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1 第第 11 章函数的极限与连续章函数的极限与连续 11 1 函数 一 函数 1 定义 设x和y是两个变量 D是给定的数集 如果对于每个数Dx 变量y按照一定 的法则 总有一个确定的值与它对应 则称y是x的函数 记作 xfy 数集D叫做这 个函数的定义域 x叫做自变量 y叫做因变量 2 表示法 3 基本初等函数 例 11 1 1 1 Cy 2 0 0 xx xx xy 3 01 00 01 x x x y 例 11 1 2 下列函数是否相同 1 xxgxxflg2 lg 2 答否 2 3 334 1 xxxgxxxf 答是 3 1 1 2 xxgxxf 答否 例 11 1 3 求函数的定义域 1 xx y 1 答0 M 使得对Ix 有Mxf 则称 xf 在区间I上有界 否则 称 xf在区间I上无界 2 函数的单调性 设函数 xf在区间I上有定义 如果Ixx 21 且 21 xx 时 有 21 xfxf 或 2 21 xfxf 则称 xf在区间I上是单调增 或单调减 的 3 函数的奇偶性 设函数 xf的定义域X关于原点对称 即若 xX 则必有 xX 如果 xX 有 xfxf 成立 则称 xf为偶函数 如果 xX 有 xfxf 成立 则 称 xf为奇函数 4 函数的周期性 设函数 xf的定义域是X 如果 常数0 T 使得对 xX 有 TxX 且 xfTxf 恒成立 则称函数 xf是周期函数 使上式成立的最小正数T称为 xf 的周期 例 11 1 4 判断函数的奇偶性 1 2 xx aa y 2 1ln 1 22 xxxy 3 23 2xxy 答 1 偶 2 奇 3 非奇非偶 三 函数的运算 1 四则运算 2 反函数 3 复合函数与初等函数 1 复合函数 设 ufy 定义域为 u D xu 定义域为 x D 值域为 u W 当 u W u D时 称 xfy 为x的复合函数 它是由 ufy 和 xu 复合而成的函数 它的定义域 为 x D 称u为中间变量 2 初等函数 由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算所构成的并用一个式子所表示的函数称 为初等函数 例 11 1 6 设xxxf 0 0 2 xx xx xg 求 xfgxgf 例 11 1 7 设函数 xf的定义域是 且 xf的图形关于直线ax 与bx 对 称 ba M 对于n 有Mxn 则称数列 n x是有界的 4 数列极限的性质 1 若数列 n x是收敛的 则它的极限是唯一的 2 数列 n x是收敛的 则称数列 n x是有界的 5 数列极限的四则运算 设Axn n lim Byn n lim 1 BAyx nn n lim 2 AByx nn n lim 3 0 lim B B A y x n n n 11 3 函数的极限 1 函数极限的定义 1 设函数 xf在区间 a上有定义 A为常数 如果当 x时 函数 xf的 值无限趋近于A 则称当 x时 xf以A为极限 记作Axf x lim 2 设函数 xf在区间 a 上有定义 A为常数 如果当 x时 函数 xf的 值无限趋近于A 则称当 x时 xf以A为极限 记作Axf x lim 3 设函数 xf在区间 aa 0 a上有定义 A为常数 如果当x无限 增大时 函数 xf的值无限趋近于A 则称当 x时 xf以A为极限 记作 Axf x lim 4 定理 Axf x lim的充分必要条件是Axf x lim且Axf x lim 5 当x无限趋近于 0 x x 0 x 时 函数 xf的值无限趋近于A 则称x趋近于 0 x时 函数 xf以A为极限 记作Axf xx lim 0 6 当 0 xx 无限趋近于 0 x x 0 x 时 函数 xf的值无限趋近于A 则称x趋近于 0 x时 函数 xf的右极限为A 记作Axfxf xx lim 0 0 0 8 定 理 Axf xx lim 0 的 充 分 必 要 条 件 是Axfxf xx lim 0 0 0 且 Axfxf xx lim 0 0 0 9 设Axf x lim Bxg x lim i 若BA 则极限点附近有 xgxf ii 极限点附近有 xgxf 则BA 4 2 函数极限的性质 1 如果 limxf存在 则极限值是唯一的 2 如果Axf lim 则 xf在极限点附近是有界的 3 函数极限的运算法则 1 四则运算 2 复合函数的运算法则 设复合函数 xfy 在 0 x的某邻域内 0 x可除外 有定义 如果 0 lim 0 ux xx 00 uxxx 且Auf uu lim 0 则Aufxf uuxx lim lim 00 4 重要极限 1 1 sin lim 0 x x x 2 e x x x 1 1 lim或ex x x 1 0 1 lim 例 11 3 1 设 x x xf 讨论 lim 0 xf x 是否存在 答 不存在 例 11 3 2 设 23 2 4 21 214 2 x x x x xx xf 求 lim 2 xf x 答 7 例 11 3 3 I mm mm nn nn x bxbxbxb axaxaxa 1 1 10 1 1 10 lim L L mn mn b a mn 0 0 0 例 11 3 4 lim 0 xQ xP m n xx 0 0 0 0 0 00 00 0 0 0 xPxQ xPxQ xQ xQ xP 且不定式 且 例 11 3 5 2 13 lim 415 3 20 xx xx x 0 2 13 lim 415 3 12 xx xx x 2 5 22 15 lim 420 3 20 xx xx x 4 两个重要极限 1 1 sin lim 0 x x x 2 e x x x 1 1 lim或ex x x 1 0 1 lim 例 11 3 6 1 x x x tan lim 0 2 2 1cos1 lim 2 0 x x x 5 3 2 111 lim 0 x x x 4 x x x 1ln lim 0 5 x ex x 1 lim 0 6 I 2 2 sinlim n x n n 7 n n n n 1 1 lim 11 4 无穷大量与无穷小量 一 1 定义 1 如果函数 xf当 0 xx 或 x 时的极限为零 则称函数 xf当 0 xx 或 x 时为无穷小量 2 如果函数 xf当 0 xx 或 x 时 xf无限变大 则称函数 xf当 0 xx 或 x 时为无穷大量 记作 limxf 2 无穷大量与无穷小量的关系 在自变量的同一变化过程中 如果函数 xf为无穷大量 则 1 xf 为无穷小量 反之 如果函数 xf为无穷小量且0 xf 则 1 xf 为无穷大量 3 无穷小量与有极限量的关系 limxAxfAxf 其中0 lim x 4 无穷小量与有界量之积为无穷小量 5 无穷小量的比较 设 x时 0 0 xx 1 若0 x x 则称 x时 x 比 x 高阶无穷小 记作 xx 2 若cc x x 是不等于零的常数 则称 x时 x 与 x 同阶无穷小 特别地 当1 c时称 x时 x 与 x 是等价无穷小 记作 x时 x x 当0 x时 xx sin xx tan xx 1ln xxxx 2 1 11 2 1 cos1 2 xex 1 3 若 x x 则称 x时 x 比 x 低阶无穷小 6 等价无穷小替换定理 设 x时 0 0 xx 0 0 11 xx且 x 1 x x 1 x lim 1 1 x x x 存在 则 lim x x x lim 1 1 x x x 例 11 4 1 1 2 3 2 31ln lim 0 x x x 6 2 1 11 lim 2 2 0 x x e ax 3 3 tan 2sin lim 0 x x x 4 21ln 31ln lim x x x 11 5 函数的连续性 1 连续的定义 1 xfy 在点 0 x连续 设 xfy 在点的某邻域有定义 如果 0 limlim 00 00 xfxxfy xx 或 lim 0 0 xfxf xx 则称 xfy 在点 0 x连续 2 左连续 右连续 3 xfy 在 ba内连续 4 xfy 在 ba内连续 2 函数的间断点及分类 3 连续函数的运算法则 1 设 xf xg在 0 x连续 则 xf xg xf xg xg xf 0 0 xg 在 0 x连续 2 复合函数的连续性 设 xgu 在 0 x连续 ufy 在 00 xgu 连续 则复合函数 xgfy 在 0 x连 续 结论 初等函数在其定义区间上是连续的 4 连续函数在闭区间上的性质 1 有界性 设 xf在 ba上连续 则 xf在 ba上有界 2 最值存在 设 xf在 ba上连续 则 xf在 ba上存在最大值和最小值 3 介值定理 设 xf在 ba上连续 bfaf 则对 af与 bf之间的任何数 必存在 bac 使得 cf 4 零点存在定理 设 xf在 ba上连续 0 xf D 在1 x的某邻域 1 x中 2 xf 答 C 分析 因24 lim 1 xf x 由极限的保号性质 在1 x的某邻域 1 x中 2 xf 故选 C 第第 12 章章 一元函数微分学一元函数微分学 12 1 导数的概念 一 导数的定义 1 设函数 xfy 在 0 x某邻域内有定义 当自变量x在点 0 x取得改变量x 0 x 时 相应地函数 xfy 也有改变量 00 xfxxfy 如果极限 x xfxxf x y xx limlim 00 00 存在 则称函数 xfy 在 0 x可导 并称这个极限值 为函数 xfy 在点 0 x的 导数 记作 0 x f 0 xx y 0 xx dx dy 0 xx dx df 2 左导数 右导数 如果 x xfxxf x y xx limlim 00 00 存在 则称此极限值为 xf在 0 x处的左导数 记作 0 xf 如果 x xfxxf x y xx limlim 00 00 存在 则称此极限值为 xf在 0 x处的右导数 记作 0 xf 3 如果 xf在 ba内每一点可导 则称 xf在 ba内可导 8 4 如果 xf在 ba内可导 且 bf af 存在 则称 xf在 ba内可导 二 导数的几何意义 函数 xf在 0 x点的导数 0 x f 等于曲线 xfy 在点 0 x 0 xf 处切线的斜率 切线方程是 000 xxxfxfy 法线方程是 1 0 0 0 xx xf xfy 三 可导与连续的关系 可导必连续 反之不然 四 重要结论 1 xf在 0 x处可导 00 xfxf 2 可导偶函数的导数是奇函数 3 可导奇函数的导数是偶函数 4 可导周期函数的导数是周期函数 例 12 1 1 用定义求函数xy 3 log 的导数 答 3ln 1 x 例 12 1 2 xy 在0 x的连续性与可导性 答 连续不可导 例 12 1 3 1 在曲线xyln 上求一点 使得在该点的切线斜率为 3 并求此切线方程 答 3ln13 xy 2 求过 0 0 点并与 x ey 相切的直线方程 答exy 例 12 1 4 xf在 0 x可导 求下列极限 1 h xfhxf h lim 00 0 2 x xxfxxf x 2 lim 00 0 例 12 1 5 1 可导偶函数的导数是奇函数 2 可导奇函数的导数是偶函数 3 可导周期函数的导数是周期函数 12 2 求导公式和导数运算法则 一 求导公式 1 1 xx 2 aaa xx ln 3 ax x a ln 1 log 4 xxcos sin 5 xxsin cos 6 xx 2 sec tan 二 四则运算 9 如果 xf xg在点x都可导 则 1 xf xg xf x g 2 xf xg xf xg xf x g 3 xg xf 2 xg xgxfxgxf 三 复合函数的导数 设 xgfy 由 ufy 和 xgu 构成的复合函数 如果 xgu 在点x可导 xg dx du ufy 在点u可导 uf du dy 则复合函数 xgfy 在点x可导 且 dx du du dy dx dy xgxgfxguf 例 12 2 1 求导数 1 2ln 22 2 x xx y 求 1 x y 2 x x y ln 答 x x 2 ln 1ln 3 xxey x sin 1 2 答xxexxexxe xxx cos 1 sin2sin 1 22 4 2 1 nxxxxy L 求 0 y 答 n 例 12 2 2 求导数 1 1ln x ey 答 x x e e 1 2 32 2 xx axy 答 3 2 2 xx xa 12 32 2 xax xx 3 1ln 2 xxy 答 2 1 1 x 4 1ln 2 1 x ey 答 x x x e e e 1 1ln 4 1 5 1ln 2 x e y x 答 1 ln 1 2 1ln 22 2 2 x x x exe xx 10 6 223 2 xaey x 答 22 3223 22 3 xa x exaxe xx 7 xylnlnln 答 xxxlnlnln 1 8 x x y 1 1 ln 答 1 1 1 1 2 1 xx 例 12 2 3 f为可导函数 求 dx dy 1 lnxfy 答 x xf ln 2 2x efxfy 答 2 2xx efexf x 四 高阶导数 例 12 2 4 1 ln 22 xaxy 求 y 答 2 3 22 xax 2 设 x exf 1 求 x fxf x 2 2 lim 0 答 e16 3 例 12 2 5 23 1 2 xx y 求 n y 五 补充题 例 12 2 6 1 对任意的x都有 xfxf 且当0 0 x时 0 0 kxf 则 0 xf B A k B k C k 1 D k 1 2 设 xf可导 且满足1 2 1 1 lim 0 x xff x 则曲线 xfy 在 1 1 f处的切线斜 率为 A 2 B 2 C 2 1 D 1 3 如图 xgxf是两个逐段线性的连续函数 设 xgfxu 求 1 u 的值 答 1 12 3 微分 1 定义 函数 xfy 在x处的微分 xf 3 xg 3 6 11 设 函 数 xfy 在 区 间I上 有 定 义 Ixxx 00 如 果 函 数 的 改 变 量 00 xfxxfy 可表为 xxAy 其中A是不依赖 x 的常数 而 x 是比x 的高阶无穷小 则称 xfy 在 0 x是可微的 xA 叫做 xfy 在 0 x 相应于自变量改变量x 的微分 记作 dy 即xAdy 或Adxdy xdyy 2 微分与导数的关系 函数 xfy 在点x处可微的充分必要条件是它在该点处可导 此时 xfA 即有 dxxfdy xxxfy 3 微分的几何意义 4 微分的基本公式和四则运算法则 例 12 3 1 1 设 x xyx 1 21 2 1 求dy 答dx xx xxx x x 21 21ln 21 21 2 1 2 若函数 xfy 在 0 x处的导数不为零且不为 1 则当0 x 时该函数在 0 xx 处的微分dy是 B A与x 等价无穷小 B与x 同阶无穷小 C与x 低阶无穷小 D与x 高阶无穷小 例 12 3 2 03 如果函数 xf在 0 x处可导 000 xfxxfxf 则极限 x xdfxf x lim 00 0 C A等于 0 x f B 等于 1 C 等于 0 D 不存在 例 12 2 3 04 如图 xgxf是两个逐段线性的连 续 函数 设 xgfxu 则 1 u 的值为 A A 4 3 B 4 3 C 12 1 D 12 1 例 12 3 4 05 设 xf在0 x处可导 且 nn f 2 1 3 2 1 L n 则 0 f C A 0 B 1 C 2 D 3 0 2 1 3 xg 4 6 8 5 7 1 2 3 4 5 xf 1 y 12 例 12 3 5 06 设0 xf 且导数存在 则 1 lnlim af n af n n D A 0 B C lna f D af a f 例 12 3 6 07 设 2 1 2 ln tan x y 则 2 y B A 1 B 1 C 2 16 4 D 2 16 8 分析 2 1 2 tan 2 sec2 x x y 2 y112 2 1 12 4 中值定理 1 罗尔定理 如果函数 xf在闭区间 ba上连续 在开区间 ba内可导 且 bfaf 则至少 ba 使得0 f 2 拉格朗日中值定理 如果函数 xf在闭区间 ba上连续 在开区间 ba内可导 则至少 ba 使得 abfafbf 成立 1 如果函数 xf在区间I上的导数恒为零 则 xf在区间I上是一个常数 2 如果函数 xf和 xg在区间I上的导数相等 则这两个函数在区间I上至多相差一 个常数 例 12 4 1 若方程0 1 1 10 xaxaxa n nn L有一个正根 0 xx 证明方程 0 1 1 2 1 1 0 n nn axnanxaL必有一个小于 0 x的正根 例 12 4 2 xf在闭区间 ba上连续 在开区间 ba内0 x f 当0 af时 则开区间 ba内0 xf 当0 bf时 则开区间 ba内0 ab 证明 a ab a b b ab ln 例 12 4 4 05 若 xf的二阶导数连续 且1 lim xf x 则对任意常数a必有 13 limxfaxf x A a B 1 C 0 D a f a 12 5 洛必达法则 0 0 型极限 如果 xf和 xg满足 1 0 lim lim xgxf 2 在极限点附近 xgxf 都存在 且0 x g 3 lim xg xf 存在或无穷大 则 lim xg xf lim xg xf 例 12 5 1 求极限 1 x x e xx23 lim 2 2 xxxxx xx x sin1tan1 1 1 ln sintan lim 0 0 0 3 xx x lnlim 0 0 4 tan 11 lim 2 0 xxx x 12 6 函数的单调性与极值 1 函数的单调性的判断法 一 函数的增减性的判断 如果函数 xf在 ba内可导 则 xf在 ba内单调递增 减 的充分必要条件是 bax 有0 x f 0 例 12 6 1 求函数的单调区间 1 21 4 2 x x x xf 答 2 1 2 2 x xx xf 答在 3 1 在 3 1 1 1 二 极值 1 定义 设函数 xf 若 00 xxx 为某一常数 均有 00 xxxfxf 则称 0 x为 xf的极小值点 0 xf为 xf的极小值 14 2 取得极值的必要条件 设函数 xf在 0 x处可导 且在 0 x处取得极值 则0 0 x f 3 第一充分条件 设函数 xf在点 0 x一个邻域内可导 且0 0 x f 或 0 x f 不存在 但 xf在点 0 x 连续 如果当x取 0 x左侧邻近值时 0 x f 当x取 0 x右侧邻近值时 0 x f 则函数 xf在点 0 x处取得极大值 如果当x取 0 x左侧邻近值时 0 x f 则函数 xf在点 0 x处取得极小值 如果当x取 0 x左右侧邻 近值时 x f 恒为正或恒为负 则函数 xf在点 0 x处没有极值 4 第二充分条件 设函数 xf在点 0 x有二阶导数 且0 0 x f 0 0 x f 则 如果当0 0 x f时 函数 xf在点 0 x处取得极小值 例 12 6 2 求函数 32 1 xxxf 的单调区间和极值 例 12 6 3 1 利用二阶导数求函数 xx eey 2的极值 答22极小值 2 讨论方程 e xe x 2 1 的实根个数 答 2 个实根 例 12 6 4 将中的函数与图中的导函数图形进行匹配 12 7 函数的最大值最小值问题 例 12 7 1 求 3 1 2 3 2 1 xxxf在区间 2 2 上的最大 最小值 12 8 曲线的凹凸 拐点及渐近线 一 曲线的凹凸 拐点 1 如果曲线在其任一点切线之上 下 则称此曲线是凹 凸 的 凹凸的分界点称为曲线 的拐点 15 2 设函数 xf在区间I上二阶可导 当Ix 时 0 x f 0 1 三 补充题 1 在区间 0 内方程1sin 3 2 2 1 xxx0 内 B A 无实根 B 有且仅有一个实根 C有且仅有两个实根 D有无穷多个实根 2 当 x时 1 1ln x xf 与 x xg 1 sin 则 B A xf与 xg是同阶无穷小 但不等价 B xf与 xg是等价无穷小 C xf比 xg是高阶无穷小 D xf比 xg是低阶无穷小 3 下图是关于汽车位移函数的图像 利用图像回答下列问题 a 汽车的初始速度 b 汽车在 B C 两点哪一点速度更快 c 汽车在 A B C 三点速度是增快还是减慢 d 在 D E 两点之间 汽车的运动状况 4 图中给出了 x f 的图形 设有以下结论 xf的单调增区间 9 6 4 2 xf的单调增区间 9 8 7 5 3 1 7 5 3 1 xxxx是 xf的极值点 17 7 5 3 1 xxxx是曲线 xf拐点的横坐标 则以上结论中正确的是 D A B C D 5 设 xf二阶可导 且0 x f 0 x f xfxxfy 则当0 x时有 A 0 dyy B 0 ydy D0 f 0 0 cos2 xxxxf 由此 xf在 0 内仅有 1 个零点 所以 xf在 内仅有 2 个零点 8 04 如下不等式成立的是 B A在 0 3 区间上 3ln 3lnxx C在 0 区间上 3ln 3lnxx D在 0 区间上 3ln 3lnxx yx的情形 如图 设OB是曲线 x xy 1 的点与原点之间的最短距离 yxB在 x xy 1 上 则 x xy 1 在 yxB的切线垂 直于OB 由 2 1 1 x y 因此1 1 1 1 2 x x x x 即 2 2 2 x OB2222 1 2 1 2 222 x x x xx 而12 12 22222 aa 5 Cxxdxcossin 6 Cxxdxsincos 7 Cxxdx x dx tansec cos 2 2 8 Cxxdx x dx cotcsc sin 2 2 9 Cx x dx arctan 1 2 10 Cx x dx arcsin 1 2 三 不定积分的性质 1 xfdxxf 2 dxxfdxxfd 3 CxFdxxF 4 CxFxdF 5 dxxfkdxxkf k为不等于零的常数 20 6 dxxgxf dxxgdxxf 例 13 1 1 1 已知 xF是 x xln 的一个原函数 求 sin xd 2 Cxxxxd 33 2 1 ln 2 1 ln 3 xx afdxaf 4 Cafdxaf x x x 5 dx xx x cossin 2cos Cxx sincos 6 已知 xf的一个原函数为 xx x sin1 sin 求 dxxfxf 答 C xx xx 2 2 2 sin1 sincos 2 1 13 2 不定积分的计算方法 1 第一类换元法 凑微分法 设 uF是 uf的原函数 且 xu 可导 则 xF 是 xxf 的原函数 即 dxxxf duuf CuF xF C 其中 xu 例 13 2 1 1 dxx 4 2cos 答Cx 4 2sin 2 1 2 dx xx 1 1 答 C x x 1 ln 例 13 2 2 1 dx x x 2 21 答Cx 21ln 4 1 2 2 dx x e x 答Cx 2 例 13 2 3 1 ln21 xx dx 答Cx ln21ln 2 1 2 dx e e x x 1 答Cex 1ln 21 3 dx ex 1 1 答Cex x 1ln 例 13 2 4 设 2 ln 1 2 2 2 x x xf且 xxfln 求 dxx 答 1 1 x x x 2 第二类换元法 设 tx 单调可导 t 0 且 t 是 ttf 的原函数 则 1 xt 是 xf的原函数 即 dtttfdxxf CxCt 1 例 13 2 5 求dx x x 1 3 分部积分法 设 xvxu有连续的一阶导数 则 dxxuxvxvxudxxvxu 即 xduxvxvxuxdvxu 例 13 2 6 求不定积分 1 dxxe x 2 1 答Cexe xx 2 1 2 1 22 2 xdxx2sin 答Cxxx 2sin 2 1 2cos 2 1 3 xdxln 答Cxxx ln 4 dxe x 答Cxe x 1 2 5 xdxexsin 例 13 2 7 补充题 1 05 设xx ln 2 是 xf的一个原函数 则不定积分 dxxf x C A Cxxx 33 9 1 ln 3 2 B Cxxx ln2 2 C Cxxx 22ln D Cxxx 22ln 3 2 07 设函数 xf可导 且1 0 f xxf ln 则 1 f A A 1 2 e B 1 1 e C 1 1 e D 1 e 分析 令tx ln 则 t ex t etf 22 Cetf t 1 0 f代入其中 2 C 因此 1 f 1 2 e 13 3 定积分的概念与性质 一 定积分的概念 设 函 数 xf在 区 间 ba上 有 界 在 ba中 任 意 插 入 若 干 分 点 bxxxxxa nn 时 a b b a dxxfdxxf 三 定积分的性质 设 xgxf为可积函数 则 1 b a dxxgxf b a b a dxxgdxxf 2 b a b a dxxfkdxxkf k是常数 3 abdx b a 4 b a dxxf b c c a dxxfdxxf 5 如果在 ba上 0 xf则0 b a dxxf 6 ba上 xgxf 则 b a b a dxxgdxxf 7 dxxfdxxf b a b a ba 8 设在 ba上 Mxfm 则 abMdxxfabm b a 其中Mm 是常数 9 如果函数 xf在区间 ba上连续 则在 ba上至少有一个数 使 abfdxxf b a 成立 另外 记住下面公式 常常会化简定积分的计算 23 1 是偶函数 是奇函数 2 0 0 xfdxxf xf dxxf a a a 如果函数 xf 以T为周期连续函数 a是常数 则 TTa a dxxfdxxf 0 例 13 3 1 比较 e e xdx 1ln 与 e e dxx 1ln 的大小 答 e e dxx 1ln 大 例 13 3 2 设 xf 0 0 xfxf 按积分值大到小次序排序下列积分 1 b a dxax ab afbf af 2 b a dxxf 3 b a dxaf 13 4 微积分基本公式 定积分的计算 一 牛顿 莱布尼兹公式 1 变上限函数定义 设 xf可积 x a dttfx 称为变上限定积分 它是上限变量x的函数 2 定 理 如 果 xf在 ba上 连 续 则 x a dttfx 在 ba上 可 导 且 xfx x 如果函数 xf在 ba上连续 xg可导 则 dx xdg xgfdttf dx d xg a 例 13 4 1 1 x dtt dx d sin 0 2ln 求 2 设 1 2 x dttfxF 求 x F 答 2 2 xxf 3 dt t e xxF t x 2 1 2 求 x F 答x2 2 2 2 1 x x t xedt t e 例 13 4 2 1 x ex dtt dx d sin 2ln 2 x dttx dx d sin 0 2ln 3 x dxxx dx d sin 0 2ln 4 x dtt dt d sin 0 2ln 3 牛顿 莱布尼兹公式 定理 若函数 xf在区间 ba上连续 xF为 xf的一个原函数 即 xfxF 则 aFbFxFdxxf b a b a 24 例 13 4 3 计算 2 2 3 coscos dxxx 答 3 4 例 13 4 4 设 1 0 2 dxxfexxf x 求 1 0 dxxf和 xf 二 变量替换法 设函数 xf在 ba上连续 函数 t 满足下列条件 1 函数 t 在区间 上有连续的导数 t 2 a b 且当t在区间 上变化时 关系式 tx 所确定的x 的值不越出 ba的范围 若越出 但 xf在大的区间上仍连续 则有下式成立 dtttfdxxf b a 注意 此公式也可以从右边向左边