2009考研数学基础班讲义-微积分第六讲.pdf

2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 基础班微积分第 6 讲 定积分的概念与计算 基础班微积分第 6 讲 定积分的概念与计算 6 1 定积分的概念与性质 6 1 定积分的概念与性质 定积分基本概念 方法与主要知识点 定积分基本概念 方法与主要知识点 概念 定积分作为和式的极限 积分中值定理 保序性与估值定理 定积分是一 个数 概念 定积分作为和式的极限 积分中值定理 保序性与估值定理 定积分是一 个数 方法 凑微分法 分部积分 回归法 变量替换 区间变换 方法 凑微分法 分部积分 回归法 变量替换 区间变换 积分等式与不等式的证明 积分等式与不等式的证明 6 1 1 定义 6 1 1 定义 定义 6 1 设函数在有界闭区间上有定义 且有界 若 定义 6 1 设函数在有界闭区间上有定义 且有界 若 xf ba i i x max n xxx 10 1 iii xxx 1 任意分割区间 取点列 1 任意分割区间 取点列 ba 记 记 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 电话 82378805 1 2 任取 2 任取 1iii xx 3 作和式 3 作和式 n i iin xfS 1 4 若极限存在 且极限值与区间分割的任意 性和 4 若极限存在 且极限值与区间分割的任意 性和 sxfS n i iin 1 00 limlim ba iii xx 1 取值的任意性无关 则称函数在区间上可积 该极限 值称为函数在区间上的积分 记作 取值的任意性无关 则称函数在区间上可积 该极限 值称为函数在区间上的积分 记作 xf ba sxfS n i iin 1 00 limlim xf ba sSdxxfbaI n b a f 0 lim xba 分别称为积分的下 上限 称为被积函数 分别称为积分的下 上限 称为被积函数 xf称为积分中间变量 定积分 的值与积分中间变量的符号无关 即 称为积分中间变量 定积分 的值与积分中间变量的符号无关 即 b a b a dttfdxxf 6 1 26 1 2 函数的可积性条件 函数的可积性条件 定理 6 1 函数在有界闭区间可积的必要条件 是函数在上有界 定理 6 1 函数在有界闭区间可积的必要条件 是函数在上有界 ba xf ba 定理 6 2 函数在有界闭区间可积的充分条件 满足下列条件之一即可 定理 6 2 函数在有界闭区间可积的充分条件 满足下列条件之一即可 ba 1 在区间上单调有界 1 在区间上单调有界 xf ba 2 在区间上有界 且只有有限个间断点 2 在区间上有界 且只有有限个间断点 xf ba 3 在区间上连续 3 在区间上连续 xf ba 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 定积分定义在考研中的应用 利用积分和式求特定极限 见后述例题 定积分定义在考研中的应用 利用积分和式求特定极限 见后述例题 6 1 3 定积分的性质及常用结论 6 1 3 定积分的性质及常用结论 1 1 a b b a dxxfdxxf 2 2 对积分区间的可加性 对被积 函数满足线性性 对积分区间的可加性 对被积 函数满足线性性 b c c a b a dxxfdxxfdxxfRc b a b a b a dxxgBdxxfAdxxBgxAf xf 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 电话 82378805 2 3 3 若在上可积 则若在上可积 则 xf ba在上也可积 且 在上也可积 且 ba b a b a dxxfdxxf 4 保序性 保号性 若可积函数 4 保序性 保号性 若可积函数 0 baxxf 则 则 0 b a dxxf 若可积函数满足 则 若可积函数满足 则 b a b a dxxgdxxf xgxf xgxf 特别 若非负连续函数在上不恒为零 则 特别 若非负连续函数在上不恒为零 则 0 b a dxxf xf ba 推论 估值定理 若可积函数在上满足推论 估值定理 若可积函数在上满足 xfMxfm 则 则 ba abMdxxfabm b a 进一步 若函数在上非负可积 则 称为比较性质 进一步 若函数在上非负可积 则 称为比较性质 xg ba b a b a b a dxxgMdxxgxfdxxgm 4 4 积分中值定理 若函数在上连续 在上取定号且可积 则 积分中值定理 若函数在上连续 在上取定号且可积 则 xf ba xg ba ba 使 使 b a b a dxxgfdxxgxf 特别 时 特别 时 1 xg ba 使 或 使 或 abfdxxf b a xff ab dxxf ba b a 平均值 平均值 0 ba 使上述结论成立 使上述结论成立 事实上还可进一步证明事实上还可进一步证明 8 若在上是可积的奇函数 则 8 若在上是可积的奇函数 则 0 a a dxxf xf aa 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 若在上是可积的偶函数 则 若在上是可积的偶函数 则 aa a dxxfdxxf 0 2 xf aa 9 若是可积的周期函数 切周期为 9 若是可积的周期函数 切周期为T 则对任意是实数必有 则对任意是实数必有 a xf TTa a dxxfdxxf 0 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 电话 82378805 3 10 若连续函数满足 则存在 10 若连续函数满足 则存在0 b a dxxf 0 bax xf使得 使得 0 0 xf 证明方法 1 由中值定理 证明方法 2 由连续函数的保号性 证明方法 1 由中值定理 证明方法 2 由连续函数的保号性 11 若非负连续函数满足 则 11 若非负连续函数满足 则0 b a dxxf xf0 xfbax 证明方法 由连续函数的保号性与积分的保号性 反证 证明方法 由连续函数的保号性与积分的保号性 反证 dxxI 2 0 1 sin sin dxxI 2 0 2 cos sin 则 A 则 A 例 6 1 设例 6 1 设 A B C A B C 21 1II 21 II D D 1 21 II 2 0 x 解 当 解 当 且为增函数 于是 且为增函数 于是xx sinxsin sin sin sinxx dxxI 2 0 1 sin sin 1sin 2 0 而而 dxxI 2 0 2 cos sin 1 2 0 1cosIdxx 例 6 2 估计积分的范围 例 6 2 估计积分的范围 2 0 2 2 dxe xx 12min 02max 2 2 0 2 2 0 xxxx xx 因此 因此 解 解 22 2 0 0 2 0 2 2 0 11 2 dxedxedxee xx 例 6 3 设例 6 3 设dxxxxM 1 ln 22 1 1 dx x xx N 1 12 3 1 1 1 22 3 1 1 dx x x P 则 A 则 A A B C A B C NMP PNM NPM MPN x x dx N0 1 1 2 22 1 0 dx x P 所以 所以 NMP 01 01 xx xx xf 1 1 dxxf 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 电话 82378805 4 解 解法一 在区间内有第一类间断点 因此在 解 解法一 在区间内有第一类间断点 因此在 xf 1 1 1 1 区间内不存 在原函数 不能直接用牛顿 莱布尼兹公式 利用对区间的可加性有 区间内不存 在原函数 不能直接用牛顿 莱布尼兹公式 利用对区间的可加性有 1 0 0 1 1 1 dxxfdxxfdxxf 在内分别可以用牛顿 莱布尼兹公式 在内分别可以用牛顿 莱布尼兹公式 1 0 0 1 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 2 3 2 0 1 2 0 1 x x dxxf 2 3 2 1 0 2 1 0 x x dxxf 故 0 故 0 1 1 dxxf 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 电话 82378805 5 解法二 是解法二 是 xf 1 1 的奇函数 0 的奇函数 0 1 1 dxxf dx x xx 2 2 2 cos1 cos 1 例 6 7 求例 6 7 求 dx x x dx x xx 2 0 2 2 2 2 cos1 cos 2 cos1 cos 1 12 12 ln 2 1 sin2 sin 2 2 0 2 dx x xd 解 解 6 2 2 变量替换法 6 2 2 变量替换法 第一换元法的基本思路 凑微分方法 第一换元法的基本思路 凑微分方法 afbfdxxf b a b a b a xfdxxxf 第二换元法的基本思路 第二换元法的基本思路 tFdtttfdxxf b a t 其中 要求与其中 要求与 xf连续 连续 CxFdxxf tx 有反函数 且有反函数 且 1 xt ba 换元法的重要应用之一是区间变换 以改变积分区间为特定目的的变换 换元法的重要应用之一是区间变换 以改变积分区间为特定目的的变换 b a f dxxfbaI dttxtxfdxxf b a 1 0 ab ax t 令 令 dttxtxfdxxf d c b a ccd ab ax t 令 令 x t 1 xt 还有反号变换 还有反号变换 倒数变换 倒数变换 广泛用于积分的合并与拆分 广泛用于积分的合并与拆分 3 42 4x dx 例 6 8 求例 6 8 求 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 3 42 4x dx 4 32 4u du xu 解 令 解 令 再令 则 再令 则 tusec2 tdtdusectan2 3 2 arccos t 3 t 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 电话 82378805 6 当时当时3 u 当时 当时4 u 3 3 2 arccos 4 32 tan2 sectan2 4 dt t tt u du 3 42 4x dx 3 3 2 arccos 2 cos cos dt t t 3 3 2 arccos sin sin1 1 sin1 1 2 1 td tt 再令 可直接利用凑微分法 再令 可直接利用凑微分法 tysin 3 3 2 arccos sin sin1 1 sin1 1 2 1 td tt 2 3 3 5 2 3 3 5 1 1 ln 2 1 1 1 1 1 2 1 u u dy yy 2ln 53ln 32ln 2 0 dxxf 4 0 2 2cos dxxfxxf 求 求 例 6 9 设例 6 9 设 dudx 2 1 Idxxf 2 0 ux 2 再令 再令 则 则 解 记 解 记 Iduuf 2 1 2 1 2 0 4 0 2 dxxf 4 0 2 2cos dxxfxxf对等式对等式两边取积分得到 两边取积分得到 Idx I dxxxf 42 cos 2 0 2 0 2 IdxxI 4 cos 2 0 2 即即 dxxII 2 0 2 cos 4 422 1 故故 4 dxxfI 2 0 因此 因此 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 例 6 10 设是上的连续函数 则 例 6 10 设是上的连续函数 则 D D xf 10 A B A B 00 sin2 sindxxfdxxxf 00 sin sindxxfdxxxf 00 sin 2 sindxxfdxxxf 00 sin 2 sindxxfdxxxf D D C C dtdxtx 解 令 解 令 0 0 sin sin dttftdxxxf 00 sin sindttfdtttf 移项得知答案为 D 移项得知答案为 D 6 2 3 分部积分法 6 2 3 分部积分法 设与在连续 为在上的一个原函数 则 设与在连续 为在上的一个原函数 则 xg xf ba xF xf ba b a b a b a dxxgxFxgxFdxxgxf e e xdx 1ln 例 6 11 求例 6 11 求 e e e e e e xxdxxxdx 1 1 1 lnlnln e dx e e e e 21 1 解 解 2 0 cos xdx n 2 0 sin xdx n 2 0 sin xdxJ n n 例 6 12 证明例 6 12 证明 并求 并求 tx 2 证 令 证 令 2 0 cos xdx n 0 2 cos tdtJ n n 22 0 1 0 cos sinsin xxdxdxI nn n 1 cossin 1 cossin 2 0 22 2 0 12 nn nn IIn xdxxnxx 2 1 nn I n n I1 2 10 JJ 初值 初值 3 2 n 注 上述结果称为积分的递推公式 常用递推公式有一步递推或二步递推格式 应 指出的是 以递推公式表示积分结果 必须给出初值 一步递推格式需有一步初值 二步递推格式需有二步初值 才能构成完备的计算格式 注 上述结果称为积分的递推公式 常用递推公式有一步递推或二步递推格式 应 指出的是 以递推公式表示积分结果 必须给出初值 一步递推格式需有一步初值 二步递推格式需有二步初值 才能构成完备的计算格式 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 电话 82378805 7 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 上述结果可归纳得到下述实用形式 上述结果可归纳得到下述实用形式 1 12 2 2 2 12 122 n n I n n I nn 3 2 1 n dx xee I xx 2 0 5cossin 8 sin 例 6 13 例 6 13 30 1 15 1 4 8 A A B B C C D D 解 由对称性与积分概念 立即得知答案 解 由对称性与积分概念 立即得知答案 15 1 3 2 5 4 8 1 I 选 B 选 B dt t e A t 1 01 dt t et 1 0 2 1 A e 2 1例 6 14 已知例 6 14 已知 则 则 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 电话 82378805 8 答案 答案 dt t e A t 1 01 解 因为 解 因为 所以 所以 1 0 1 0 1 0 2 11 1 dt t e t e dt t e ttt A e 2 1 例 6 15 设为正整数 计算 例 6 15 设为正整数 计算 1 0 2 1 dxxx n n 解 方法 1 解 方法 1 dxxx nn xx n n 1 0 1 1 0 12 1 1 2 1 1 1 0 2 1 dxxx n dxx nnnn xx n n 1 0 2 1 0 2 1 2 1 2 2 1 1 3 2 1 2 3 2 1 1 2 1 0 3 nnnnnn x n dtdxtx 1 则有 则有 方法 2 令 方法 2 令 3 1 2 2 1 1 1 1 0 2 nnn dttt n 1 0 2 1 dxxx n 6 3 变限积分 6 3 变限积分 6 3 1 变上限积分 6 3 1 变上限积分 设在上可积 存在唯一的实数与之对应 因设在上可积 存在唯一的实数与之对应 因 x a dttf xf ba bax 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 此变上限积分定义了一个函数 记作 我们称其为变上 限积分 此变上限积分定义了一个函数 记作 我们称其为变上 限积分 x a dttf x a dttfxF 定理 6 4 1 若在上可积 则变上限积分定义的函 数在上连续 定理 6 4 1 若在上可积 则变上限积分定义的函 数在上连续 x a dttfxF xf ba ba 注 不一定是在上的原函数 注 不一定是在上的原函数 xF xf ba 2 若在上连续 则变上限积分定义的函数 在上可导 且 2 若在上连续 则变上限积分定义的函数 在上可导 且 x a dttfxF xf ba xfdttf dx d x a ba 注意 一定是在上 的一个原函数 注意 一定是在上 的一个原函数 xF xf ba 证 1 则 证 1 则 xx x dttfxF x a dttfxF bax 0 M 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 电话 82378805 9 因为在上可积 因此在上有界 即因为在上可积 因此在上有界 即 xf ba xf ba bax 存在 使得 存在 使得Mxf 于是 于是 xx x x a xx a dttfdttfdttfxF xMdttfxF xx x 0 由夹逼定理可得 因此在上连续 由夹逼定理可得 因此在上连续 x a dttfxF 0 lim 0 xF x ba x a dttf dx d 2 2 xx xx dttf x 1 lim 0 x a xx ax dttfdttf x 1 lim 0 xx xx dt x f lim 0 lim 0 xff x xxx 上式中上式中 为为与与之间的一个数 上述证明用到积分中值定理 之间的一个数 上述证明用到积分中值定理 例 6 16 设 其中 例 6 16 设 其中 T 结论 4 有第一类间断点的函数没有原函数 结论 4 有第一类间断点的函数没有原函数 结论 5 有第二类间断点的函数可以有原函数 结论 5 有第二类间断点的函数可以有原函数 结论 6 变限积分表示的函数不一定是原函数 结论 6 变限积分表示的函数不一定是原函数 例 6 17 证明连续偶函数之原函数必为奇函数与常数之和 例 6 17 证明连续偶函数之原函数必为奇函数与常数之和 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 证 记 证 记 x a dttfxF 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 电话 82378805 11 要证存在奇函数使得要证存在奇函数使得 xGCxGxF 其中 为常数 其中 为常数 C xfxF 设 要证满足 设 要证满足 x dttfxG 0 xG xGxG 显然 其中显然 其中CxGxF xfxf 因此 因此 x dttf 0 xG 令 于是得到 令 于是得到 tu x udufxG 0 x uduf 0 xG 例 6 18 设是连续的周期为例 6 18 设是连续的周期为T的函数 证明 的函数 证明 TaT a dxxfdxxf 0 xf 证 证法一 因为是连续函数 将 证 证法一 因为是连续函数 将a作为变量 作为变量 xf 0 afaTfdxxf da d aT a aT a dxxf 关于变量为常数 而当关于变量为常数 而当a0 a时 时 Cdxxfdxxf TaT a 0 因此对任意的均成立 因此对任意的均成立 Cdxxfdxxf TaT a 0 a 证法二 证法二 aT a dxxf aT T T a dxxfdxxfdxxf 0 0 T aT a dxxf dxTxfdxxfdxxf 0 00 0 注 证法一 要求是连续函数 证法二仅要求是可积函数 注 证法一 要求是连续函数 证法二仅要求是可积函数 xf xf 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 65 65 xx xg 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 电话 82378805 12 例 6 19 设 例 6 19 设 dttxf x 2 cos1 0 sin 则当时 是 的 则当时 是 的 0 x xf xg A 低阶无穷小量 B 高阶无穷小量 C 等价无穷小量 D 同阶但非等价无穷小量 A 低阶无穷小量 B 高阶无穷小量 C 等价无穷小量 D 同阶但非等价无穷小量 答案 B 答案 B 例 6 20 设 单调增加 例 6 20 设 单调增加 0 Cxgxf0 xf xg 则则 dttf dttgtf x x x 0 0 A 在上单调增加 B 在 A 在上单调增加 B 在 0 0 上单调减少 上单调减少 C 在上单调增加 在上单调减少 C 在上单调增加 在上单调减少 1 0 1 D 在上单调减少 在上单调增加 D 在上单调减少 在上单调增加 1 0 1 解 由于 解 由于 2 0 00 dttf dttgtfxfdttfxgxf x x xx 0 2 0 0 dttf dttgxgtfxf x x 所以所以 x 在上单调增加 答案 A 在上单调增加 答案 A 0 例 6 21 设在例 6 21 设在 上连续 证明函数 上连续 证明函数 0 xf x b x a dttfdttfxF 1 ba 在在 上有切仅有一个零点 上有切仅有一个零点 ba ba ba 证 在 证 在 0 xf上连续 则在上连续 则在 xF上连续且可导 上连续且可导 0 1 xf xfxF 在在 上单调增 又因为 上单调增 又因为 ba xF 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 0 0 1 X 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 电话 82378805 15 解 答案 解 答案 0 使当时 使当时 0 Xx 0 X由初等函数 性质 xe x ln 使当时 有 0 Xx x x x x x x t e xx dt e x dt e t 1 2ln 1 2ln 1 ln 0 22 0 1 ln lim 2 x x t x dt e t 应用夹逼定理得到 应用夹逼定理得到 6 5 积分综合例题 6 5 积分综合例题 例 6 29 已知连续曲线关于点例 6 29 已知连续曲线关于点 xfy 0 0 aa对称 则 对称 则 c c dxxafRc D D A B C D A B C D dxxaf c 0 2 2dxxcf a 0 2dxxaf c 0 2 20 xfy 0 0 aa关于点关于点对称 对称 解 由几何意义可得知选 D 曲线 解 由几何意义可得知选 D 曲线 以下是几个用到区间变换的例题 以下是几个用到区间变换的例题 2 ba x xfy 例 6 30 已知上的连续曲线例 6 30 已知上的连续曲线 ba关于直线关于直线对称 对称 2 2 ba a b a dxxfdxxf 证明 证明 b a b a ba ba dxxfdxxfdxxf 2 2 证 证 2 ba x 由于关于直线由于关于直线 xfy 对称 对后一积分有 对称 对后一积分有 b ba dxxf 2 b ba dxxbaf 2 令 则 于是得到 令 则 于是得到 xbat dtdx 2 ba a dttf a ba b ba dttfdxxbaf 22 2 2 ba a b a dxxfdxxf所以 所以 例 6 31 求的最大最小值 例 6 31 求的最大最小值 dtetxf x t 2 0 2 0 解 为偶函数 只需求 解 为偶函数 只需求 xf上的最大最小值 上的最大最小值 2 0 2 2 2 2 xexxxf x 令令为唯一驻点 且 为唯一驻点 且 20 xf当当 2 x2 x时 因此时 因此 0 xf为极大值点 即最大值点 为极大值点 即最大值点 当当 2 2 0 1 2 2 edtetf t 最大值为最大值为 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 112 2 00 tt eetdtet t 0 2 limxf x 又 因此为最小值点 最小值为 0 又 因此为最小值点 最小值为 0 0 x0 0 f x f 例6 32 设在上可微 例6 32 设在上可微 xf ba非减 证明非减 证明 2 bfaf ab dxxf b a x a dttfxfaf ax xF 2 证 证 移项造辅助函数 设移项造辅助函数 设 bax 0 aF 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 电话 82378805 16 则只须研究的单调性 证明 则只须研究的单调性 证明 xF0 aFxF 2 2 1 xfxf ax xfafxF 2 2 1 xf ax xfaf 2 2 xf ax f xa 2 fxf ax xa xf 非减 又 非减 又 0 xF0 aFxF 22 00 22 1 cos 1 sin dx x x dx x x 例 6 33 证明 例 6 33 证明 证 方法 1 证 方法 1 2 4 4 2 0 2 1 cossin 1 cossin dx x xx dx x xx I xt 2 对上述第二个积分令对上述第二个积分令 则有 则有 2 0 2 1 cossin dx x xx I 4 0 2 4 0 2 2 1 sincos 1 cossin dt t tt dx x xx 4 0 2 2 2 1 1 1 1 cos sin dt t t tt 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 0 2 1 1 4 cos sin 4 0 22 2 dt tt ttt 方法 2 方法 2 2 0 2 1 cossin dx x xx I 2 4 2 4 0 2 1 cossin 1 cossin dx x xx dx x xx I 4 0 2 1 cos sin 1 1 dxxx 2 4 2 2 cos sin 1 1 dxxx 刘坤林