高中数学 第1章第2节应用举例素材 新人教A版必修5(1).doc

1.2应用举例问题1：在日常生活和工农业生产中，为了达到某种目的，常常想测得一个点与另一个不可到达的点间的距离或在远处的两个物体之间的距离，这样的想法能实现吗？如何实现呢？问题2：在有关三角形的相关实际题目中，常常涉及到各种角：比如“方位角”、“仰角”、“俯角”等，这些角之间都一样吗？它们如何区分呢？为什么在实际问题中常常出现这些角？答案：问题1：学习过了正、余弦定理后，上述所提的问题是能够实现。有时由于条件所限，需要测量像一个点与河对面一点或船到礁石这类不可到达点的距离时，一般作法是在河这边或主航道上发生一段位移，从两个不同地点测出到这个不能到达点的视角及这段位移的长度，从而通过计算得出答案。从而将问题转化为一个数学问题：已知一个三角形的两角及夹边，要求这个三角形的其中一边，显然只要根据正弦定理，就可以达到目的。例如：当我们想在河这边测出河对面两点之间距离的时候，往往可以这样做：在河这边的两个不同的地点分别测出望河对面两点及另一地点的视角，再结合这两个地点之间的距离，通过通过三次应用正弦定理计算求得河对面两点之间的距离。问题2：在实际生活中，方位也是大家所熟悉的，首先在地图上，东西南北这四个基本方位要能区分开来。“仰角”就是由低处往高处望，相应视线与水平线所成的角；而“俯角”就是由高处往低处看，相应的视线与水平线所成的角。另外，常见的还有其它一些角，对于在具体问题中所出现的新名词，自己应该根据在具体问题中去体会其含义。从而正确地将问题解决。只有这些角能正确地区分开来，才能将问题恰当地解决。因为在实际问题中一个物体相对于另一个物体的位置关系，常常用方位来描述，这也符合人们的习惯，自然就会出现有关一些方位的词语了。而这些角在数学上体现往往又是在三角形中，所以有关三角形的实际问题，经常又会与这些角有关。例1在一次夏令营活动中，同学们在相距10海里的a、b两个小岛上活动结束后，有人提出到隔海相望的未知的c岛上体验生活，为合理安排时间，他们需了解c岛与b岛或a岛的距离.为此他们测得从a岛望c岛和b岛成60的视角，从b岛望c岛和a岛成75的视角，那么b岛和c岛之间的距离是多少海里？解：在中，由题意知，。由正弦定理=，。点评：本题中涉及到“视角”这样一个名词，这个名词的意思对于大家来说并不陌生，根据题意的叙述正确画出示意图来，然后在相应三角形的应用正弦定理就可以达到目的，真正把数学融入实际生活。练习1 江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为450和300，而且两条船与炮台底部连线成300角，（炮台底部与江面平行），求两条船相距多少米？例2 如图1-2-1所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到a处时测得公路南侧远处一山顶d在东偏南的方向上，行驶5 km后到达b处，测得此山顶在东偏南的方向上，仰角为，求此山的高度cd。图1-2-1解：要测出高cd，只要测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长即可。根据已知条件，可以计算出bc的长。在abc中，a=15，c=2515=10，根据正弦定理，=，bc=7.4524（km），cd=bctandbcbctan81047（m）.答：山的高度约为1047米.点评：此类问题主要容易错在角度的具体位置找不对，另外在具体问题中有时可能不知道采用什么定理以及在哪些三角形中应用相应定理去解决问题，这些都要根据具体题目的已知条件去作具体分析。练习2 航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10000m,速度为180km（千米）/h（小时）飞机先看到山顶的俯角为150，经过420s（秒）后又看到山顶的俯角为450，求山顶的海拔高度（取1.4,1.7）例3 在某点b处测得建筑物ae的顶端a的仰角为，沿be方向前进30m，至点c处测得顶端a的仰角为2，再继续前进10m至d点，测得顶端a的仰角为4，求的大小和建筑物ae的高。图1-2-2解法一：如图所示，（用正弦定理求解）由已知可得在acd中， ac=bc=30， ad=dc=10， adc =180-4， = 。 因为 sin4=2sin2cos2cos2=,得 2=30=15，在rtade中，ae=adsin60=15答：所求角为15，建筑物高度为15m解法二：（设方程来求解）设de= x，ae=h 在 rtace中,(10+ x) + h=30 在 rtade中,x+h=(10) 两式相减，得x=5,h=15在 rtace中,tan2=2=30,=15 答：所求角为15，建筑物高度为15m解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为ae=8，由题意，得bac=， cad=2，ac = bc =30m , ad = cd =10m在rtace中，sin2= - 在rtade中，sin4=, - 得 cos2=,2=30,=15，ae=adsin60=15答：所求角为15，建筑物高度为15m。点评：本题中所涉及的角之间的关系要注意把握，有的同学看到是否会想到将其给表示为含的三角式，从而走向误区，导致问题无法解决。练习3 在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市o（如图）的东偏南方向300km的海面p处，并以20km/h的速度向西偏北45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？受到台风的侵袭的时间有多少小时？例4 在中,若，判断此三角形的形状。解：方法1：化角为边由已知可得，即：，由正、余弦定理得：，即：，或；方法2：化边为角，由已知变形得 ，即，即：，又均为不，或即或。因此该三角形是等腰三角形或直角三角形。点评：此类型的问题比较常见，思考方式通常就是两个方向，一是从角的角度去判断；二是从边的角度去判断。有时，两种方法都能达到目的，而有时则只能采用某种办法才能达到目的或者用另外的办法很复杂。在具体问题中注意选择恰当的方式。练习4在中，求证：练习答案：1.如图，a为炮台，b为炮台底部，c、d为两条小船，则 中，由余弦定理得，。2如图 150450300， ab= 180km（千米）/h（小时）420s（秒）= 21000(m ) 在中， 7350山顶的海拔高度10000-7350=2650(米)3设经过t小时台风中心移动到q点时，台风边沿恰经过o城， 由题意可得：op=300，pq=20t，oq=r(t)=60+10t 因为，=-45,所以， 由余弦定理可得：oq2=op2+pq2-2oppq 即 (60+10t)2=3002+(20t)2-230020t 即， 解得,， 答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭，受到台风的侵袭的时间有12小时？4证法一（考虑“角换边”）左边=右边；证法二（考虑“角换边”）左边=右边.达标检测a组 基础过关一、填空题1.如图，一艘船上午9：30在a处得灯塔s在它的北偏东30处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达b处，此时又测得灯塔s在它的北偏东75处，且与它相距8n mile此船的航速是 mile/h第1题 二、解答题abcd 2e2e2某人在塔ab的正东c处，沿着南偏西的方向前进40米到达d处，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为，求塔高. 第2题第3题33333331-3-13如图，为了测量河对岸两点之间的距离，在河岸这边取点，测得，.设在同一平面内，试求之间的距离。（精确到）.4如图1-3-2，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在处获悉后，测出该渔轮在方位角为，距离为的处，并测得渔轮正沿方位角为的方向，以的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以的速度前去营救.求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到，时间精确到）.b组 综合拓展5如图，点a表示一小灵通信号发射的位置（塔高不计），为一条东北走向的公路，技术人员为测试该发射塔信号的覆盖范围，自a点正西方向的b处骑自行车沿公路出发，约经过6分钟，发现小灵通开始有信号，已知：ab=4km，车速10km/h，能否根据以上信息，测算出该塔信号的覆盖半径以及小灵通持续显示信号的时间？参考答案：a组 基础过关一、填空题1 32 mile/h二、解答题2解：依题意画图abcdee 某人在c处，ab为塔高，他沿cd前进，cd=40米，此时，从c到d所测塔的仰角，只有b到cd最短时，仰角才最大，这是因为为定值，要求出塔高ab，须先求be，要求be，须先求bd或bc. 在bdc中，cd=40，. 由正弦定理得， =在中，在，.故所求的塔高为米.3. 图1-3-1解：在中，则.又，由正弦定理，得.在中，则.又，由正弦定理，得.在中，由余弦定理，得，所以 答：两点之间的距离约为.4. 解：设舰艇收到信号后在处靠拢渔轮，则，又，.由余弦定理，得，即.化简，得，解得（负值舍去）.由正弦定理，得，所以，方位角为.答 舰艇应沿着方向角的方向航行，经