广东省汕头市澄海凤翔中学高考数学一模试卷 文（含解析）.doc

广东省汕头市澄海凤翔中学2015届高考数学一模试卷（文科） 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）设i为虚数单位，则复数等于（）abcd2（5分）已知集合a=1，2，m，b=3，4，ab=1，2，3，4则m=（）a0b3c4d3或43（5分）已知向量=（1，cos），=（1，2cos），且，则cos2等于（）a1b0cd4（5分）经过圆x22x+y2=0的圆心且与直线x+2y=0平行的直线方程是（）ax+2y1=0bx2y2=0cx2y+1=0dx+2y+2=05（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z=2xy的最大值为（）a3bc5d66（5分）在abc中，a=，ab=2，且abc的面积为，则边ac的长为（）a1bc2d37（5分）已知一个几何体的三视图及其大小如图，这个几何体的体积v=（）a12b16c18d648（5分）函数f（x）=|x2|lnx在定义域内零点的个数为（）a0b1c2d39（5分）有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7则下列判断正确的是（）a甲射击的平均成绩比乙好b乙射击的平均成绩比甲好c甲比乙的射击成绩稳定d乙比甲的射击成绩稳定10（5分）设向量，定义一运算：（b1，b2）=（a1b1，a2b2）已知，点q在y=f（x）的图象上运动，且满足（其中o为坐标原点），则y=f（x）的最大值及最小正周期分别是（）abc2，d2，4二、填空题（本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分）（一）必做题（1113题）11（5分）已知函数f（x）=，则f（0）=12（5分）已知等差数列an的首项a1=1，前三项之和s3=9，则an的通项an=13（5分）如图，是一程序框图，则输出结果为k=，s=（说明，m=n是赋值语句，也可以写成mn，或m：=n）二、选做题（1415题，考生只能从中选做一题）（几何证明选讲选做题）14（5分）如图所示，o的割线pab交o于a、b两点，割线pcd经过圆心o，已知pa=6，ab=，po=12，则o的半径是【坐标系与参数方程选做题】15在极坐标系（，）（02）中，直线被圆=2sin截得的弦的长是三、解答题（本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16（12分）已知函数f（x）=sin（2x+）（0）的图象过点（，1）（1）求的值；（2）在a bc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，若a2+b2c2=ab，求sinb17（12分）汽车是碳排放量比较大的行业之一，某地规定，从2014年开始，将对二氧化碳排放量超过130g/km的轻型汽车进行惩罚性征税检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽取5辆进行二氧化碳排放量检测，记录如下（单位：g/km）甲80110120140150乙100120x100160经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为乙=120g/km（1）从被检测的5辆甲品牌轻型汽车中任取2辆，则至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km的概率是多少？（2）求表中x的值，并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性18（14分）如图，在三棱锥pabc中，pab和cab都是以ab为斜边的等腰直角三角形，d、e、f分别是pc、ac、bc的中点（1）证明：平面def平面pab； （2）证明：abpc；（3）若ab=2pc=，求三棱锥pabc的体积19（14分）设数列an的前n项和为sn，点（an，sn）在直线x+y2=0上，nn*（1）证明数列an为等比数列，并求出其通项；（2）设f（n）=logan，记bn=an+1f（n+1），求数列bn的前n项和tn20（14分）已知点a（2，1）在抛物线e：x2=ay上，直线l1：y=kx+1（kr，且k0）与抛物线e相交于b，c两点，直线ab，ac分别交直线l2：y=1于点s，t（1）求a的值；（2）若|st|=2，求直线l1的方程；（3）试判断以线段st为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由21（14分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax2+bx，函数g（x）的图象在点（1，g（1）处的切线平行于x轴（1）确定a与b的关系；（2）若a0，试讨论函数g（x）的单调性；（3）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于两点a（x1，y1），b（x2，y2），（x1x2），证明：广东省汕头市澄海凤翔中学2015届高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）设i为虚数单位，则复数等于（）abcd考点：复数代数形式的乘除运算 专题：计算题分析：把给出的复数分子分母同时乘以2i，然后整理成a+bi（a，br）的形式即可解答：解：=故选a点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题2（5分）已知集合a=1，2，m，b=3，4，ab=1，2，3，4则m=（）a0b3c4d3或4考点：并集及其运算 专题：计算题分析：由两集合的并集为1，2，3，4，可得出m=3或m=4，即可求出m的值解答：解：a=1，2，m，b=3，4，ab=1，2，3，4，m=3或m=4，故选d点评：此题考查了并集及其运算，以及集合间的包含关系，是一道基本题型3（5分）已知向量=（1，cos），=（1，2cos），且，则cos2等于（）a1b0cd考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；二倍角的余弦 专题：计算题；三角函数的求值；平面向量及应用分析：利用向量数量积的性质可知，=0，结合向量数量积的坐标表示及二倍角的余弦公式即可求解解答：解：由向量数量积的性质可知，=12cos2=0即cos2=0cos2=0故选b点评：本题主要考查了向量的数量积的性质的坐标表示及二倍角余弦公式的简单应用，属于基础试题4（5分）经过圆x22x+y2=0的圆心且与直线x+2y=0平行的直线方程是（）ax+2y1=0bx2y2=0cx2y+1=0dx+2y+2=0考点：直线与圆的位置关系；直线的一般式方程与直线的平行关系 专题：直线与圆分析：通过圆的一般方程求出圆的圆心坐标，求出直线的斜率，然后求出所求直线的方程即可解答：解：因为圆x22x+y2=0的圆心为（1，0），与直线x+2y=0平行的直线的斜率为：所以经过圆x22x+y2=0的圆心且与直线x+2y=0平行的直线方程是：y=（x1），即x+2y1=0故选 a点评：本题考查圆的一般方程求解圆的圆心坐标，直线的斜率与直线的点斜式方程的求法，考查计算能力5（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z=2xy的最大值为（）a3bc5d6考点：简单线性规划 专题：计算题；不等式的解法及应用分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的abc及其内部，再将目标函数z=2xy对应的直线进行平移，可得当x=2，y=1时，z取得最大值5解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的abc及其内部，其中a（1，1），b（2，1），c（0.5，0.5）设z=f（x，y）=2xy，将直线l：z=2xy进行平移，当l经过点b时，目标函数z达到最大值z最大值=f（2，1）=5故选：c点评：题给出二元一次不等式组，求目标函数z=2xy的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题6（5分）在abc中，a=，ab=2，且abc的面积为，则边ac的长为（）a1bc2d3考点：三角形中的几何计算 专题：解三角形分析：利用三角形的面积公式sabc=及已知条件即可得出解答：解：由sabc=，解得b=1ac=b=1故选a点评：熟练掌握三角形的面积计算公式是解题的关键7（5分）已知一个几何体的三视图及其大小如图，这个几何体的体积v=（）a12b16c18d64考点：由三视图求面积、体积 专题：图表型分析：由几何体的三视图知这个几何体是一个下面是圆柱，底面直径为4，高为3，上面是圆锥，高为3的简单组合体解答：解：由几何体的三视图知这个几何体是一个下面是圆柱，上面是圆锥的简单几何体圆柱底面直径为4，高为3，圆锥高为3，体积为：v=sh+sh=223+223=16cm3故选b点评：本题考查三视图求几何体的表面积、体积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键8（5分）函数f（x）=|x2|lnx在定义域内零点的个数为（）a0b1c2d3考点：函数的零点；对数函数的单调性与特殊点 专题：函数的性质及应用分析：先求出函数的定义域，再把函数转化为对应的方程，在坐标系中画出两个函数y1=|x2|，y2=lnx（x0）的图象求出方程的根的个数，即为函数零点的个数解答：解：由题意，函数f（x）的定义域为（0，+）；由函数零点的定义，f（x）在（0，+）内的零点即是方程|x2|lnx=0的根令y1=|x2|，y2=lnx（x0），在一个坐标系中画出两个函数的图象：由图得，两个函数图象有两个交点，故方程有两个根，即对应函数有两个零点故选c点评：本题考查了函数零点、对应方程的根和函数图象之间的关系，通过转化和作图求出函数零点的个数9（5分）有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7则下列判断正确的是（）a甲射击的平均成绩比乙好b乙射击的平均成绩比甲好c甲比乙的射击成绩稳定d乙比甲的射击成绩稳定考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数 专题：概率与统计分析：要估计两组数据的稳定性，则要比较两组数据的方差，先求出这两组数据的平均数，再利用方差的公式做出两组数据的方差，比较发现乙的稳定性好于甲的稳定性解答：解：x甲=（7+8+4）=7，x乙=（9+5+7）=7s甲2=（77）2+（47）2=4，s乙2=（97）2+（77）2=1.2甲乙射击的平均成绩一样，乙比甲的射击成绩稳定故选d点评：本题考查两组数据的稳定性，即考查两组数据的方差，在包含两组数据的题目中，往往会通过求平均数考查其平均水平，通过方差判断其稳定性10（5分）设向量，定义一运算：（b1，b2）=（a1b1，a2b2）已知，点q在y=f（x）的图象上运动，且满足（其中o为坐标原点），则y=f（x）的最大值及最小正周期分别是（）abc2，d2，4考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：由题意可得q的坐标，进而可得，可得函数解析式为y=f（x）=2sin2x，由三角函数的知识易得答案解答：解：由题意可得=（，2sinx1），故点q的坐标为（，2sinx1），由点q在y=f（x）的图象上运动可得，消掉x1可得y=2sin2x，即y=f（x）=2sin2x故可知最大值及最小正周期分别是2，故选c点评：本题考查平面向量的数量积的运算，由新定义得出函数的解析式是解决问题的关键，属中档题二、填空题（本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分）（一）必做题（1113题）11（5分）已知函数f（x）=，则f（0）=1考点：函数的值 专题：计算题；函数的性质及应用分析：根据分段函数的定义，得自变量0对应的表达式是3x，由指数运算法则可得f（0）=1解答：解：f（x）=，f（0）=30=1故答案为：1点评：本题给出分段函数，求自变量0对应的函数值，着重考查了分段函数的含义和指数运算法则等知识，属于基础题12（5分）已知等差数列an的首项a1=1，前三项之和s3=9，则an的通项an=2n1考点：等差数列的通项公式；等差数列的前n项和 专题：等差数列与等比数列分析：由首项a1=1，s3=9，联立后可求等差数列的公差，则通项公式可求解答：解：设等差数列an的公差为d，由s3=a1+（a1+d）+（a1+2d）=9，即3a1+3d=9，所以a1+d=3，因为a1=1，所以1+d=3，则d=2所以，an=a1+（n1）d=1+2（n1）=2n1故答案为2n1点评：本题考查了等差数列的通项公式及前n项和公式，是基础的运算题，属会考题型13（5分）如图，是一程序框图，则输出结果为k=11，s=（说明，m=n是赋值语句，也可以写成mn，或m：=n）考点：程序框图 专题：图表型分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是输出满足条件s=+的值解答：解：根据题意，本程序框图为求和运算第1次循环：s=0+，k=3第2次循环：s=+，k=5第3次循环：s=+，k=7第4次循环：s=+，k=9第5次循环：s=+，k=11此时，k10输出k=11，s=+=故答案为：11，点评：本题主要考查程序框图，通过对程序框图的认识和理解按照程序框图的顺序进行执行，属于基础题二、选做题（1415题，考生只能从中选做一题）（几何证明选讲选做题）14（5分）如图所示，o的割线pab交o于a、b两点，割线pcd经过圆心o，已知pa=6，ab=，po=12，则o的半径是8考点：与圆有关的比例线段 专题：立体几何分析：根据题意，利用割线定理直接求解解答：解：已知：o的割线pab交o于a、b两点，割线pcd经过圆心o，根据割线定理：papb=pcpd设o的半径为r，把pa=6，ab=，po=12，代入割线定理得：6（6+）=（12r）（12+r）求得：r=8故答案为：8点评：本题考查的知识点：割线定理和运算技巧【坐标系与参数方程选做题】15在极坐标系（，）（02）中，直线被圆=2sin截得的弦的长是考点：点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系 专题：直线与圆分析：把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心和半径，利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离d，再由弦长公式求得结果解答：解：直线 即 y=x，圆=2sin化为直角坐标方程为 x2+y2=2y，即 x2+（y1）2=1，表示以（0，1）为圆心，半径等于1的圆圆心到直线的距离d=，故弦长为2=，故答案为 点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于基础题三、解答题（本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16（12分）已知函数f（x）=sin（2x+）（0）的图象过点（，1）（1）求的值；（2）在a bc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，若a2+b2c2=ab，求sinb考点：余弦定理；正弦定理 专题：三角函数的求值；解三角形分析：（1）代入点的坐标，由特殊角的三角函数值，即可求得所求值；（2）运用余弦定理，可得c，再由条件可得a，运用三角形的内角和定理即可得到b，进而得到sinb解答：解：（1）由得：，0，故，；（2）a2+b2c2=ab，0c，由（1）知：，0a，点评：本题考查三角函数的求值，同时考查余弦定理的运用，以及诱导公式的运用，考查运算能力，属于中档题17（12分）汽车是碳排放量比较大的行业之一，某地规定，从2014年开始，将对二氧化碳排放量超过130g/km的轻型汽车进行惩罚性征税检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽取5辆进行二氧化碳排放量检测，记录如下（单位：g/km）甲80110120140150乙100120x100160经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为乙=120g/km（1）从被检测的5辆甲品牌轻型汽车中任取2辆，则至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km的概率是多少？（2）求表中x的值，并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性考点：古典概型及其概率计算公式；极差、方差与标准差 专题：概率与统计分析：（1）用枚举法列出从被检测的5辆甲品牌轻型汽车中任取2辆的所有不同的二氧化碳排放量结果，查出至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km的种数，然后由古典概型概率计算公式求概率；（2）由平均数计算x的值，求出甲品牌二氧化碳排放量的平均数，再由求出甲乙的方差，比较平均数和方差得答案解答：解：（1）从被检测的5辆甲品牌的轻型汽车中任取2辆，共有10种不同的二氧化碳排放量结果：（80，110），（80，120），（80，140），（80，150），（110，120），（110，140），（110，150），（120，140），（120，150），（140，150） 设“至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km”为事件a，则事件a包含以下7种不同的结果：（80，140），（80，150），（110，140），（110，150），（120，140），（120，150），（140，150）答：至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km的概率为0.7；（2）由题可知，解得 x=120 又，乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性好点评：本题考查了古典概型概率计算公式，训练了利用列举法列举基本事件个数，考查了平均数与方差公式，是基础的计算题18（14分）如图，在三棱锥pabc中，pab和cab都是以ab为斜边的等腰直角三角形，d、e、f分别是pc、ac、bc的中点（1）证明：平面def平面pab； （2）证明：abpc；（3）若ab=2pc=，求三棱锥pabc的体积考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面平行的判定 分析：（1）根据三角形的中位线定理可得efab，dfpb，利用面面平行的判定定理可证平面def平面pab；（2）先证ab平面pgc，再由线面垂直的性质得abpc（3）先求得三角形pgc的面积，根据vpabc=spgcab计算棱锥的体积解答：解：（1）证明：e、f分别是ac、bc的中点，efabab平面pab，ef平面pab，ef平面pab，同理df平面pabefdf=f且ef平面def，df平面def，平面def平面pab（2）证明：取ab的中点g，连结pg、cg，pab和cab都是以ab为斜边的等腰直角三角形，pgab，cgab，pgcg=g，且pg平面pcg，cg平面pcg，ab平面pcgpc平面pcg，abpc；（3）解：在等腰直角三角形pab中，g是斜边ab的中点，同理 ，pcg是等边三角形，ab平面pcg，点评：本题考查了面面平行的证明，线面垂直的证明及性质及三棱锥的体积计算，考查了学生的空间想象能力与推理论证能力，熟练掌握面面平行的判定定理及线面垂直的判定定理的条件是关键19（14分）设数列an的前n项和为sn，点（an，sn）在直线x+y2=0上，nn*（1）证明数列an为等比数列，并求出其通项；（2）设f（n）=logan，记bn=an+1f（n+1），求数列bn的前n项和tn考点：数列的求和；等比数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：（1）由于点（an，sn）在直线x+y2=0上，nn*可得an+sn2=0，利用“当n=1时，2a12=0，解得a1当n2时，an=snsn1”，再利用等比数列的定义及其通项公式即可证明（2）f（n）=logan=n1可得bn=an+1f（n+1）=，利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出解答：证明：（1）点（an，sn）在直线x+y2=0上，nn*an+sn2=0，当n=1时，2a12=0，解得a1=1当n2时，an+sn2=0，an1+sn12=0，anan1+an=0，=数列an为等比数列，首项为1，公比为an=（2）解：f（n）=logan=n1bn=an+1f（n+1）=，数列bn的前n项和tn=+，=+，两式相减可得：=+=，tn=点评：本题考查了等比数列的定义及其通项公式、等比数列的前n项和公式、“错位相减法”、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题20（14分）已知点a（2，1）在抛物线e：x2=ay上，直线l1：y=kx+1（kr，且k0）与抛物线e相交于b，c两点，直线ab，ac分别交直线l2：y=1于点s，t（1）求a的值；（2）若|st|=2，求直线l1的方程；（3）试判断以线段st为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由考点：抛物线的简单性质 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）根据点a（2，1）在抛物线e：x2=ay上，可求a的值；（2）y=kx+1代入抛物线方程，利用韦达定理，确定s，t的坐标，根据|st|=2，即可求直线l1的方程；（3）确定以线段st为直径的圆的方程，展开令x=0，即可求这两个定点的坐标解答：解：（1）点a（2，1）在抛物线e：x2=ay上，a=4（1分）（2）由（1）得抛物线e的方程为x2=4y设点b，c的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），依题意，y=kx+1代入抛物线方程，消去y得x24kx4=0，解得x1+x2=4k，x1x2=4（2分）直线ab的斜率，故直线ab的方程为（3分）令y=1，得，点s的坐标为（4分）同理可得点t的坐标为（5分）=（6分），由，得20k2=16k2+16，解得k=2，或k=2，（7分）直线l1的方程为y=2x+1，或y=2x+1（9分）（3）设线段st的中点坐标为（x0，1），则=（10分）而|st|2=，（11分）以线段st为直径的圆的方程为=展开得（12分）令x=0，得（y+1）2=4，解得y=1或y=3（13分）以线段st为直径的圆恒过两个定点（0，1），（0，3）（14分）点评：本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查圆的方程，考查学生的计算能力，属于中档题21（14分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax2+bx，函数g（x）的图象在点（1，g（1）处的切线平行于x轴（1）确定a与b的关系；（2）若a0，试讨论函数g（x）的单调性；（3）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于两点a（x1，y1），b（x2，y2），（x1x2），证明：考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；不等式的证明 专题：导数的综合应用分析：（1）利用导数的几何意义即可得出；（2）通过求导得到g（x），通过对a分类讨论即可得出其单调性；（3）证法一：利用斜率计算公式，令（t1），即证（t1），令（t1），通过求导利用函数的单调性即可得出；证法二：利用斜率计算公式，令h（x）=lnxkx，通过求导，利用导数研究其单调性即可得出；证