广东省肇庆市高三数学上学期10月质检试卷 理（含解析）.doc

广东省肇庆市2015届高三上学期10月质检数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知全集u=1，2，3，4，5，6，m=1，3，5，则um=（）a2，4，6b1，3，5c1，2，3，4，5，6d2（5分）设条件p：a0；条件q：a2+a0，那么p是q的（）a充分条件b必要条件c充要条件d非充分非必要条件3（5分）=（）a1+2ib1+2ic12id12i4（5分）设，是非零向量，已知命题p：若=0，=0，则=0；命题q：若，则，则下列命题中真命题是（）apqbpqc（p）（q）dp（q）5（5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）a34b55c78d896（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积是（）a12b4c3d127（5分）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（）a232b252c472d4848（5分）设，为非零向量，|=2|，两组向量，和，均由2个和2个排列而成，若+所有可能取值中的最小值为4|2，则与的夹角为（）abcd0二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分.9（5分）已知=（1，2），=（4，k），若，则k=10（5分）若复数（a23a+2）+（a2）i是纯虚数，则实数a的值为11（5分）（x2）6的展开式中x2的系数为12（5分）不等式|x2|+|x+1|5为13（5分）若a0，b0，且+=，则a3+b3的最小值为（几何证明选讲）14（5分）如图，点p为圆o的弦ab上的一点，连接po，过点p作pcop，且pc交圆o于c若ap=4，pc=2，则pb=三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.15（12分）为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x（单位：小时）与当天投篮命中率y之间的关系：时间x12345命中率y0.40.50.60.60.4求：（1）小李这5天的平均投篮命中率（2）用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率16（12分）如图，已知ab是o的直径，ab=2，c是o上一点，且ac=bc，pa=，pc=2，pb=，e是pc的中点，f是pb的中点（1）求证：ef平面abc；（2）求证：ef平面pac；（3）求pc与平面abc所成角的大小17（14分）某商店根据以往某种玩具的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立（1）估计日销售量的众数；（2）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；（3）用x表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量x的分布列，期望e（x）及方差d（x）18（14分）广东省某家电企业根据市场调查分析，决定调整新产品生产方案，准备每周（按40个工时计算）生产空调机、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生产20台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：家电名称空调机彩电冰箱工时产值/千元432问每周应生产空调机、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少？（以千元为单位）19（14分）如图，四棱柱abcda1b1c1d1中，a1a底面abcd，且a1a=4梯形abcd的面积为6，且adbc，ad=2bc，cd=2平面a1dce与b1b交于点e（1）证明：eca1d；（2）求三棱锥ca1ab的体积；（3）求二面角a1dca的大小20（14分）设a为常数，且a1（1）解关于x的不等式（a2a1）x1；（2）解关于x的不等式组广东省肇庆市2015届高三上学期10月质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知全集u=1，2，3，4，5，6，m=1，3，5，则um=（）a2，4，6b1，3，5c1，2，3，4，5，6d考点：补集及其运算 专题：计算题分析：找出全集u中不属于m的元素，即可求出a的补集解答：解：全集u=1，2，3，4，5，6，a=1，3，5，um=2，4，6故选a点评：此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键2（5分）设条件p：a0；条件q：a2+a0，那么p是q的（）a充分条件b必要条件c充要条件d非充分非必要条件考点：充要条件 专题：简易逻辑分析：由a2+a0，得a0，a1，根据充分必要条件的定义可判断答案解答：解：a2+a0，a0，a1，可判断：若p：a0；则条件q：a2+a0成立根据充分必要条件的定义可判断：p是q的充分不必要条件，故选：a点评：本题考查了解不等式，以及充分必要条件的定义可判断，属于容易题3（5分）=（）a1+2ib1+2ic12id12i考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的运算法则即可得出解答：解：原式=12i，故选：d点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题4（5分）设，是非零向量，已知命题p：若=0，=0，则=0；命题q：若，则，则下列命题中真命题是（）apqbpqc（p）（q）dp（q）考点：复合命题的真假；平行向量与共线向量 专题：简易逻辑分析：根据向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论解答：解：若=0，=0，则=，即（）=0，则=0不一定成立，故命题p为假命题，若，则平行，故命题q为真命题，则pq，为真命题，pq，（p）（q），p（q）都为假命题，故选：a点评：本题主要考查复合命题之间的判断，利用向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假是解决本题的关键5（5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）a34b55c78d89考点：程序框图；程序框图的三种基本逻辑结构的应用 专题：算法和程序框图分析：写出前几次循环的结果，不满足判断框中的条件，退出循环，输出z的值解答：解：第一次循环得z=2，x=1，y=2；第二次循环得z=3，x=2，y=3；第三次循环得z=5，x=3，y=5；第四次循环得z=8，x=5，y=8；第五次循环得z=13，x=8，y=13；第六次循环得z=21，x=13，y=21；第七次循环得z=34，x=21，y=34；第八次循环得z=55，x=34，y=55；退出循环，输出55，故选b点评：本题考查程序框图中的循环结构，常用的方法是写出前几次循环的结果找规律，属于一道基础题6（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积是（）a12b4c3d12考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题分析：三视图复原几何体是四棱锥，扩展为正方体，它的体对角线，就是球的直径，求出半径，解出球的表面积解答：解：由三视图知该几何体为四棱锥，记作sabcd，其中sa面abcd面abcd为正方形，将此四棱锥还原为正方体，易知正方体的体对角线即为外接球直径，所以2r=s球=4r2=4=3答案：c点评：本题考查三视图求表面积，几何体的外接球问题，是基础题7（5分）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（）a232b252c472d484考点：排列、组合及简单计数问题 专题：排列组合分析：不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有种取法，两种红色卡片，共有种取法，由此可得结论解答：解：由题意，不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有种取法，两种红色卡片，共有种取法，故所求的取法共有=5601672=472故选c点评：本题考查组合知识，考查排除法求解计数问题，属于中档题8（5分）设，为非零向量，|=2|，两组向量，和，均由2个和2个排列而成，若+所有可能取值中的最小值为4|2，则与的夹角为（）abcd0考点：数量积表示两个向量的夹角 专题：综合题；平面向量及应用分析：两组向量，和，均由2个和2个排列而成，结合其数量积组合情况，即可得出结论解答：解：由题意，设与的夹角为，分类讨论可得+=+=10|2，不满足+=+=5|2+4|2cos，不满足；+=4=8|2cos=4|2，满足题意，此时cos=与的夹角为故选：b点评：本题考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分.9（5分）已知=（1，2），=（4，k），若，则k=2考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系 专题：平面向量及应用分析：由垂直关系可得数量积为0，解方程可得k值解答：解：=（1，2），=（4，k），由可得=4+2k=0，解得k=2故答案为：2点评：本题考查平面向量的垂直关系与数量积，属基础题10（5分）若复数（a23a+2）+（a2）i是纯虚数，则实数a的值为1考点：复数的基本概念 专题：数系的扩充和复数分析：利用纯虚数的定义即可得出解答：解：复数（a23a+2）+（a2）i是纯虚数，a23a+2=0，a20，解得a=1故答案为：1点评：本题考查了纯虚数的定义，属于基础题11（5分）（x2）6的展开式中x2的系数为240考点：二项式定理的应用 专题：二项式定理分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得展开式中x2的系数解答：解：（x2）6的展开式的通项公式为 tr+1=（2）rx6r，令6r=2，求得r=4，可得（x2）6的展开式中x2的系数为 （2）4=240，故答案为：240点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题12（5分）不等式|x2|+|x+1|5为2，3考点：绝对值不等式的解法 专题：不等式的解法及应用分析：由条件根据绝对值的意义求得|x2|+|x+1|5的解集解答：解：|x2|+|x+1|表示数轴上的x对应点到2、1对应点的距离之和，而2和3对应点到2、1对应点的距离之和正好等于5，故|x2|+|x+1|5的解集为2，3，故答案为：2，3点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，属于基础题13（5分）若a0，b0，且+=，则a3+b3的最小值为考点：基本不等式 专题：不等式的解法及应用分析：由条件利用基本不等式求得 ab4，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值解答：解：a0，b0，且且+=，=+2，ab2，当且仅当a=b=时取等号a3+b3 22=4，当且仅当a=b=时取等号，a3+b3的最小值为4故答案为：点评：本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题（几何证明选讲）14（5分）如图，点p为圆o的弦ab上的一点，连接po，过点p作pcop，且pc交圆o于c若ap=4，pc=2，则pb=1考点：与圆有关的比例线段 专题：计算题；立体几何分析：根据题设中的已知条件，利用相交弦定理，直接求解解答：解：延长cp，交圆于d，则ab是o的一条弦，点p为ab上一点，pcop，pc交o于c，pc=pd，利用相交弦定理可得appb=pcpd=pc2，ap=4，pc=2，pb=1故答案为：1点评：本题考查与圆有关的比例线段的应用，是基础题解题时要认真审题，注意相交弦定理的合理运用三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.15（12分）为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x（单位：小时）与当天投篮命中率y之间的关系：时间x12345命中率y0.40.50.60.60.4求：（1）小李这5天的平均投篮命中率（2）用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率考点：线性回归方程 专题：计算题；概率与统计分析：（1）利用提供的命中率，可求李这5天的平均投篮命中率；（2）先求出线性回归方程，再令x=6，即可预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率解答：解：（1）小李这5天的平均投篮命中率（3分）（2）（5分），（9分）（10分）线性回归方程，（11分）则当x=6时，y=0.53预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为0.53（12分）点评：本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于基础题16（12分）如图，已知ab是o的直径，ab=2，c是o上一点，且ac=bc，pa=，pc=2，pb=，e是pc的中点，f是pb的中点（1）求证：ef平面abc；（2）求证：ef平面pac；（3）求pc与平面abc所成角的大小考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角 专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角分析：（1）由中位线定理，再由线面平行的判定定理，即可得证；（2）先运用直径所对的角为直角，及勾股定理的逆定理，再由线面垂直的判定定理，证得bc平面pac，由于efbc，即可得证；（3）运用线面垂直的判定定理，证得pa平面abc，即pca为pc与平面abc所成角，通过解直角三角形，即可得到解答：证明：（1）在pbc中，e是pc的中点，f是pb的中点，所以efbc又bc平面abc，ef平面abc，所以ef平面abc（2）因为ab是o的直径，所以bcac在rtabc中，ab=2，ac=bc，所以因为在pcb中，所以pb2=pc2+bc2，所以bcpc又pcac=c，所以bc平面pac由（1）知efbc，所以ef平面pac（3）解：由（2）知bc平面pac，pa平面pac，所以pabc因为在pac中，所以pc2=pa2+ac2，所以paac又acbc=c，所以pa平面abc所以pca为pc与平面abc所成角在rtpac中，所以pca=，即pc与平面abc所成角的大小为点评：本题考查空间直线与平面的位置关系：平行和垂直，考查线面平行的判定和线面垂直的判定和性质及运用，考查空间直线和平面所成的角的求法，属于中档题17（14分）某商店根据以往某种玩具的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立（1）估计日销售量的众数；（2）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；（3）用x表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量x的分布列，期望e（x）及方差d（x）考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 专题：概率与统计分析：（1）直接利用频率分布直方图，估计日销售量的众数即可；（2）求出“日销售量不低于100个”，“日销售量低于50个”的概率，然后求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；（3）推出x的可能值，分别求出x的概率，即可求随机变量x的分布列，利用公式求解期望e（x）及方差d（x）解答：（本小题满分14分）解：（1）依据日销售量的频率分布直方图可得众数为（3分）（2）记事件a1：“日销售量不低于100个”，事件a2：“日销售量低于50个”，事件b：“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”则p（a1）=（0.006+0.004+0.002）50=0.6，（4分）p（a2）=0.00350=0.15，（5分）p（b）=0.60.60.152=0.108（7分）（3）x的可能取值为0，1，2，3，（8分），（9分），（10分），（11分）分布列为x0123p0.0640.2880.4320.216因为xb（3，0.6），所以期望e（x）=30.6=1.8，（12分）方差d（x）=30.6（10.6）=0.72（14分）点评：本题考查频率分布直方图的应用，离散型随机变量的期望与方差，考查分析问题解决问题的能力18（14分）广东省某家电企业根据市场调查分析，决定调整新产品生产方案，准备每周（按40个工时计算）生产空调机、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生产20台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：家电名称空调机彩电冰箱工时产值/千元432问每周应生产空调机、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少？（以千元为单位）考点：简单线性规划的应用 专题：计算题；不等式的解法及应用分析：设每周应生产空调、彩电、冰箱的数量分别为x台、y台、z台，且总产值a=4x+3y+2z建立三元一次方程组，由于每周冰箱至少生产20台即z20，结合生产空调器、彩电、冰箱共120台算出出10x40，利用一次函数的单调性即可求得产值a的最大值，进而可得相应的x、y、z的值解答：解：设每周应生产空调、彩电、冰箱的数量分别为x台、y台、z台，根据题意可得，总产值为a=4x+3y+2zx、y、z满足（x、y、zn*）z=120xy=1602xy消去z，可得y=1203x，进而得到z=2x因此，总产值为a=4x+3y+2z=4x+3（1203x）+4x=360xz=2x20，且y=1203x0x的取值范围为x10，40根据一次函数的单调性，可得a=360x320，350由此可得当x=10，y=90，z=20时，产值a达到最大值为350千元答：生产空调机10台、彩电90台、冰箱20台时，可使产值达最大值，最大产值为350千元点评：本题给出实际应用问题，求工厂生产总值的最大化的问题，着重考查了三元一次方程组的处理、一次函数的单调性和简单线性规划的应用等知识点，属于中档题19（14分）如图，四棱柱abcda1b1c1d1中，a1a底面abcd，且a1a=4梯形abcd的面积为6，且adbc，ad=2bc，cd=2平面a1dce与b1b交于点e（1）证明：eca1d；（2）求三棱锥ca1ab的体积；（3）求二面角a1dca的大小考点：用空间向量求平面间的夹角；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的性质 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）证明be平面aa1dbc平面aa1d，通过bebc=b，be平面bce，bc平面bce，利用平面bce平面ada1，利用平面与平面平行的性质定理证明eca1d（2）求出然后求出棱锥的体积（3）解法一：在adc中，作afcd于f，连接a1f，证明cda1a推出cd面a1af说明a1fa为二面角a1dca的平面角，然后求出二面角a1dca的大小解法二：以d为坐标原点，分别为x轴和z轴正方向建立空间直角坐标系，设cda=，bc=a，求出平面a1dc的一个法向量，平面abcd的一个法向量，通过向量数量积求解二面角a1dca的大小解答：（本小题满分14分）解：（1）证明：因为beaa1，aa1平面aa1d，be平面aa1d，所以be平面aa1d（1分）因为bcad，ad平面aa1d，bc平面aa1d，所以bc平面aa1d（2分）又bebc=b，be平面bce，bc平面bce，所以平面bce平面ada1（3分）又平面a1dce平面bce=ec，平面a1dce平面a1ad=a1d，所以eca1d（4分）（2）解：因为s梯形abcd=6，bcad，ad=2bc，所以（6分）所以（8分）（3）解法一：如图，在adc中，作afcd于f，连接a1f（9分）因为a1a底面abcd，cd底面abcd，所以cda1a又a1aaf=a，所以cd面a1af又a1f面a1af，所以cda1f（10分）所以a1f