考研数学 线性代数 内部习题讲义 金典.pdf

You Stupid Cunt cunnilingus penis vagina 1 第一章 行列式 第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 1 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 1 381 141 102 2 2 bac acb cba 3 3 222 111 cba cba 4 4 yxyx xyxy yxyx 解 1 解 1 381 141 102 811 1 1 03 4 2 1 4 18 1 2310 416824 4 2 2 bac acb cba cccaaabbbcbabacacb 333 3cbaabc 3 3 222 111 cba cba 222222 cbbaacabcabc accbba 4 4 yxyx xyxy yxyx yxyxyxyxyyxx 333 xyxy 333223 33 3xyxxyyxyyxxy You Stupid Cunt cunnilingus penis vagina 2 2 33 yx 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆序数 1 1 2 3 4 2 4 1 3 2 3 3 4 2 1 4 2 4 1 3 5 1 3 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆序数 1 1 2 3 4 2 4 1 3 2 3 3 4 2 1 4 2 4 1 3 5 1 3 12 n 2 4 2 4 2 n 6 1 3 6 1 3 12 n 2 n 22 n 2 解 1 逆序数为 0 2 逆序数为 4 4 1 4 3 4 2 3 2 3 逆序数为 5 3 2 3 1 4 2 4 1 2 1 4 逆序数为 3 2 1 4 1 4 3 5 逆序数为 2 解 1 逆序数为 0 2 逆序数为 4 4 1 4 3 4 2 3 2 3 逆序数为 5 3 2 3 1 4 2 4 1 2 1 4 逆序数为 3 2 1 4 1 4 3 5 逆序数为 2 1 nn 3 2 1 个 5 2 5 4 2 个 7 2 7 4 7 6 3 个 3 2 1 个 5 2 5 4 2 个 7 2 7 4 7 6 3 个 12 n 2 2 12 n 4 4 12 n 6 6 12 n 22 n 1 n 个 6 逆序数为 个 6 逆序数为 1 nn 3 2 1 个 5 2 5 4 2 个 3 2 1 个 5 2 5 4 2 个 12 n 2 2 12 n 4 4 12 n 6 6 12 n 22 n 1 n个 4 2 1 个 6 2 6 4 2 个 个 4 2 1 个 6 2 6 4 2 个 2 n 2 2 2 n 4 4 2 n 6 6 2 n 22 n 1 n个 3 写出四阶行列式中含有因子 个 3 写出四阶行列式中含有因子 2311a a的项 解 由定义知 四阶行列式的一般项为 的项 解 由定义知 四阶行列式的一般项为 4321 4321 1 pppp t aaaa 其中 其中t为为 4321 pppp的逆序数 由于的逆序数 由于3 1 21 pp 已固定 已固定 4321 pppp只能形如只能形如13 即 1324 或 1342 对应的 即 1324 或 1342 对应的t分别为 分别为 You Stupid Cunt cunnilingus penis vagina 3 10100 或或22000 44322311 aaaa 和和 42342311 aaaa为所求 4 计算下列各行列式 1 为所求 4 计算下列各行列式 1 7110 02510 2021 4214 2 2 2605 2321 1213 1412 3 3 efcfbf decdbd aeacab 4 4 d c b a 100 110 011 001 解 1 解 1 7110 02510 2021 4214 34 32 7cc cc 0100 142310 2021 10214 34 1 14310 221 1014 14310 221 1014 32 1 1 32 cc cc 141717 200 1099 0 2 0 2 2605 2321 1213 1412 24 cc 2605 0321 2213 0412 You Stupid Cunt cunnilingus penis vagina 4 24 rr 0412 0321 2213 0412 14 rr 0000 0321 2213 0412 0 3 0 3 efcfbf decdbd aeacab ecb ecb ecb adf 111 111 111 adfbce abcdef4 4 4 d c b a 100 110 011 001 21 arr d c b aab 100 110 011 010 12 1 1 d c aab 10 11 01 23 dcc 010 11 1 cdc adaab 23 1 1 cd adab 11 1 1 adcdababcd 5 证明 1 5 证明 1 111 22 22 bbaa baba 3 ba 2 2 bzaybyaxbxaz byaxbxazbzay bxazbzaybyax yxz xzy zyx ba 33 You Stupid Cunt cunnilingus penis vagina 5 3 3 0 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 2222 2222 2222 2222 dddd cccc bbbb aaaa 4 4 4444 2222 1111 dcba dcba dcba dbcbdacaba dcbadc 5 5 1221 1000 0010 0001 axaaaa x x x nnn nn nn axaxax 1 1 1 证明 1 证明 1 001 222 2222 13 12 ababa abaaba cc cc 左边左边 abab abaab 22 1 222 13 21 aba abab 右边右边 3 ba 2 2 bzaybyaxz byaxbxazy bxazbzayx a 分开 按第一列 左边 分开 按第一列 左边 bzaybyaxx byaxbxazz bxazbzayy b 00 2 ybyaxz xbxazy zbzayx a 分别再分分别再分 bzayyx byaxxz bxazzy b You Stupid Cunt cunnilingus penis vagina 6 zyx yxz xzy b yxz xzy zyx a 33 分别再分分别再分 右边右边 233 1 yxz xzy zyx b yxz xzy zyx a 3 3 2222 2222 2222 2222 3 2 12 3 2 12 3 2 12 3 2 12 ddddd ccccc bbbbb aaaaa 左边左边 964412 964412 964412 964412 2 2 2 2 14 13 12 dddd cccc bbbb aaaa cc cc cc 9644 9644 9644 9644 2 2 2 2 2 dddd cccc bbbb aaaa 分成二项 按第二列 分成二项 按第二列 96441 96441 96441 96441 2 2 2 2 ddd ccc bbb aaa 94 94 94 94 9 4 6 4 2 2 2 2 24 23 24 23 dd cc bb aa cc cc cc cc 第二项 第一项 第二项 第一项 0 641 641 641 641 2 2 2 2 ddd ccc bbb aaa 4 4 4444444 2222222 0001 adacaba adacaba adacaba 左边左边 222222222 222222 addaccabb adacab adacab You Stupid Cunt cunnilingus penis vagina 7 111 222 addaccabb adacabadacab adacab 001 22222 abbaddabbaccabb bdbcab bdbcadacab 11 2222 bdabbddbcabbcc dbcbdacaba dcbadc 5 用数学归纳法证明 5 用数学归纳法证明 1 2 21 2 12 2 命题成立时当命题成立时当axax axa x Dn 假设对于 假设对于 1 n阶行列式命题成立 即 阶行列式命题成立 即 12 2 1 1 1 nn nn n axaxaxD 1列展开按第则列展开按第则 n D 111 001 0001 1 1 1 x x axDD n nnn 右边右边 nn axD 1 所以 对于 所以 对于n阶行列式命题成立 6 设 阶行列式命题成立 6 设n阶行列式阶行列式 det ij aD 把 把D上下翻转 或逆时针旋转上下翻转 或逆时针旋转 90 或依 副对角线翻转 依次得 或依 副对角线翻转 依次得 n nnn aa aa D 111 1 1 111 1 2 n nnn aa aa D 111 1 3 aa aa D n nnn 证明 证明DDDDD nn 3 2 1 21 1 证明 证明 det ij aD You Stupid Cunt cunnilingus penis vagina 8 n nnn n n n nnn aa aa aa aa aa D 221 1 111 1 111 1 1 1 n nnn n n nn aa aa aa aa 331 1 221 111 21 1 1 nnn n nn aa aa 1 111 21 1 1 1 DD nn nn 2 1 1 2 21 1 1 同理可证 同理可证 nnn n nn aa aa D 1 111 2 1 2 1 DD nn T nn 2 1 2 1 1 1 DDDDD nn nnnnnn 1 2 1 2 1 2 2 1 3 1 1 1 1 7 计算下列各行列式 7 计算下列各行列式 阶行列式为 阶行列式为kDk 1 1 a a Dn 1 1 其中对角线上元素都是 其中对角线上元素都是a 未写出的元素都是 0 2 未写出的元素都是 0 2 xaa axa aax Dn You Stupid Cunt cunnilingus penis vagina 9 3 3 111 1 1 1 111 1 naaa naaa naaa D nnn nnn n 提示 利用范德蒙德行列式的结果 4 提示 利用范德蒙德行列式的结果 4 nn nn n dc dc ba ba D 0 00 0 11 11 2 5 5 jiaaD ijijn 其中 其中 det 6 6 n n a a a D 111 111 111 2 1 0 21 n aaa 其中其中 解 1 解 1 a a a a a Dn 0001 0000 0000 0000 1000 按最后一行展开按最后一行展开 You Stupid Cunt cunnilingus penis vagina 10 1 1 1 0000 0000 0000 10000 1 nn n a a a 1 1 2 1 nn n a a a 再按第一行展开再按第一行展开 n nn nn a a a 2 2 1 1 1 2 nn aa 1 22 aa n 2 将第一行乘 2 将第一行乘 1 分别加到其余各行 得 分别加到其余各行 得 axxa axxa axxa aaax Dn 000 00 00 再将各列都加到第一列上 得 再将各列都加到第一列上 得 ax ax ax aaaanx Dn 0000 000 000 1 1 1 axanx n 3 从第 3 从第1 n行开始 第行开始 第1 n行经过行经过n次相邻对换 换到第 1 行 第次相邻对换 换到第 1 行 第n 行经 行经 1 n次对换换到第 2 行 经次对换换到第 2 行 经 2 1 1 1 nn nn 次行 交换 得 次行 交换 得 You Stupid Cunt cunnilingus penis vagina 11 nnn nnn nn n naaa naaa naaa D 1 1 1 111 1 111 2 1 1 此行列式为范德蒙德行列式 此行列式为范德蒙德行列式 11 2 1 1 1 1 1 jin nn n jaiaD 11 2 1 1 2 1 11 2 1 1 1 1 jin nn nn jin nn jiji 11 jin ji 4 4 nn nn n dc dc ba ba D 0 0 0 11 11 2 n nn nn n d dc dc ba ba a 0 0 0 0 00 00 11 11 11 11 展开 按第一行 展开 按第一行 You Stupid Cunt cunnilingus penis vagina 12 00 00 00 1 11 11 11 11 12 c dc dc ba ba b n nn nn n n 2222 nnnnnn DcbDda都按最后一行展开都按最后一行展开 由此得递推公式 由此得递推公式 222 nnnnnn DcbdaD 即 即 n i iiiin DcbdaD 2 22 而 而 1111 11 11 2 cbda dc ba D 得 得 n i iiiin cbdaD 1 2 5 5 jiaij 04321 40123 31012 22101 13210 det nnnn n n n n aD ijn You Stupid Cunt cunnilingus penis vagina 13 32 21 rr rr 04321 11111 11111 11111 11111 nnnn 14 1312 cc cccc 15242321 02221 00221 00021 00001 nnnnn 21 2 1 1 nn n 6 6 n n a a a D 111 111 111 2 1 43 3221 cc cccc nn nn aa aa a aa aa a 10000 1000 10000 1000 1000 10000 11 4 33 22 1 展开 由下往上 按最后一列 展开 由下往上 按最后一列 1 121 nn aaaa n nn a aa a aa aa a 00000 0000 00000 0000 0000 00000 22 4 33 22 1 You Stupid Cunt cunnilingus penis vagina 14 n nn a aa aa aa a 0000 000 000 000 0000 11 33 22 1 n nn a aa a aa aa 0000 000 0000 000 000 11 4 33 22 nnnnnn aaaaaaaaaaaa 322321121 1 1 1 1 21 n i i n a aaa 8 用克莱姆法则解下列方程组 8 用克莱姆法则解下列方程组 01123 2532 242 5 1 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx xxxx 15 065 065 065 165 2 54 543 432 321 21 xx xxx xxx xxx xx You Stupid Cunt cunnilingus penis vagina 15 解 1 解 1 11213 5132 4121 1111 D 8120 7350 3210 1111 14500 81300 3210 1111 142 142000 54100 3210 1111 11210 5132 4122 1115 1 D 11210 5132 9050 1115 11210 233130 9050 9151 233130 9050 11210 9151 1202300 461000 11210 9151 142000 38100 11210 9151 142 11203 5122 4121 1151 2 D 81150 73120 3270 1151 313900 112300 2310 1151 284 284000 19100 2310 1151 You Stupid Cunt cunnilingus penis vagina 16 426 11013 5232 4221 1511 3 D 142 0213 2132 2121 5111 4 D 1 3 2 1 4 4 3 3 2 2 1 1 D D x D D x D D x D D x 2 2 51000 65100 06510 00651 00065 D 展开 按最后一行 展开 按最后一行 6100 0510 0651 0065 5 DDD 65 DDD 6 65 5DD 3019 DD 1146566551141965 11的余子式 中为行列式的余子式中为行列式aDD 11的余子式 中为的余子式中为aDD 类推类推DD 51001 65100 06510 00650 00061 1 D 展开 按第一列 展开 按第一列 6510 0651 0065 0006 D 4 6 D 4 60319 D1507 You Stupid Cunt cunnilingus penis vagina 17 51010 65100 06500 00601 00015 2 D 展开 按第二列 展开 按第二列 5100 6510 0650 0061 6510 0650 0061 0005 3 65 510 651 065 1145108065 51100 65000 06010 00051 00165 3 D 展开 按第三列 展开 按第三列 5100 6500