高考数学大一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第11讲 函数与方程优选课件.ppt

函数 导数及其应用 第二章 第11讲函数与方程 栏目导航 1 函数的零点 1 函数零点的定义对于函数y f x 我们把使 成立的实数x叫做函数y f x 的零点 2 三个等价关系方程f x 0有实数根 函数y f x 的图象与 有交点 函数y f x 有 f x 0 x轴 零点 3 函数零点的判定 零点存在性定理 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有 那么函数y f x 在区间 内有零点 即存在c a b 使得 这个 也就是f x 0的根 f a f b 0 a b f c 0 c 2 二次函数y ax2 bx c a 0 的零点 两个 一个 3 二分法 1 二分法的定义对于在区间 a b 上连续不断且 的函数y f x 通过不断地把函数f x 的零点所在的区间 使区间的两个端点逐步逼近 进而得到零点近似值的方法叫做二分法 f a f b 0 一分为二 零点 2 用二分法求函数f x 零点近似值的步骤第一步 确定区间 a b 验证 给定精确度 第二步 求区间 a b 的中点x1 第三步 计算f x1 若 则x1就是函数的零点 若 则令b x1 此时零点x0 a x1 若 则令a x1 此时零点x0 x1 b 第四步 判断是否达到精确度 即若 a b 则得到零点近似值a 或b 否则重复第二 第三 第四步 f a f b 0 f x1 0 f a f x1 0 f x1 f b 0 4 有关函数零点的结论 1 若连续不断的函数f x 在定义域上是单调函数 则f x 至多有一个零点 2 连续不断的函数 其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号 3 连续不断的函数图象通过零点时 函数值可能变号 也可能不变号 1 思维辨析 在括号内打 或 1 函数f x x2 1的零点是 1 0 和 1 0 2 函数y f x 在区间 a b 内有零点 函数图象连续不断 则一定有f a f b 0 3 二次函数y ax2 bx c a 0 在b2 4ac 0时没有零点 4 若函数f x 在 a b 上单调且f a f b 0 则函数f x 在 a b 上有且只有一个零点 解析 1 错误 函数f x x2 1的零点为 1和1 而并非其与x轴的交点 1 0 与 1 0 2 错误 函数f x x2 x在 1 2 上有两个零点 但f 1 f 2 0 3 正确 当b2 4ac 0时 二次函数图象与x轴无交点 从而二次函数没有零点 4 正确 由已知条件 数形结合得f x 与x轴在区间 a b 上有且仅有一个交点 故正确 c 3 函数f x 2x x3 2在区间 0 1 内的零点个数是 a 0b 1c 2d 3解析函数f x 2x x3 2显然是一个单调递增且是连续的函数 同时f 0 f 1 1 1 1 0 由函数零点存在性定理可知 函数在 0 1 内必存在唯一一个零点 故选b b 4 根据表格中的数据 可以判定方程ex x 2 0的一个根所在的区间为 c a 1 0 b 0 1 c 1 2 d 2 3 解析设函数f x ex x 2 从表中可以看出f 1 f 2 0 因此方程ex x 2 0的一个根所在的区间为 1 2 解析由f 2 f 3 0 可知x0 2 3 2 3 判断函数零点所在区间的方法 1 当能直接求出零点时 就直接求出进行判断 2 当不能直接求出时 可根据零点存在性定理判断 3 当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断 一函数零点所在区间的判断 c a 二函数零点个数的判断 函数零点个数的判断方法 1 解方程法 令f x 0 如果能求出解 则有几个解就有几个零点 2 零点存在性定理法 利用定理不仅要求函数在区间 a b 上是连续不断的曲线 且f a f b 0 还必须结合函数的图象与性质 如单调性 奇偶性 周期性 对称性 才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质 3 数形结合法 转化为两个函数的图象的交点个数问题 先画出两个函数的图象 看其交点的个数 其中交点的横坐标有几个不同的值 就有几个不同的零点 例2 1 若定义在r上的偶函数f x 满足f x 2 f x 且x 0 1 时 f x x 则方程f x log3 x 的零点个数是 a 2b 3c 4d 多于4 2 2018 江苏镇江月考 方程ex lnx 1 其中e为自然对数的底数 解的个数为 c 1 解析 1 由f x 2 f x 知函数f x 是周期为2的周期函数 且是偶函数 在同一坐标系中画出y log3 x 和y f x x 3 3 的图象 如图所示 由图可知零点个数为4 三函数零点的应用 函数零点应用问题的常见类型及解题策略 1 已知函数零点求参数 根据函数零点或方程的根求解参数应分三步 判断函数的单调性 利用零点存在性定理 得到参数所满足的不等式 解不等式 即得参数的取值范围 2 已知函数零点个数求参数 解答此类问题常利用数形结合法 3 借助函数零点比较大小 要比较f a 与f b 的大小 通常先比较f a f b 与0的大小 b a 解析因为f 1 ln2 20 所以f x 在 1 2 上必存在零点 故选b b 2 函数f x 2x log0 5x 1的零点个数为 a 1b 2c 3d 4 b a 4 若直线y 2a与函数y ax 1 a 0 且a 1 的图象有两个公共点 则实数a的取值范围是 解析当a 1时 作出函数y ax 1 的图象如图 1 此时y 2a 2 只有一个交点 不成立 当0 a 1时 函数y ax 1 的图象如图 2 错因分析 涉及方程根的有关问题时不能熟练应用函数图象来解决问题 易错点不会借助图象解决方程根的范围或根的个数问题 解析令f x t 则方程为t2 bt c 0 设t1 t2为它的两个根 则f x t1和f x t2共有5个不同实