平面内失稳.doc

第五章 框架平面内失稳框架平面内失稳因框架的组成和荷载作用条件不同而有区别，可以根据框架平面内失稳时其柱顶有无侧移而划分为无侧移失稳和有侧移失稳两类。图5.1所示为作用有对称荷载的单跨对称框架，用交叉支撑或剪力墙阻止柱顶侧移，两个集中荷载P均沿柱轴线作用，若不考虑几何缺陷，当荷载比例增加到失稳荷载Pcr时，框架产生图中虚线所示的对称弯曲变形，即发生分岔失稳，与理想轴心受力构件屈曲性质相同。图5.2所示也为对称荷载作用的单跨对称框架，但柱顶可以移动，当荷载P=Pcr时，框架将产生有侧向位移的反对称弯曲变形（如图5.2中虚线所示），若不计几何缺陷，这种失稳仍为分岔失稳。图5.1 无侧移单层单跨对称框架 图5.2 有侧移单层单跨对称框架对图5.3（a）无侧移和图5.3（c）有侧移单层双跨框架，当荷载沿柱轴线作用时都属于分岔失稳；但当荷载直接作用在横梁上（图5.3（b）、（d）或者在有侧移框架柱顶还作用有水平荷载（图5.3（d），由于荷载开始作用就产生弯曲变形和水平侧移，属于极值点失稳。图5.3 单层双跨框架通过对框架平面内两类失稳分析后发现，当框架的构成、荷载作用条件相同时，有侧移框架的失稳荷载比无侧移框架的小，因此在计算框架的失稳荷载之前，应首先明确框架柱顶是否可能产生水平位移。求解框架平面内失稳荷载的方法有平衡法、位移法、矩阵位移法和近似法等。本章只考虑框架在节点承受集中荷载且丧失稳定前各杆只受轴力而无弯曲变形的情况，即只讨论框架丧失第一类稳定性的问题。5.1 平衡法确定框架弹性失稳荷载以图5.4所示下端铰接的无侧移单跨对称刚架为例，用平衡法求解其弹性临界荷载。计算时假定如下：材料为弹性体；不考虑初始缺陷，集中荷载P沿柱轴线作用于柱顶，没有水平力；不计柱的轴向压缩变形；不计刚架失稳时横梁中的轴线力。图5.4 柱脚铰接无侧移刚架将刚架划分为图5.4（b）所示隔离体，柱的受力和变形具有对称性，只画左侧柱即可，左柱的平衡微分方程为 （5.1）式中，为柱平面内抗弯刚度，为柱高。其通解为 （5.2）引入边界条件、得到 ，B=0，则 （5.3） （5.4）对梁BC，由于不计梁中轴线压力，平衡方程为 （5.5）通解为 （5.6）由边界条件和，得到，则 （5.7） （5.8）根据节点B变形协调条件，得到 （5.9）式（5.9）中，以、梁与柱线刚度比代入后可得刚架的屈曲方程 （5.10）若求出的临界荷载用计算长度系数的函数形式表示，即，知，则式（5.10）为 （5.11）当确定梁与柱线刚度比后，由式（5.11）解出计算长度系数，从而求得失稳荷载。例如：（1） 当横梁的线刚度接近于零时，相当于两端铰接,则，有（2） 当横梁的线刚度为无限大时，相当于一端铰接、一端固定，有（3） 当时，由，经过试算可得，则对不同的，。5.2 位移法求解框架的弹性失稳荷载承受节点荷载作用的框架，当荷载达到临界值时，可能产生弯曲变形，并在新的变形状态下维持平衡，用位移法求解临界荷载时，首先应确定考虑轴向力效应的转角位移方程，之后根据位移法形成稳定方程。5.2.1 无侧移弹性压弯构件的转角位移方程对图5.5所示无侧移的压弯构件，通过建立平衡微分方程，引入边界条件后得到挠曲线方程 （5.12）则构件两端转角分别是 （5.13） （5.14）联立式（5.13）和式（5.14），以、为未知量可以得到压弯构件的转角位移方程 （5.15） （5.16）式中，为欧拉临界力，称为构件的线刚度；和均称为抗弯刚度；和为抗弯刚度系数，也称为稳定系数，且有 , （5.17）从式（5.17）中可以看出，和均是的函数，当已知后，可以得到和。为计算方便，将它们之间的函数关系列成表5.1便于查用。图5.5 无侧移压弯构件表5.1 抗弯刚度系数C和S续表5.1 抗弯刚度系数C和S5.2.2 有侧移弹性压弯构件的转角位移方程对图5.6所示有相对侧移的压弯构件，用类似的推导可以得到其转角位移方程为 （5.18） （5.19）图5.6 有侧移压弯构件5.2.3 单层单跨框架的弹性失稳荷载对图5.7所示下端铰接的单层单跨框架，失稳时柱顶侧移而形成反对称屈曲变形，将框架分解成图5.7（b）所示隔离体，柱侧移角，左柱的线刚度，横梁线刚度记 。图5.7 柱脚铰接的有侧移单层单跨框架左柱的转角位移方程为，得 （5.20） （5.21）根据柱的平衡条件 （5.22）由式（5.21）、式（5.22）知 （5.23）将,代入式（5.23）得 （5.24）横梁的转角位移方程为 （5.25）由图5.7（c）所示节点B的力矩平衡条件为 （5.26）得到 （5.27）令为梁柱线刚度比，代入式（5.27），有 （5.28）由式（5.24）和式（5.28）得到稳定方程 （5.29）或 （5.30）已知后，根据表5.1的对应关系，通过试算得到，再算出计算长度系数，代入 后就可得到临界荷载。当时，由式（5.30）知，此时，则，相当于一端铰接，另一端可以移动但不能转动的轴心受压构件的屈曲荷载。当 时，式（5.30）变为，符合条件的解有三个：当时，；当时，；当时，。显然临界荷载应取最小值，即，说明当时，此框架为一不稳定的机构。当时，式（5.30）为，试算后得到，则。对于不同的，。或者将C和S的三角函数和直接代入式（5.30），可以得到此刚架的稳定方程 （5.31）给定后，直接算出值。5.2.4 多层单跨框架的弹性失稳荷载图5.8（a）为柱下端固定的双层单跨对称框架，上柱和下柱的轴线压力分别是和P，上柱和下柱的抗弯刚度系数分别是， 和，梁与柱刚性连接。图5.8 双层单跨框架1. 位移法求解图5.8（b）所示无侧移框架的对称失稳荷载图5.8（b）无侧移框架有两个未知量和，求解时不考虑横梁中轴线力。柱的线刚度分别为，；梁的线刚度分别为，。与节点B相连的柱、梁端弯矩分别为，由节点B的力矩平衡条件得到 （5.32）与节点C相连的柱和梁端弯矩分别为 ，由节点C的力矩平衡条件得到 （5.33）由式（5.32）、式（5.33）得到框架稳定方程 （5.34）当给定，和后，利用表5.1，通过试算可以得到下柱的，则可以得出失稳荷载，上柱的失稳荷载为。2. 位移法求作用图5.8（c）有侧移框架反对称失稳荷载未知量除节点转角和外，还有上、下层柱的侧移角和，且，。不但要建立节点B和C的弯矩平衡方程，还需建立上、下层柱间的两个水平切力平衡方程。求解时不计框架柱失稳时轴线压力的变化。与节点B有关的柱、梁端弯矩为 由节点B的弯矩平衡条件得到 （5.35）与节点C有关的柱、梁端弯矩为由节点C的弯矩平衡条件得到 （5.36）图5.8（c）反对称失稳的框架中每层柱的总水平切力为零，且每根柱本身的切力也为零，则下层柱的平衡条件为，其中,而，因此有 （5.37）上层柱的平衡条件为，而，因此 （5.58）联立式（5.35）、（5.36）、（5.37）、（5.38），以、为未知量，令系数行列式为零即得到框架的稳定方程，解之即可求出失稳荷载。5.2.5 多层多跨框架的弹性失稳荷载多层多跨框架也有无侧移和有侧移两种失稳形式，为了便于计算失稳荷载，有如下基本假定：（1）材料是弹性体；（2）组成框架的梁、柱均为等截面直杆；（3）没有水平外力作用，集中荷载均沿轴线作用；（4）失稳时同一层柱同时失稳；（5）按比例加载，不减载，各柱的轴线压力均为一定的比值，因此求出柱的失稳荷载Pcr后，其它柱的失稳荷载即为；（6）不计框架失稳时横梁中的轴线力；（7）不计框架失稳时柱轴线压力的变化。用位移法计算无侧移框架时，以各节点的转角为未知量。如框架有n个节点，就可建立n个节点的弯矩平衡方程，形成n个线性方程组，由未知量的系数形成阶矩阵，其行列式为零即形成稳定方程，由此可解出个解，取其中的最小值即为失稳荷载。用位移法计算有侧移框架时，以各节点的转角和每层的层间相对侧移角为未知量。若框架有个节点、层，则应建立个节点的弯矩平衡方程和个层间总剪力为零的平衡方程，这样由个线性代数方程组的系数行列式为零就形成了框架的稳定方程，但随着层数和跨数的增加，用位移法精确求解框架的失稳荷载，即求解次方程得出的最小值并不容易。可以采用近似法求解。5.3 近似法求解多层多跨框架的弹性失稳荷载用近似法求解多层多跨框架中某柱的失稳荷载时，只考虑与该柱直接相连的构件对其端部的约束作用，而忽略与其不直接相连的构件的影响，因此可选局部隔离体单独计算，这样就不必求解高阶方程。1. 无侧移的多层多跨框架对图5.9（a）所示通过设置支撑保证失稳时不发生侧移的多层多跨框架，梁与柱均为刚性连接，计算时假定21：（1） 框架中的柱（如AB柱）与其相连的上、下两根柱（AG和BH柱）同时失稳；（2） 框架失稳时，同一层的各横梁两端的转角大小相等，但方向相反；（3） 失稳时节点处梁端不平衡弯矩按该节点处柱的线刚度正比例地分配给柱端使之平衡；（4） 各柱的值相同，即其抗弯刚度系数均为C和S；（5） 不计横梁中轴线力的影响。图5.9（b）是为了确定AB柱失稳荷载而取的隔离体。利用压弯构件和纯弯构件的转角位移方程分别建立节点A、B的平衡方程，进而形成稳定方程，解之就可求得失稳荷载。与节点A有关的梁端、柱端弯矩有, , 图5.9 无侧移多层多跨框架节点A的平衡方程为，即 （5.39）令表示与节点相连的梁的线刚度之和与柱的线刚度之和的比值，它反映了梁与柱连接的约束刚度，称为柱上端约束参数，则式（5.39）变为 （5.40）同理可得节点的平衡方程 （5.41）式中表示与柱下端节点相连的梁的线刚度之和与柱线刚度之和的比值，称为柱下端约束参数。联立式（5.40）和式（5.41），由系数行列式为零，得到柱的稳定方程或 （5.42）将和的三角函数式（公式（5.17）代入，并用表示，经整理后，式(5.42)变为 （5.43）当已知、后，求解方程（5.43）即可得到计算长度系数，则。钢结构设计规范中将与、之间的关系列成表以备查用。2. 有侧移的多层多跨框架对图5.10（a）所示有侧移的多层多跨框架，确定AB柱的计算长度系数后即可得到其失稳荷载。图5.10有侧移框架计算时的假定中有一条与无侧移框架的有区别，即失稳时同一层的各横梁两端的转角不仅大小相等，方向也相同，而其它4条假定是一样的。取AB柱的计算简图如图5.10（b），图中梁与柱的长度和惯性矩符号与图5.9（a）中的相同，侧移角。与节点A有关的梁、柱端弯矩有 , 若，则。由节点A的平衡条件得到 （5.44）或 （5.45）式中K1的计算与无侧移框架的相同。同理，通过建立节点B的弯矩平衡方程，可以得到 （5.46）式中的计算与无侧移框架的相同。由柱的平衡方程，而， ，则又，整理后平衡方程为 （5.47）联立式（5.45）、式（5.46）和式（5.47），以、和为未知函数，由系数行列式为零则可以得到稳定方程 （5.48）展开方程（5.48）并用的三角函数表示和，经整理后稳定方程化为 （5.49）解之即可得到。为了便于计算，钢结构设计规范也将与、之间关系列成了表。5.4 矩阵位移法求解框架的屈曲荷载用矩阵位移法求解框架的临界荷载，关键在于确定考虑轴向力效应时杆件的单元刚度矩阵，然后将单元刚度矩阵转换并集成结构总刚度矩阵，由结构总刚度矩阵对应的行列式为零得到稳定方程，求解出屈曲荷载。5.4.1 压杆单元的刚度矩阵图5.11所示的单元AB，长度为l，线刚度，构件受力变形后，单元由AB位移至A，B，其两端的线位移为和，以向上为正，角位移为和，以顺时针方向为正。如不计单元的压缩变形，单元两端的切力为和，以向上为正，而力矩为和，以顺时针方向为正。 图5.11 单元AB两端的位移和力 由有侧移的压弯构件的转角位移方程（5.18）和（5.19）可以得到 （5.50a） （5.50b） （5.50c） （1）当时，即AB为受弯构件，抗弯刚度系数，用矩阵表达式（5.50a、b和c） （5.51）式（5.51）可简写为 （5.52）式中为单元的弯曲刚度矩阵。（2）当时，如图5.11所示有轴线压力P作用时，AB为压弯构件，同样可以得到力与位移的关系 （5.53）式中为单元压弯刚度矩阵，可以用能量法推出具体表达式。 单元的应变能U为 （5.54） 外力功W为 （5.55） 由U=W得到 （5.56） 对图5.11所示坐标系，用一个三次抛物线插值函数表示单元的挠曲线 （5.57） 单元AB两端的几何边界条件为则式（5.57）可表达为（5.58a）（5.58b）（5.58c）则式（5.56）变为令 （5.59a） （5.59b）则称为几何刚度矩阵，或初应力刚度矩阵，它反映了轴线压力P对单元抗弯刚度的影响。单元压弯刚度矩阵可表示为 （5.60）5.4.2 结构刚度矩阵和框架的屈曲条件 在图5.12所示的结构坐标系中，设杆端位移和杆端力为且有 （5.61）图5.12 坐标变换式中为结构坐标系中的单元刚度矩阵。结构坐标系中的单元刚度矩阵可由式（5.60）表示的单元坐标系中的单元刚度矩阵经过坐标变换得到，即 （5.62）式中称为坐标变换矩阵，其展开式为 （5.63）为正交矩阵，即；式中为由结构坐标轴转到相应单元坐标轴的转角，以顺时针转向为正。 由结构坐标系中的单元刚度矩阵“对号入座”后，可集合成框架结构的总体刚度矩阵。框架结构的屈曲条件为总刚度矩阵对应的行列式为零，即稳定方程为 （5.64）【例题5.1】用矩阵位移法计算图5.13所示单层框架的临界荷载。图5.13 单层框架解 结点的单元编号，单元坐标系和结构坐标系、结点位移分量编号等如图5.13b所示。不考虑杆件的轴向变形，结构的结点力为 根据式（5.62），各单元在结构坐标系中的单元刚