高三数学总复习 课时提升作业(六十七) 选修45 第二节 证明不等式的基本方法 文.doc

课时提升作业(六十七) 选修4-5 第二节 证明不等式的基本方法一、选择题1.a2+b2与2a+2b-2的大小关系是()(a)a2+b22a+2b-2(b)a2+b20,ab+bc+ca0,abc0,则a,b,c的取值范围是()(a)a0,b0,c0,b0,c0(c)a0,b0,c0,b0,c03.设a,b,c是互不相等的正数,则下列不等式中不恒成立的是()(a)a+b2ab(b)(a-b)+1a-b2(c)a2+b2+c2ab+bc+ca(d)|a-b|a-c|+|c-b|二、填空题4.若x+y+z=1,且x,y,zr,则x2+y2+z2与13的大小关系为.5.(2013西安模拟)已知ab0,cd0,m=ac-bd,n=(a-b)(c-d),则m与n的大小关系为.6.若x4,则x-1-x-2x-3-x-4.三、解答题7.(2013南昌检测)(1)求证:a2+b2+3ab+3(a+b).(2)a,b分别取何值时,上面不等式取等号.8.(2013苏州模拟)设ab0,求证:3a3+2b33a2b+2ab2.9.已知ab0,求证:(a-b)28aa+b2-ablga+lgb+lgc.11.(2013济宁模拟)已知a,b,c是全不相等的正实数,求证:b+c-aa+a+c-bb+a+b-cc3.12.证明不等式:a4+b4+c4a2b2+b2c2+c2a2abc(a+b+c).答案解析1.【解析】选d.a2+b2-2a-2b+2=(a-1)2+(b-1)20,a2+b22a+2b-2.2.【解析】选d.由abc0,知a,b,c要么同时大于零,要么有两个负,一个正,下面利用反证法说明.不妨假设a0,b0,c0知a-(b+c),又b+c0,a(b+c)(b+c)2,又由ab+bc+ca0,知bc-a(b+c),bc(b+c)2,即b2+bc+c20,即(b+c2)2+3c240,b0,c0.3.【解析】选b.选项a,如果a,b是正数,则a+b2ab(当且仅当a=b时取等号),而a,b是互不相等的正数,故正确;选项b,a-b不一定是正数,故不正确;选项c,a2+b2+c2=12(a2+b2+c2+a2+b2+c2)12(2ab+2ca+2bc)=ab+bc+ca,而a,b,c是互不相等的正数,故正确;选项d,|a-b|=|a-c+c-b|a-c|+|c-b|,当且仅当a-c与c-b同号时取等号,故正确.4.【解析】x2+y2+z2-13=13(3x2+3y2+3z2-1)=133x2+3y2+3z2-(x+y+z)2=13(x-y)2+(y-z)2+(z-x)20即x2+y2+z213.答案：x2+y2+z2135.【解析】ab0,cd0,m2=ac+bd-2abcd,n2=ac+bd-bc-ad,m2-n2=bc+ad-2abcd=(bc-ad)20,m2n2,又m0,n0,mn.答案：mn6.【解析】要比较x-1-x-2与x-3-x-4,可比较x-1+x-4与x-2+x-3的大小.令m=x-1+x-40,n=x-2+x-30.m2=2x-5+2(x-1)(x-4)=2x-5+2x2-5x+4,n2=2x-5+2(x-2)(x-3)=2x-5+2x2-5x+6.x2-5x+4x2-5x+6,m2n2,mn,即x-1+x-4x-3+x-2,x-1-x-2x-3-x-4.答案：0,故a-b0,3a2-2b22a2-2b2=2(a+b)(a-b)0,所以(3a2-2b2)(a-b)0,即3a3+2b33a2b+2ab2.9.【证明】要证原不等式组成立,只需证(a-b)24aa+b-2ab(a-b)24b,即证(a-b2a)2(a-b)2(a-b2b)2,只需证a-b2aa-ba-b2b,即证a+b2a1a+b2b,即ba1ab,只需证ba1b0,ba1lga+lgb+lgc,只需证:lg(a+b2b+c2c+a2)lg(abc),只需证:a+b2b+c2c+a2abc.a+b2ab0,b+c2bc0,c+a2ca0,a+b2b+c2c+a2abc0成立.a,b,c为不全相等的正数,上式中等号不成立.原不等式成立.方法二:a,b,c正实数,a+b2ab0,b+c2bc0,c+a2ca0,又a,b,c为不全相等的实数,a+b2b+c2c+a2abc,lg(a+b2b+c2c+a2)lg(abc),即lga+b2+lgb+c2+lgc+a2lga+lgb+lgc.11.【证明】方法一:要证b+c-aa+a+c-bb+a+b-cc3,只需证明ba+ca-1+cb+ab-1+ac+bc-13,即证:ba+ca+cb+ab+ac+bc6.由a,b,c为全不相等的正实数得ba+ab2,ca+ac2,cb+bc2,ba+ca+cb+ab+ac+bc6,b+c-aa+a+c-bb+a+b-cc3成立.方法二:a,b,c全不相等,ba与ab,ca与ac,cb与bc全不相等,ba+ab2,ca+ac2,cb+bc2,三式相加得ba+ca+cb+ab+ac+bc6,(ba+ca-1)+(cb+ab-1)+(ac+bc-1)3,即b+c-aa+a+c-bb+a+b-cc3.12.【证明】a4+b42a2b2,b4+c42b2c2,c4+a42a2c2,2(a4+b4+c4)2(a2b2+b2c2+a2c2),即a4+b4+c4a2b2+b2c2+a2c2.又a2