极值存在的必要条件和充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘法求条件极值，会求简单多元函数的最值，并会解决一些简单的应用问题6.多元函数积分学 （38学时）6.1理解二重积分和三重积分的概念，了解重积分的性质6.2熟练掌握二重积分（直角坐标、极坐标）和三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）的计算方法，知道二重积分的一般换元法6.3理解含参变量积分的概念，了解含参变量积分的连续性，可导性的条件，6.4理解计算两类曲线积分的概念，熟练掌握两类曲线积分的方法。6.5熟练掌握格林公式并会用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数6.6了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系6.7熟练掌握计算两类曲面积分的方法，理解高斯公式，知道斯托克斯公式，知道沿任意闭曲面的积分为零与曲线积分与路径无关的条件。6.8知道散度和旋度的概念，并会计算6.9会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量及物理量（平面图形的面积、体积，曲面面积，弧长，质量，重心，转动惯量，引力，功及流量等）7.无穷级数 （28学时）7.1理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件7.2熟练掌握几何级数与p级数的收敛与发散的条件7.3熟练掌握正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法7.4掌握交错级数的莱布尼兹定理7.5了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，了解绝对收敛和条件收敛的关系7.6了解任意项级数的收敛域及和函数的概念7.7熟练掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法7.8知道幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区间的一些和函数，并会由此求出某些函数项级数的和7.9熟练掌握 ， 和 的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数7.10知道幂级数在近似计算上的简单应用，了解函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质7.11了解傅立叶级数的概念和函数展开为傅立叶级数的狄利克雷定理，会将定义在- , 上的函数展开为傅立叶级数，会将定义在0, 上的函数展开为正弦级数和余弦级数，会写出傅立叶级数的和函数的表达式，知道傅立叶级数的复数形式8.常微分方程 （24学时）8.1了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念8.2熟练掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法8.3掌握齐次方程、贝努利方程和全微分方程的解法，会用简单的变量代换解某些微分方程8.4会用降阶法解下列方程： 8.5理解线性微分方程解的性质及解的构造定理8.6熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程，知道常数变易法8.7会求自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性方程的特解和通解8.8会用微分方程解决一些简单的应用问题8.9了解微分方程的幂级数解法，会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组四、 教材与参考书教材1. 同济大学应用数学系编，高等数学上册，高等教育出版社，2002年，第五版2同济大学应用数学系编，高等数学下册，高等教育出版社，2002年，第五版参考书1、 James Stewart,Calculus,高等教育出版社，2004年，第一版2、 华东师大数学系编，数学分析，1996年，第六次印刷。3、 Zhien Ma,Miansen Wang,Fundamentals of advanced mathematics,高等教育出版社五、 作业习题A习题B1-14, 6(7-9)1-15, 7，11,14(5-6),16(4-5)1-18，10，13（4-5），17，201-231-31-46，86, 71-31-42，45(书上)1-51-61（7-14）1(5-6), 2（3- 4），4（2-3）1-51-62，34(4-5)1-71-842-31-71-834-51-91-102，52，4-51-91-103- 41，3总14，9-11总13，82-19，14-162-16，7（单），10，132-22-36（双），7（双），8（双）3，4，8（2，4）2-22-39，10，11（双）1，72-43-4，8(3-4),9-102-42，7，112-53，52-52，4总25-6，8，10-11，13总23，7，123-17-8，10-11，14-153-14，6，9，123-23-31(双)，3-43-4，103-21(单)3-44（3-5），9-10，12-143-45，8，133-53，5，7，11，14-153-52，4，93-63-72,54,6,83-77总34-5,8,14,17,20总310,11,18-194-11(15-21)4-12, 34-22（21-40）4-214-3单数题4-4双数题总4双数题5-16-85-12（1），35-22，3，5，9，11-125-265-35-41（11-20），4-6，9-102，35-35-4111(双数)6-23，6-7，156-25，10，186-220，23，25，286-224，26，306-33，5，8，116-34，10，12总54- 5, 6, 8 - 11总63，6，8，97-111，13，15，17，197-19，10，187-21，4，6，9-107-22，5，127-33，7，87-34，5，9-107-43，5，67-42，87-52-3，5, 87-54, 97-64，7-8，11，147-63，5，13，16总75，7，9，11，13，15，18-19总78，12，14，218-15（2，4，6），7，88-14, 6（1，3，5），98-23，6，88-21，4，98-32，48-31高等数学B教学大纲课程编号： 060102,060104 开课院系：应用科学学院数力系课程类别： 数自计必 适用专业：化学，生物技术，管理课内总学时：146 学分：16实验学时： 课内上机学时： 先修课程： 执笔： 赵向奎 审阅：许三星，郑连存一、课程教学目的本课程是为化学，生物技术，管理专业，在本科一年级开设的一门重要的数学基础课。通过本课程的学习，使学生掌握高等数学的基本知识，基础理论及运算技能，为学习其他课程提供必要的数学工具。二、课程教学基本要求1课程重点： 本课程的重点是培养学生正确理解和运用基本概念与基本理论、熟练掌握高等数学中的基本方法。通过大量习题，加强学生基本技能的训练，使学生提高分析问题和解决问题的能力。 2课程难点：基本概念和基本理论的理解与运用。3能力培养要求：培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，以及熟练运算能力和综合运用所学知识去分析和解决实际问题的能力。三、课程教学内容与学时 课堂教学（148学时）1第一章 函数与极限（14学时）1函数 2 数列的极限3 函数的极限4 无穷小与无穷大5 极限运算法则6 极限存在准则 两个重要极限 7 无穷小的比较8 函数的连续性9 闭区间上连续函数的性质理解函数的概念，会做函数符号运算并会建立简单应用问题中的函数关系式。了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。掌握基本初等函数的性质及图形。理解极限的概念。理解函数的左极限、右极限概念及函数极限存在与左、右极限之间的关系。掌握极限的性质及四则运算法则。理解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限。掌握用两个重要极限求极限的方法。理解无穷小、无穷大及阶的概念，掌握无穷小的比较方法，会用无穷小求极限。理解函数连续的概念，会判别函数间断点的类型。了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质(有界性定理、最大最小值定理、介值定理和零点定理)，并会应用这些性质。2第二章 导数与微分（16学时）1导数概念2 函数的和、积、商的求导法则3 反函数和复合函数的求导法则4 高阶导数5 隐函数的导数以及由参数方程所确定的函数的导数6 函数的微分7 微分的应用理解导数和微分的概念，理解导数和微分的关系，理解导数和微分的几何意义。会求平面曲线的切线和法线方程。了解导数的物理意义。理解函数的可导性与连续性之间的关系。掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则。掌握反函数、隐函数的求导方法。掌握基本初等函数的求导公式。理解微分的概念以及一阶微分的不变性。掌握微分的四则运算法则。掌握微分在近似计算中的应用。理解高阶导数的概念，会求函数的一阶、二阶导数，并会求简单函数的n阶导数。3第三章 中值定理与导数的应用（14学时）1中值定理2 洛必达法则73 函数的单调性和曲线的凸凹性4 函数的极值与最大、最小值5 函数图形的描绘6 曲率理解罗尔定理、拉格朗日，柯西微分中值定理，并掌握定理的应用。熟练掌握罗必塔法则求极限的方法。理解函数极值的概念，掌握用导数判别函数单调性，凹凸性和求极值的方法。会描绘函数的图形。熟练掌握最大、最小值问题。4第四章 不定积分（14学时）1不定积分的概念与性质2 换元积分法3 分部积分法4 有理函数的不定积分5 积分表的使用理解原函数、不定积分的概念。掌握不定积分的性质。熟练掌握不定积分的基本公式。掌握不定积分的换元法和分部积分法。会求有理函数、三角函数有理式及简单的无理函数的积分。5第五章 定积分及其应用（16学时）1定积分的概念与性质2 微积分基本公式3 定积分的换元法与分部积分法4 定积分在几何上的应用5 定积分在物理上的应用6 反常积分理解定积分的概念、性质。了解变上限积分的概念。学会求变上限积分的导数。理解原函数存在定理，熟练掌握牛顿一莱布尼兹公式。掌握定积分的换元法和分部积分法。了解元素法，会用元素法处理面积、体积、弧长以及物理应用问题。了解反常积分的概念，并会计算反常积分。6第六章 微分方程（16学时）1微分方程的基本概念 2 可分离变量的微分方程3 齐次方程4 一阶线性微分方程5 可降阶的高阶微分方程6 二阶常系数齐次线性微分方程 7 二阶常系数齐次非线性微分方程 了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念。掌握可分离变量的微分方程、齐次方程、一阶线性微分方程、可降阶的高阶微分方程的解法。理解二阶线性微分方程解的性质及解的结构定理。掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。会求自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。7第七章 向量代数与空间解析几何（14学时）1向量代数及其线性运算 2 点的坐标与向量的坐标3 向量的方向余弦及投影4 数量积、向量积、混合积5 平面及其方程6 空间直线及方程7 旋转曲面和二次曲面 8 空间曲线及方程理解空间直角坐标系、向量的概念。掌握向量的运算，了解两个向量平行、垂直的条件。掌握单位向量、方向数、方向余弦、向量的坐标表达式，以及用坐标表达式进行运算的方法。掌握平面方程和直线方程的求法。理解曲面方程的概念，了解空间曲线的方程。了解空间曲线的投影并会求其方程。8第八章 多元函数微分法及应用（16学时）1多元函数的基本概念 2 偏导数3 全微分4 多元复合函数的求导法则5 隐函数的求导公式6 多元函数微分法的几何应用举例7 多元函数的极值及求法 了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义。了解二元函数的极限，了解多元函数的偏导数及全微分的概念，掌握其求法。了解多元函数极值和条件极值的概念并掌握求法，会求解一些简单的应用问题。9第九章 重积分及曲线积分（14学时）1二重积分的概念与性质 2 二重积分的计算方法3 二重积分的应用4 三重积分5 对弧长的曲线积分6 对坐标的曲线积分7 格林公式及应用 理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，会计算二重积分、三重积分。了解两类曲线积分的概念及性质，并会计算简单的曲线积分。10第十章 无穷级数（12学时）1常数项级数的概念与性质 2 常数项级数的审敛法3 幂级数4 函数展开成幂级数5 幂级数在近似计算中的应用了解级数的收敛与发散、收敛级数的和概念。掌握级数的性质和收敛的必要条件。掌握几何级数及P级数的收敛条件。掌握正向级数的审敛法。了解任意项级数条件收敛与绝对收敛的概念。掌握交错项级数的判别法。会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域。会求一些简单幂级数的和函数，掌握一些幂级数的麦克劳林展开式，并会利用这些展开式将其它函数展开成幂级数。四、 教材与参考书教材1同济大学数学教研室，高等数学(本科少学时类型)，高等教育出版社，2001，第2版参考书1同济大学数学教研室，高等数学(本科少学时类型)，高等教育出版社，1978，第1版2同济大学数学教研室，高等数学，高等教育出版社，20003萧树铁、居余马，高等数学，清华大学出版社，20004 赵文玲，付夕联，徐峰，孙锦萍主编，高等数学，科学出版社，2005.5章栋恩，金元怀主编，高等数学，中国标准出版社，1997，第一版五、 作业高等数学C教学大纲课程编号： 060173 开课院系：数力系课程类别： 必修 适用专业：行政，社工课内总学时： 68 学分：8实验学时： 0 课内上机学时：