§2.8追及和相遇问题的求解方法.doc

2008-2009学年度高一物理必修1活动单2.8 追及和相遇问题的求解方法学习目标：（1）会分析追及、相遇和避碰问题；（2）体会如何根据临界条件求解临界问题；（3）注意一个物理问题可有多种分析方法.活动一、探究追及问题的常见情形：1、“追及”问题的主要是研究两个物体在追赶过程中某时刻能否处于同一位置，常见的情形有三种：、初速度为零的匀加速运动的物体甲追赶同方向的匀速运动的物体乙，一定能追上，追上前有最大距离的条件是两物体速度相等，即。例1、甲乙两物体在同一条直线上沿同一方向运动，乙以6m/s的速度做匀速直线运动，从计时时起，甲在乙后7m处做初速度为为零，加速度为2m/s2的匀加速直线运动，甲能否追上乙？、匀速运动的物体甲追赶同向匀加速运动的物体乙，存在一个能否追上的问题判断方法是假设甲乙两物体能处在同一位置时，比较此时的速度大小，若，能追上；若，不能追上；如果始终追不上，当两物体速度相等时，两物体的间距最小也可假定速度相等，从位移关系判断例2、AB两辆汽车行驶在一条平直公路上，A车在B车后面以速度V做匀速运动，B车在前面做初速度为零的匀加速运动，加速度为a，两车同向行驶，开始时两车相距为s，为使两车可相遇两次，求V、a、S所满足的关系？拓展：两车相遇一次或不相遇的条件又是什么呢？拓展演练1：（2005年徐州模考）在一条平直的公路上，乙车以10m/s的速度匀速行驶，甲车在乙车的后面作初速度为15m/s，加速度大小为0.5m/s2的匀减速运动，则两车初始距离L满足什么条件时可以使（1）两车不相遇；（2）两车只相遇一次；（3）两车能相遇两次（设两车相遇时互不影响各自的运动）。答案：设两车速度相等经历的时间为t，则甲车恰能追及乙车时，应有其中，解得若，则两车等速时也未追及，以后间距会逐渐增大，及两车不相遇。若，则两车等速时恰好追及，两车只相遇一次，以后间距会逐渐增大。若，则两车等速时，甲车已运动至乙车前面，以后还能再次相遇，即能相遇两次。拓展演练2：如图224所示，处于平直轨道上的甲、乙两物体相距为s，同时、同向开始运动，甲以初速度v、加速度a1做匀加速直线运动，乙做初速度为零、加速度为a2的匀加速直线运动.假设甲能从乙旁边通过，下述情况可能发生的是（ ）Aa1=a2 时，能相遇两次 B. a1a2时，能相遇两次C.a1a2时，能相遇两次 D.a1a2时，能相遇一次解答：若a1=a2或a1a2，总有v甲v乙，甲追上乙后，乙不可能再追上甲，只能相遇一次.若a1a2，开始一段时间内，v甲v乙，甲可能追上乙，然后又有v甲v乙，乙又能追上甲，故甲、乙可能相遇两次.C选项正确.、匀减速运动的物体追赶同方向的匀速运动的物体时， 若二者速度相等时，追赶者仍没有追上被追赶者，则追赶者永远追不上被追赶者，此时二者有最小距离；若二者相遇时，追赶者的速度等于被追赶者的速度，则刚好追上，也是二者避免碰撞的临界条件；若二者相遇时，追赶者的速度仍大于被追赶者的速度，则还有一次被被追赶者追上追赶者的机会，其间速度相等时二者的距离有一个最大值。例3、一列快车正以20m/s的速度在平直轨道上运动时，发现前方180m处有一货车正以6m/s速度匀速同向行驶，快车立即制动，快车作匀减速运动，经40s才停止，问是否发生碰车事故？（会发生碰车事故）总结：追和被追的两者的速度相等常是能追上、追不上、二者距离有极值的临界条件.活动二、探究相遇问题的条件：2相遇问题特点：讨论相遇的问题，其实质就是分析讨论两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置问题。一定要抓住两个关系：即时间关系和位移关系。一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能否相遇或两者距离最大、最小的临界条件。例4、如图所示，a、b分别表示先后从同一地点以相同的初速度做匀变速直线运动的两个物体的速度图像，则下列说法正确的是（ ）A.4 s末两物体的速度相等B.4 s末两物体在途中相遇C.5 s末两物体的速率相等D.5 s末两物体相遇解析：由vt图象可知，t=4 s时，a、b两物体速度大小均为10 m/s，但方向相反，故A选项错；由图象可求得在前4 s内，a、b两物体的位移相等，即a、b在t=4 s时相遇，B选项正确，D选项错；5 s末，va=20 m/s，vb=0，它们的速率不相等，C选项错.答案：B活动三、探究追及和相遇问题的求解方法求解两物体在同一直线上的追及、相遇或避免碰撞问题中关键的条件是：两物体能否同时到达空间某位置.因此应分别对两物体研究，然后利用时间关系、速度关系、位移关系解出.常见求解方法：1. 利用不等式求解例5、火车以速率V1向前行驶，司机突然发现在前方同一轨道上距车为S处有另一辆火车，它正沿相同的方向以较小的速率V2作匀速运动，于是司机立即使车作匀减速运动，加速度大小为a,要使两车不致相撞，求出a应满足关式。分析与解：解法一：设经过t时刻两车相遇，则有，整理得：要使两车不致相撞，则上述方程无解，即解得。解法二：要使两车不相撞，其位移关系应为v1tat2sv2t即at2（v2v1）ts0对任一时间t，不等式都成立的条件为（v2v1）22as0由此得a。总结：利用不等式求解，思路有二：其一是先求出在任意时刻t，两物体间的距离y=f(t),若对任何t，均存在y=f(t)0,则这两个物体永远不能相遇；若存在某个时刻t，使得y=f(t),则这两个物体可能相遇。其二是设在t时刻两物体相遇，然后根据几何关系列出关于t的方程f(t)=0,若方程f(t)=0无正实数解，则说明这两物体不可能相遇；若方程f(t)=0存在正实数解，则说明这两个物体可能相遇。拓展演练：甲、乙两物体相距s，在同一直线上同方向做匀减速运动，速度减为零后就保持静止不动。甲物体在前，初速度为v1，加速度大小为a1。乙物体在后，初速度为v2，加速度大小为a2，且知v1v2，但两物体一直没有相遇，求甲、乙两物体在运动过程中相距的最小距离为多少？解析：若是，说明甲物体先停止运动或甲、乙同时停止运动。在运动过程中，乙的速度一直大于甲的速度，只有两物体都停止运动时，才相距最近，可得最近距离为若是，说明乙物体先停止运动那么两物体在运动过程中总存在速度相等的时刻，此时两物体相距最近，根据，求得在t时间内甲的位移；乙的位移代入表达式求得方法2：利用图像法求解例6、一小汽车从静止开始以3m/s2的加速度行驶，恰好有一自行车以6m/s的速度从车旁匀速驶过。小汽车从开动后在追上自行车之前经多长时间两者相距最远？此时距离是多少？小汽车什么时候追上自行车，此时小汽车的速度是多少？解：由题意作出小汽车和自行车的速度时间图像如图由图像可知t2s时，小汽车和自行车的速度相等，两车相距最远，最远距离为图中阴影部分的面积大小。由图知，t2s以后，若两车位移相等，即vt图线与时间轴所夹的“面积”相等由几何关系知，相遇时间为，此时总结：利用图象法求解，其思路是用位移图像求解，分别作出两个物体的位移图像，如果两个物体的位移图像相交，则说明两物体相遇。方法3： 妙取参照物求解题见例5解析：设以火车乙为参照物，则甲相对乙做初速为、加速度为a的匀减速运动。若甲相对乙的速度为零时两车不相撞，则此后就不会相撞。因此，不相撞的临界条件是：甲车减速到与乙车车速相同时，甲相对乙的位移为s。即：，故不相撞的条件为2.解题方法总结：（1）要养成根据题意画出物体运动示意图的习惯.特别对较复杂的运动，画出草图可使运动过程直观，物理图景清晰，便于分析研究.（2）要注意分析研究对象的运动过程，搞清研究对象整个运动过程按运动性质可分为哪几个运动阶段，各个阶段遵循什么规律，各个阶段间存在什么联系.（3）由于本章公式较多，且各公式间有相互联系，因此，本章的题目常可一题多解.解题时要思路开阔，联想比较，筛选最简捷的解题方案.解题时除采用常规的公式解析法外，图像法、极值法、逆向转换法（如将一匀减速直线运动视为反向的匀加速直线运动）等也是本章解题中常用的方法.一题多解示例：例题、一小汽车从静止开始以3m/s2的加速度行驶，恰好有一自行车以6m/s的速度从车旁匀速驶过。小汽车从开动后在追上自行车之前经多长时间两者相距最远？此时距离是多少？小汽车什么时候追上自行车，此时小汽车的速度是多少？解法一：解析法：小汽车从开动后速度由零逐渐增大，而自行车速度不变，当小汽车的速度还小于自行车的速度时，两者距离越来越大，当小汽车的速度大于自行车的速度时，两者距离越来越小，所以当两车的速度相等时，两车之间距离最大有，所以。两车之间距离最大。解法二：利用相对运动求解： 以自行车为参照物，小汽车追上自行车之前，小汽车相对自行车的初速度相对加速度小汽车远离自行车做减速运动（与自行车相对地运动方向相反），当相对末速度为时，相对自行车最远，所以，所以两车之间距离最大总结：用相对运动的知识求解追及或相遇问题，常可简化求解过程，但要注意将两个物体对地的物理量（速度、加速度和位移）转化为相对物理量的方法在追及问题中，常把被追及物体作为参考系，这样追赶物体相对被追物体的各物理量即可表示为：且上式中各物理量（矢量）的符号都应以同一的正方向进行确定解法三：极值法：设小汽车在追上自行车之前经时间t相距最远最远距离。利用二次函数求极值条件知：当时，s最大。对第二问小汽车追上自行车时，两车位移相等代入数值得,解法四：图像法（见上面例6）课后反馈：1、(2006广东)、a、b两物体从同一位置沿同一直线运动，它们的速度图象如图所示，下列说法正确的是Aa、b加速时，物体a的加速度大于物体b的加速度B20秒时，a、b两物体相距最远C60秒时，物体a在物体b的前方D40秒时，a、b两物体速度相等，相距200m2（2007海南）、两辆游戏赛车a、b在两条平行的直车道上行驶。t=0时两车都在同一计时线处，此时比赛开始。它们在四次比赛中的v-t图如下图所示。哪些图对应的比赛中，有一辆赛车追上了另一辆（ ）3、一辆摩托车行使的最大速度为108km/h。现让摩托车从静止出发，要求在4min内追上前方相距1km,、正以25m/s的速度在平直公路上行驶的汽车。则该摩托车行使时，至少应有多大的加速度？4、（2007全国卷）、甲乙两运动员在训练交接棒的过程中发现：甲经短距离加速后能保持9m/s的速度跑完全程：乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的。为了确定乙起跑的时机，需在接力区前适当的位置设置标记。在某次练习中，甲在接力区前s013.5m处作了标记，并以v9m/s的速度跑到此标记时向乙发出起跑口令。乙在接力区的前端听到口令时起跑，并恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，完成交接棱。已知接力区的长度为L20m求：（1）此次练习中乙在接棒前的加速度a。（2）在完成交接棒时乙离接力区末端的距离。5、当汽车B在汽车A前方7m时，A正以vA =4m/s的速度向右做匀速直线运动，而汽车B此时速度vB =10m/s，向右做匀减速直线运动，加速度大小为a=2m/s2.此时开始计时，则A追上B需要的时间是多少？参考答案：1、解析甲、乙两物体的v-t图线都是倾斜的直线，说明它们都做匀加速直线运动。乙物体的v-t图线斜率大，说明乙物体的加速度大，故A错B对。在t1时刻之前，由图象可以看出甲的速度大，C正确。在时刻t1，甲、乙两物体的速度相等，但此时它们之间的距离最大，D错误。答案B、C2、解析a、b两物体从同一位置沿同一直线运动，从图像看，速度均为正值，加速时，加速时，加速度也为正值，且同向运动。因ab加速时， a的加速度a1=（v1-v0）/t=(40-10)/20m/s2=1.5 m/s2b的加速度a2=v1/t=(40-0)/(40-20)m/s2=2.0 m/s2故A错误。t=20s时，va=40m/s, vb=0,a在b前，距离继续增大，当t=40s时，va= vb，a与b距离最大，此时，sa=(v0+va)t1+vat2=(10+40)20/2+4020m=1300msb=(v0+vb)t3=(0+40)20/2m=400m. 故a、b间最大距离smax= sa- sb=900m,所以BD错误。t=60s时，sa=(10+40)20/2+4040m=2100msb=at2/2=2402/2.m=1600m,故t=60s时，a仍在b前方，所以C正确。答案C3、解析在v-t图线中，图线与时间轴所围的面积表示位移的大小，A图中，t=20s时，两车位移大小相等，即b车追上了a车；B图中b车的速度始终比a车速度大，即a车不可能追上b车；C图中t=20s时两车位移相等，即b车能追上a车；D图中从图像可以看出，两车速度相等时，始终是b车位移大，故a车不可能追上b车。答案AC4、解析若摩托车在追赶过程中一直做匀加速直线运动，则有v汽t+s0=vt/2代入数值解得追上时摩托车的速度v=58m/s这个速度大于摩托车行使的最大速度，因此摩托车应先加速，再匀速追赶。设摩托车在t=4min内恰