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第二章 数学及物理量第二章 數學及物理量數學是描述物理的重要工具，我們先對一些常用到的數學做一簡要的複習與介紹。各式各樣的數學符號都是人為規定出來的，用來化簡原本複雜且繁瑣的表述。而一般的語言文字又未嘗不是這樣，孔子就用個仁字就表達了罄書難盡的意涵！*請準備計算機，第二節要用；簡單的推估地球半徑，第四節。第一節 數與物理量在數學上，由具體到抽象數可分為：自然數、整數、有理數、無理數、實數、虛數、複數等。虛數為負數的開根號，而複數則規定成由一個實數部份加上另一個虛數部分所組成。虛數、複數似乎不是真實的數，卻可以用來表達物理量。物理量為數甚多、繁簡各異，有些物理量只要單純一個數就可以描述，這樣的物理量歸屬於純量類；另外更複雜的有向量與張量類。*舉每一種數的實例（如1/4為有理數）。第二節 函數數也可分為常數與變數。函數用來描述變數與變數間的關係。函數-定義變數與變數之間對應關係的一種數學表述。例如變數f與變數x成正比：；，a為比率常數。進一步：1. y(x)=2x2+4x、 2.y(t)=2cos(3t)、 3.V(x,y)=2x+3xy2+5. *試畫出1.2.3.函數圖形。* x(t)=3t2+5t+6，t=2時x等於多少？x=0時t為多少？* y(t)=2cos(3t)，t=2時y等於多少？* V(x,y)=2x+3xy2+5，在(0,0)、(0,3)、(3,0)、(2,2)的V值為多少？常用的函數：1.多項式 、2.三角函數有cos、sin、tan.等，為角度變數。3.指數、對數定義。若底數a=e則一般簡寫為ln，（e=2.71828182845904523.）第三節 向量及向量的運算向量為一具有大小及方向的量，一開始是用一帶箭頭的線段表示之。箭頭方向為向量的方向、線段的長度則代表向量的大小。運算是什麼？運算是兩個量互相關連對應出另一個量的定義。在向量方面，常用的運算則包括：向量相加減、純量乘向量、向量和向量的純量積、向量和向量的向量積等4大類。向量和向量的純量積運算，是指兩個向量關連對應出一純量。兩向量關連對應出一純量，。應用：一力量作用於物體，發生一位置移動而得到一作功的效果，即可用兩向量關連得到一純量的運算來描述。向量和向量的向量積運算：。這運算定義用到實際物理世界如：用力來推門轉動產生的轉動效果（力矩）。 d h第四節 基礎物理量 長度、時間與質量 r地球有多大？存在了多久？質量是多少？ 簡單的測地球半徑方法d2+r2=(r+h)2 d2=2rh+h2 d22rh r2tan2=2rh r =2h/tan2h為身高1.7m， 在t11.1s時 ( r5220km*請模仿此例，設法自己實際估算地球半徑。物理量的構成要素為單位與量值，要表示一個物理量時，單位必不可少，沒有單位的量值是沒有物理意義的。長度：公尺(m)，1792訂為1/4地球週長的1/10000000。由定義可推出RE6370公里。 微米（紅血球10微米）、次微米、納米、0.1納米為原子尺度。 月亮半徑1.74千公里、太陽半徑696千公里。地月距382千公里、地日距、距銀河中心、距觀測到的宇宙邊緣。 時間：秒(s) 質子壽命、宇宙年齡、一天。質量：公斤(kg) 已知的宇宙、我們銀河、太陽、地球、月亮。 其他基礎量 電流A、溫度K、物質數mol、照度cd 第五節 導出物理量 A面積，單位m2、V體積，單位m3、v速度，單位m/s、a加速度，單位m/s2、 F力的單位N=kg m/s2、E能量單位J=N m、P功率單位W=J/s、q電荷單位C=A s、. 練習：1. 論語子路有聞，未之能行，唯恐又聞對我們的學習有何啟示？2. 說明論語中深則厲，淺則揭的意義。3. 操作型定義的特色是什麼？4. 三貂角位於東經122、北緯25，綠島的白沙尾位於東經121.5、北緯22.65問兩地日出相差多久？5. 中秋節看到月亮在西邊45度角位置，則觀測時間大概是什麼時候？6. 農曆23日，晚上12點看到月亮的位置方向角度為何？7. (a)在地球的 看北極星，會看到北極星的位置一直是在頭頂上，在地球的 則不論什麼時間都看不到北極星。(b)大約在農曆每月的 日，晚上9點鐘時看月亮就在頭頂上方。又在農曆每月的 日，月亮正在頭頂上時，太陽已在東方將升起。8. 為什麼說在平面上，過直線以外的一點，存在唯一一條直線與原來直線平行為一個基本假設，而不是實際驗證的事實？9. 我們的思維、言談乃至行為背後都有一些假設存在，請舉一個個人經驗上的例子。 要做實驗了實驗是將符號層次的知識落實到身心經驗上的重要過程。實驗課的目的不只是在驗證一些已知的物理知識罷了，它的重點還在獲得探索知識的經驗、培養探索未知的能力。求真是科學的根本特質，關於實驗，求真的要求就是清楚地瞭解自己在做什麼，如實的紀錄下觀測的結果，不但要忠於實驗數據，更要養成保留原始資料的好習慣，避免傳抄的錯誤。在做實驗記錄時，發現筆誤時不宜擦掉或撕去，應該打個叉，註記筆誤或看錯即可。取得實驗數據只完成實驗的一半，緊接著就是數據分析，以取得有用的信息。 實驗記錄：目視判斷長度12345678910平均值： 真實值：樣本群標準偏差： 母數群標準偏差：第一次時間長判斷12345678910平均值： 真實值：樣本群標準偏差： 母數群標準偏差：第二次時間長判斷12345678910平均值： 真實值：樣本群標準偏差： 母數群標準偏差：其它： 第幾次123456 s我的頭髮直徑10元硬幣直徑機率實驗：同時投10個骰子出現1的骰子數第幾次12345678910出現1的骰子數 實驗數據分析量測誤差由於技術或本質上的不確定性Uncertainty，凡測量就必然伴隨誤差error，所以如何估計誤差、降低誤差就成為實驗裡的重要工作了。誤差是什麼？誤差即測量值（或測量的導出值）與 true value之間的差異。誤差：實驗觀察值（或理論計算值）與真實值之差別。誤差來源可分：系統性的誤差，成因為實驗設備本身的限制，或外界環境的變化。不當誤差指人為操作不當所造成的誤差，例如儀器忘了歸零、校準.等。隨機誤差，事件的具機率性所造成。諸如放射性原子的衰變，投骰子的預測。降低誤差的方法：1.改進實驗技術。2.重覆地實驗。正確度accuracyand 精度precision，前者評估實驗之正確性，衡量測量結果與true value的接近程度，後者評估實驗之精密度與可重覆性。想得到好的實驗數據，除了改進實驗設備、增加實驗次數外，善於數據分析也很重要。數據分析的目的，就是從有限的實驗資料中，攫取最大量的有用的訊息。所謂有用訊息是指，the best estimates of theoretical parameter。母數群Parent population、樣本數群Sample population母數群是想像的、先驗的，想像相同條件下，重複無限多次測量所形成數據群。樣本數群是真實的、經驗的，在相同條件下，重複有限多次測量所形成數據群。parent distribution描述母數群的分佈；sample distribution描述樣本數群的分佈。1.Parent parameter =(experimental parameter)2.。平均數Mean、最大可能值most probable valueSample mean ；Parent mean 。標準偏差standard deviation 或s， （母數群的標準偏差） （樣本群的標準偏差）*為何用N-1？變異數variance 或 （母數群變異數） ，（樣本群變異數）(一般而言，mean代表在本實驗對true value的最佳估計。變異數及標準差用來描述本實驗數據對true value估計時的不準度。各種機率分佈二項分佈binomial distribution 事件每次成功機率p，n個事件發生，其中有x個事件成功，n-x個失敗的機率為： 、 、 帕松分佈Poisson distribution 為，在n很大，p很小時的近似，標準差為。 高斯分佈Gaussian distribution ，又稱normal error distribution.關於Binomial Distribution 二項分佈的推導預備知識：排列與組合之各種取法。1. 從n個相異元素中，不重複的取出x個來排列的排列數：；2. 從n個相異元素中，可重複的取出x個