高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第七节 抛物线课件 文.ppt

第七节抛物线 总纲目录 教材研读 1 抛物线的概念 考点突破 2 抛物线的标准方程和几何性质 考点二抛物线的标准方程 考点一抛物线的定义及应用 考点三抛物线的几何性质 考点四直线与抛物线的位置关系 1 抛物线的概念平面内与一个定点f和一条定直线l l不经过点f 距离 相等的点的轨迹叫做抛物线 点f叫做抛物线的 焦点 直线l叫做抛物线的 准线 教材研读 2 抛物线的标准方程和几何性质 抛物线的几个常用结论设ab是过抛物线y2 2px p 0 焦点f的弦 若a x1 y1 b x2 y2 则 1 x1x2 y1y2 p2 2 af bf 弦长 ab x1 x2 p 为弦ab的倾斜角 3 4 以弦ab为直径的圆与准线相切 抛物线的焦半径公式抛物线上任意一点p x0 y0 到焦点f的距离称为焦半径 有以下结论 p 0 1 对于抛物线y2 2px pf x0 2 对于抛物线y2 2px pf x0 3 对于抛物线x2 2px pf y0 4 对于抛物线x2 2px pf y0 1 若点p到点f 0 2 的距离比它到直线y 4 0的距离小2 则p的轨迹方程为 a y2 8xb y2 8xc x2 8yd x2 8y c 答案cp到f 0 2 的距离比它到直线y 4 0的距离小2 因此p到f 0 2 的距离与它到直线y 2 0的距离相等 故p的轨迹是以f为焦点 y 2为准线的抛物线 所以p的轨迹方程为x2 8y 2 抛物线y 2x2的焦点坐标是 a b c d c 答案c抛物线的标准方程为x2 y 所以焦点坐标是 3 以x 1为准线的抛物线的标准方程为 a y2 2xb y2 2xc y2 4xd y2 4x d 答案d由准线x 1可设抛物线的方程为y2 2px p 0 且 1 p 2 所以抛物线的方程为y2 4x 故选d 4 若抛物线y 4x2上的一点m到焦点f的距离为1 则点m的纵坐标是 a b c d 0 b 答案b抛物线的标准方程为x2 y m到准线的距离等于m到焦点的距离 又准线方程为y 设m x y 则y 1 y 5 动圆过点 1 0 且与直线x 1相切 则动圆圆心的轨迹方程为 y2 4x 答案y2 4x 解析由已知得 圆心到点 1 0 的距离与到直线x 1的距离相等 根据抛物线的定义易知动圆圆心的轨迹方程为y2 4x 6 若抛物线的焦点为直线3x 4y 12 0与坐标轴的交点 则抛物线的标准方程为 x2 12y或y2 16x 答案x2 12y或y2 16x 解析对于直线方程3x 4y 12 0 令x 0 得y 3 令y 0 得x 4 所以抛物线的焦点坐标为 0 3 或 4 0 当焦点坐标为 0 3 时 设方程为x2 2py p 0 则 3 所以p 6 此时抛物线的标准方程为x2 12y 当焦点坐标为 4 0 时 设方程为y2 2px p 0 则 4 所以p 8 此时抛物线的标准方程为y2 16x 所以所求抛物线的标准方程为x2 12y或y2 16x 典例1 1 已知抛物线y2 2px p 0 的焦点为f 点p1 x1 y1 p2 x2 y2 p3 x3 y3 在抛物线上 且2x2 x1 x3 则有 a fp1 fp2 fp3 b fp1 2 fp2 2 fp3 2c fp1 fp3 2 fp2 d fp1 fp3 fp2 2 2 已知抛物线c y2 8x的焦点为f 准线为l p是l上一点 q是直线pf与c的一个交点 若 4 则 qf a b 3c d 2 考点一抛物线的定义及应用 考点突破 3 2018安徽合肥质检 已知m是抛物线x2 4y上一点 f为其焦点 点a在圆c x 1 2 y 5 2 1上 求 ma mf 的最小值 答案 1 c 2 b 解析 1 根据抛物线的定义知 fp1 x1 fp2 x2 fp3 x3 fp1 fp3 x1 x3 p 2x2 p 2 2 fp2 2 4 点q在线段pf上 且在两端点之间 过q作qm l 垂足为m 由抛物线定义知 qf qm 设抛物线的准线l与x轴的交点为n 则 fn 4 又易知 pqm pfn 则 即 qm 3 即 qf 3 故选b 3 依题意 由点m向抛物线x2 4y的准线l y 1引垂线 垂足为m1 则有 ma mf ma mm1 结合图形可知 ma mm1 的最小值等于圆心c 1 5 到y 1的距离再减去圆c的半径 即等于6 1 5 因此 ma mf 的最小值是5 2 应用的规律 提醒 建立函数关系后 一定要根据题目条件探求自变量的取值范围 即函数的定义域 1 1已知动点p的坐标 x y 满足方程5 3x 4y 12 则点p的轨迹是 a 圆b 椭圆c 双曲线d 抛物线 d 答案d由5 3x 4y 12 动点p到定点 1 2 的距离等于其到直线l 3x 4y 12 0的距离 点p的轨迹是抛物线 1 2设p是抛物线y2 4x上的一个动点 f为抛物线的焦点 若b 3 2 则 pb pf 的最小值为 4 答案4 解析如图 过点b作bq垂直准线于点q 交抛物线于点p1 连接p1f fb 则 p1q p1f 则有 pb pf p1b p1q bq 4 即 pb pf 的最小值为4 典例2 1 以x轴为对称轴 原点为顶点的抛物线上的一点p 1 m 到焦点的距离为3 则抛物线的方程是 a y 4x2b y 8x2c y2 4xd y2 8x 2 已知抛物线的顶点是原点 对称轴为坐标轴 并且经过点p 2 4 则该抛物线的标准方程为 考点二抛物线的标准方程 答案 1 d 2 y2 8x或x2 y 2 1如图 过抛物线y2 2px p 0 的焦点f的直线依次交抛物线及准线于点a b c 若 bc 2 bf 且 af 4 则抛物线的方程为 a y2 8xb y2 4xc y2 2xd y2 x b 答案b如图 分别过点a b作准线的垂线 交准线于点e d 设准线与x轴交于点g 设 bf a 则由已知得 bc 2a 由定义得 bd a 故 bcd 30 在rt ace中 af 4 ac 4 3a 2 ae ac 4 3a 8 从而得a ae fg 即 p 2 抛物线方程为y2 4x 故选b 典例3已知抛物线y2 2px p 0 的焦点为f a x1 y1 b x2 y2 是过f的直线与抛物线的两个交点 求证 1 y1y2 p2 x1x2 2 为定值 3 以ab为直径的圆与抛物线的准线相切 考点三抛物线的几何性质 因为x1x2 x1 x2 ab p 所以 定值 3 设ab的中点为m x0 y0 分别过a b作准线的垂线 垂足为c d 过m作准线的垂线 垂足为n 则 mn ac bd af bf ab 所以以ab为直径的圆与抛物线的准线相切 方法技巧抛物线几何性质的应用技巧 1 涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考 通过图形可以直观地看出抛物线的顶点 对称轴 开口方向等几何特征 体现了数形结合思想解题的直观性 2 与抛物线的焦点弦长有关的问题 可直接应用公式求解 解题时 需依据抛物线的标准方程 确定弦长公式是由交点横坐标定还是由交点纵坐标定 是p与交点横 纵 坐标的和还是与交点横 纵 坐标的差 这是正确解题的关键 3 1已知过抛物线y2 2px p 0 的焦点 斜率为2的直线交抛物线于a x1 y1 b x2 y2 x1 x2 两点 且 ab 9 1 求该抛物线的方程 2 o为坐标原点 c为抛物线上一点 若 求 的值 2 由p 4 4x2 5px p2 0可简化为x2 5x 4 0 又x1 x2 从而x1 1 x2 4 y1 2 y2 4 从而a 1 2 b 4 4 设 x3 y3 1 2 4 4 4 1 4 2 又c为抛物线上一点 所以 8x3 即 2 2 1 2 8 4 1 即 2 1 2 4 1 解得 0或 2 典例4 2017课标全国 20 12分 设a b为曲线c y 上两点 a与b的横坐标之和为4 1 求直线ab的斜率 2 设m为曲线c上一点 c在m处的切线与直线ab平行 且am bm 求直线ab的方程 考点四直线与抛物线的位置关系 解析 1 设a x1 y1 b x2 y2 x1 x2 则y1 y2 x1 x2 4 于是直线ab的斜率k 1 2 由y 得y 设m x3 y3 由题设知 1 解得x3 2 于是m 2 1 设直线ab的方程为y x m 故线段ab的中点为n 2 2 m mn m 1 将y x m代入y 得x2 4x 4m 0 当 16 m 1 0 即m 1时 x1 2 2 2 从而 ab x1 x2 4 由题设知 ab 2 mn 即4 2 m 1 解得m 7 所以直线ab的方程为y x 7 方法技巧解决直线与抛物线位置关系问题的方法 1 直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆 双曲线的位置关系类似 一般要用到根与系数的关系 2 有关直线与抛物线相交的弦长问题 要注意直线是否过抛物线的焦点 若过抛物线的焦点 可直接使用公式 ab xa xb