09级高等数学教学大纲.doc

高等数学教学大纲一、课程的性质和任务高等数学在文科专业的教学计划中是一门重要的基础理论课。通过该门课程的学习，能使学生较系统地获得微分学、积分学、无穷级数与微分方程的基本知识与基本运算技能，培养抽象思维与逻辑思维能力，初步掌握解决实际问题的数学分析方法，并为学习后继课程和进一步学好工程数学奠定必要的数学基础。二、课程的基本要求1.理解函数与极限、微分学与积分学、无穷级数与微分方程中的基本概念和基本定理；2.熟练掌握各部分中的基本公式、运算法则与计算方法；3.利用所学的知识，会分析与解决一些简单的实际问题。三、课程内容（一）函数、极限、连续函数：有关实数的概念，函数的定义与三要素。函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性。反函数，复合函数，基本初等函数、初等函数。建立函数关系。极限：数列极限，收敛数列的性质。数列极限的四则运算。数列极限的存在法则。函数极限的定义和性质，左右极限。函数极限的四则运算法则，数列极限的存在法则，两个重要极限。无穷小与无穷大，无穷小的性质，无穷小的比较，无穷小与函数极限的关系。连续：函数连续的定义，间断点。连续函数的和、差、积、商的连续性；反函数、复合函数的连续性；基本初等函数、初等函数的连续性。闭区间上连续函数的最大值最小值定理、介值定理、零点定理。（二）一元函数微分学导数：导数的定义、几何意义。可导与连续的关系。函数的和、差、积、商的导数。反函数、复合函数的导数。基本初等函数的求导公式。高阶导数。隐函数的导数。由参数方程确定的函数的导数。微分：微分的定义、几何意义。微分的运算法则。中值定理和导数应用：罗尔定理，拉格朗日定理，柯西定理，泰勒定理。罗必达法则。函数的单调性判别，曲线的凹凸性与拐点。（三）一元函数积分学不定积分：原函数和不定积分的定义。不定积分的性质，基本积分公式。两类换元积分法，分部积分法。有理函数、三解函数有理式的积分举例。定积分及其应用：定积分的定义。定积分存在定理，定积分的几何意义，定积分的性质。变上限积分及其求导法则。牛顿莱布尼兹公式。定积分的换元积分法和分部积分法。（四）多元函数微分学多元函数：多元函数的定义。平面点集的有关概念。二元函数的几何表示。二元函数的极限的定义。二重极限的定义。二元函数连续的定义。二元函数的性质。偏导数：偏导数的定义。偏导数的几何意义。偏导数的计算。二元函数可导与连续的关系。高阶偏导数。全微分：全微分的定义与计算。多元复合函数的求导法则：多元复合函数的求导法则。全微分形式的不变性。隐函数的求导。多元函数的极值：多元函数的极值的定义。多元函数取极值的条件及求法。多元函数的最大值与最小值。（五）无穷级数数项级数：无穷级数及其收敛与发散的定义。级数收敛的必要条件。级数的基本性质。等比级数，调和级数，P级数。正项级数的比较判别法、比值判别法。交错级数，莱布尼兹判别法。绝对收敛与条件收敛。幂级数：幂级数的定义及收敛性。幂级数收敛的判别定理。幂级数的收敛半径和收敛区间。幂级数的四则运算和连续性、逐项积分与逐项微分。泰勒公式，泰勒级数。函数展开成幂级数的唯一性。几个初等函数的幂级数展开式。（六）常微分方程微分方程：微分方程的一般概念，阶，解，通解，初始条件，特解。一阶微分方程：可分离变量的微分方程，齐次微分方程，一阶线性微分方程。二阶微分方程：线性微分方程解的结构，二阶常系数齐次线性微分方程，二阶常系数非齐次线性微分方程。四、课程内容的重点、难点、深广度以及面授建议（一）函数、极限、连续重点：函数的概念，极限的概念，无穷小。极限的四则运算法则。函数的连续性。闭区间上连续函数的性质。难点：极限的概念。函数在一点连续的概念。深广度说明：1.正确理解函数、极限、无穷小、函数的连续性等基本概念及它们之间的联系。掌握极限运算和无穷小的有关定理并能熟练运用。了解基本初等函数、初等函数的连续性，反函数和复合函数的连续性。掌握闭区间上连续函数的最大值最小值定理、介值定理、零点存在定理。2.对两个重要极限只要求会用。3.闭区间上连续函数的性质只作几何说明。面授建议：1.在中学数学的基础上对函数的概念、几个基本初等函数进行总结，不必太细讲。2.函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性应该重点讲授。3.重点讲解极限的定义，无穷小，无穷小的比较，无穷小与函数极限的关系，两个重要极限，函数在一点连续的定义和间断点。（二）一元函数微分学重点：导数的定义与几何意义。初等函数导数求法。复合函数的导数。微分的定义与几何意义。拉格朗日定理的应用，罗必达法则，函数的单调性判别，极值求法，最值及其应用问题。难点：复合函数求导数。拉格朗日定理的应用。最大值、最小值及其应用问题。深广度说明：1.正确理解导数的概念，微分的概念，函数可导与连续的关系，函数可导与可微的关系。2.说明初等函数导数仍然是初等函数，要求通过练习使学生准确熟练地求出初等函数的导数。3.求函数的导数是一项基本功，要多作练习。4.正确理解罗尔定理，拉格朗日定理，柯西定理，泰勒定理，弄清它们之间的关系，证明可仅作几何说明。5.对罗必达法则只给出内容，不必证明。6.对函数的单调性和极值的有关定理应先予以几何说明，然后再分析证明，对曲线的凹凸性和拐点的判定法只给予几何说明。7.函数作图主要要求清楚利用导数作图的方法。8.在讲解最大值、最小值应用问题时，可以根据实际问题的具体情况，直接判断驻点处的函数值是最大值或最小值，不必作繁难的题目。面授建议：1.重点讲授导数的概念，导数的几何意义，函数可导与连续的关系，复合函数的导数，微分的概念，函数可微与可导的关系，拉格朗日定理，罗必达法则，最大值、最小值及其应用问题。2.基本初等函数的求导公式面授时可以证两个。函数的和、差、积、商的求导公式面授时可证一个。要求讲清楚按导数的定义来推导这些公式的方法。解得简单些。（三）一元函数积分学重点：原函数和不定积分的概念。基本积分公式，两类换元积分法，分部积分法。定积分的概念。定积分的中值定理。牛顿莱布尼兹公式。定积分的几何应用。难点：两类换元积分法。定积分定义的理解。变上限积分及其求导法则。定积分的几何应用。深广度说明：1.正确理解原函数和不定积分的概念，通过练习能够熟练运用两类换元积分法和分部积分法，并能牢记一些常用的基本积分公式，会用积分表。2.本单元练习着重在于积分方法的基本训练。3.对于化有理真分式为部分分式的问题只给出结论，不作证明，但作题方法要讲清楚。4.正确理解定积分的定义和定积分与不定积分的关系（牛顿莱布尼兹公式）5.定积分的性质只证明几个，不必全证。6.正确运用定积分的换元积分法。7.定积分应用可以讲解得简单些。面授建议：1.重点讲授原函数和不定积分的概念，基本积分公式，两类换元积分法，分部积分法，定积分的定义和定积分与不定积分的关系（牛顿莱布尼兹公式），定积分的中值定理，定积分作为变上限的函数及其求导法则，定积分的几何应用。2.在讲定积分的换元积分法时，应法注意讲清条件和换退。3.对有理函数的积分，定积分的分部积分法等内容可以讲解得简单些。（四）多元函数微分学重点：偏导数的概念，全微分的概念。多元复合函数的求导法则。难点：全微分的概念。多元复合函数的求导法则。深广度说明：1.正确理解多元函数的偏导数的概念和全微分的概念，正确运用多元复合函数的求导法则。2.二元函数极值的充分条件只作叙述不作证明。3.隐函数的求导、最大值最小值的应用问题等不要求作繁难的习题。4.在讲解最大值、最小值应用问题时，可以根据实际问题的具体情况和极值的必要条件直接判断。面授建议：1.重点讲授偏导数与全微分的概念，多元复合函数的求导法则。2.对平面点集的有关概念，隐函数的求导公式，多元函数的极值等内容可以讲解得简单些。（五）无穷级数重点：无穷级数的收敛与发散的定义。正项级数的比较判别法、比值判别法。幂级数的收敛半径和收敛区间。泰勒级数。函数展开成幂级数。难点：常数项级数的审敛法。间接法展开成幂级数。深广度说明：1.正确理解无穷级数及其收敛与发散的概念，级数收敛的必要条件和泰勒公式、泰勒级数。掌握等比级数，P级数等几个常用级数的敛散性和正项级数的比较判别法、比值判别法。能求幂级数的收敛半径和收敛区间，能将简单函数展开成幂级数。牢记五个基本幂级数展开式。2.常数项级数的基本性质中除收敛的必要条件外，其余性质不必完全证明。3.函数展开成幂级数只要求掌握方法，不必作过多的习题。面授建议：1.重点讲授无穷级数及收敛与发散的概念，正项级数的比较判别法，比值判别法，幂级数的收敛半径和收敛区间，泰勒公式，泰勒级数，函数展开成幂级数。2.对级数收敛的必要条件，等比级数，P级数，交错级数，绝对收敛和条件收敛等内容可以讲解得简单些。（六）常微分方程重点：微分方程的基本概念。可分离变量的微分方程和一阶线性微分方程的解法。二阶常系数线性微分方程。难点：二阶常系数非齐次线性微分方程特解的求法。深广度说明：1.正确理解微分方程的概念，熟练掌握可分离变量的微分方程、齐次方程、一阶线性微分方程、二阶常系数