高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.2 两条直线的位置关系课件.ppt

9 2两条直线的位置关系 第九章平面解析几何 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 两条直线的位置关系 1 两条直线平行与垂直 两条直线平行 对于两条不重合的直线l1 l2 若其斜率分别为k1 k2 则有l1 l2 当直线l1 l2不重合且斜率都不存在时 l1 l2 两条直线垂直 如果两条直线l1 l2的斜率存在 设为k1 k2 则有l1 l2 当其中一条直线的斜率不存在 而另一条的斜率为0时 l1 l2 知识梳理 k1 k2 k1 k2 1 2 两条直线的交点直线l1 a1x b1y c1 0 l2 a2x b2y c2 0 则l1与l2的交点坐标就是方程组的解 2 几种距离 1 两点p1 x1 y1 p2 x2 y2 之间的距离 p1p2 2 点p0 x0 y0 到直线l ax by c 0的距离d 3 两条平行线ax by c1 0与ax by c2 0 其中c1 c2 间的距离d 1 直线系方程 1 与直线ax by c 0平行的直线系方程是ax by m 0 m r且m c 2 与直线ax by c 0垂直的直线系方程是bx ay n 0 n r 2 两直线平行或重合的充要条件直线l1 a1x b1y c1 0与直线l2 a2x b2y c2 0平行或重合的充要条件是 知识拓展 a1b2 a2b1 0 3 两直线垂直的充要条件直线l1 a1x b1y c1 0与直线l2 a2x b2y c2 0垂直的充要条件是 4 过直线l1 a1x b1y c1 0与l2 a2x b2y c2 0的交点的直线系方程为a1x b1y c1 a2x b2y c2 0 r 但不包括l2 5 点到直线 两平行线间的距离公式的使用条件 1 求点到直线的距离时 应先化直线方程为一般式 2 求两平行线之间的距离时 应先将方程化为一般式且x y的系数对应相等 a1a2 b1b2 0 题组一思考辨析1 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 当直线l1和l2斜率都存在时 一定有k1 k2 l1 l2 2 如果两条直线l1与l2垂直 则它们的斜率之积一定为 1 3 已知直线l1 a1x b1y c1 0 l2 a2x b2y c2 0 a1 b1 c1 a2 b2 c2为常数 若直线l1 l2 则a1a2 b1b2 0 基础自测 1 2 3 4 5 6 4 点p x0 y0 到直线y kx b的距离为 5 直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离 6 若点a b关于直线l y kx b k 0 对称 则直线ab的斜率等于 且线段ab的中点在直线l上 1 2 3 4 5 6 题组二教材改编2 p110b组t2 已知点 a 2 a 0 到直线l x y 3 0的距离为1 则a等于 解析 答案 1 2 3 4 5 6 3 p101a组t10 已知p 2 m q m 4 且直线pq垂直于直线x y 1 0 则m 解析 1 2 3 4 5 6 答案 1 所以m 4 2 m 所以m 1 题组三易错自纠4 2017 郑州调研 直线2x m 1 y 4 0与直线mx 3y 2 0平行 则m等于a 2b 3c 2或 3d 2或 3 解析直线2x m 1 y 4 0与直线mx 3y 2 0平行 解析 1 2 3 4 5 6 答案 5 直线2x 2y 1 0 x y 2 0之间的距离是 解析 答案 1 2 3 4 5 6 6 若直线 3a 2 x 1 4a y 8 0与 5a 2 x a 4 y 7 0垂直 则a 解析 0或1 答案 解析由两直线垂直的充要条件 得 3a 2 5a 2 1 4a a 4 0 解得a 0或a 1 1 2 3 4 5 6 题型分类深度剖析 典例 2018 青岛模拟 已知两条直线l1 ax by 4 0和l2 a 1 x y b 0 求满足下列条件的a b的值 1 l1 l2 且l1过点 3 1 题型一两条直线的位置关系 师生共研 解答 解由已知可得l2的斜率存在 且k2 1 a 若k2 0 则1 a 0 a 1 l1 l2 直线l1的斜率k1必不存在 即b 0 又 l1过点 3 1 k2 0 即k1 k2都存在且不为0 又 l1过点 3 1 3a b 4 0 由 联立 解得a 2 b 2 2 l1 l2 且坐标原点到这两条直线的距离相等 解答 解 l2的斜率存在 l1 l2 又 坐标原点到这两条直线的距离相等 且l1 l2 1 当直线方程中存在字母参数时 不仅要考虑到斜率存在的一般情况 也要考虑到斜率不存在的特殊情况 同时还要注意x y的系数不能同时为零这一隐含条件 2 在判断两直线平行 垂直时 也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论 跟踪训练已知直线l1 ax 2y 6 0和直线l2 x a 1 y a2 1 0 1 试判断l1与l2是否平行 解答 解方法一当a 1时 l1 x 2y 6 0 l2 x 0 l1不平行于l2 当a 0时 l1 y 3 l2 x y 1 0 l1不平行于l2 综上可知 当a 1时 l1 l2 方法二由a1b2 a2b1 0 得a a 1 1 2 0 由a1c2 a2c1 0 得a a2 1 1 6 0 故当a 1时 l1 l2 2 当l1 l2时 求a的值 解答 解方法一当a 1时 l1 x 2y 6 0 l2 x 0 l1与l2不垂直 故a 1不成立 当a 0时 l1 y 3 l2 x y 1 0 l1不垂直于l2 故a 0不成立 当a 1且a 0时 解析 答案 题型二两直线的交点与距离问题 自主演练 又 交点位于第一象限 而直线方程y kx 2k 1可变形为y 1 k x 2 表示这是一条过定点p 2 1 斜率为k的动直线 两直线的交点在第一象限 两直线的交点必在线段ab上 不包括端点 动直线的斜率k需满足kpa k kpb 2 若直线l过点p 1 2 且到点a 2 3 和点b 4 5 的距离相等 则直线l的方程为 解析 x 3y 5 0或x 1 答案 解析方法一当直线l的斜率存在时 设直线l的方程为y 2 k x 1 即kx y k 2 0 当直线l的斜率不存在时 直线l的方程为x 1 也符合题意 当l过ab的中点时 ab的中点为 1 4 直线l的方程为x 1 故所求直线l的方程为x 3y 5 0或x 1 1 求过两直线交点的直线方程的方法先求出两直线的交点坐标 再结合其他条件写出直线方程 2 利用距离公式应注意 点p x0 y0 到直线x a的距离d x0 a 到直线y b的距离d y0 b 两平行线间的距离公式要把两直线方程中x y的系数化为相等 命题点1点关于点中心对称 解析 题型三对称问题 多维探究 解析设l1与l的交点为a a 8 2a 则由题意知 点a关于点p的对称点b a 2a 6 在l2上 代入l2的方程得 a 3 2a 6 10 0 解得a 4 即点a 4 0 在直线l上 所以直线l的方程为x 4y 4 0 典例过点p 0 1 作直线l 使它被直线l1 2x y 8 0和l2 x 3y 10 0截得的线段被点p平分 则直线l的方程为 x 4y 4 0 答案 典例如图 已知a 4 0 b 0 4 从点p 2 0 射出的光线经直线ab反射后再射到直线ob上 最后经直线ob反射后又回到p点 则光线所经过的路程是 解析 答案 命题点2点关于直线对称 解析直线ab的方程为x y 4 点p 2 0 关于直线ab的对称点为d 4 2 关于y轴的对称点为c 2 0 典例已知直线l 2x 3y 1 0 求直线m 3x 2y 6 0关于直线l的对称直线m 的方程 解答 命题点3直线关于直线的对称问题 解在直线m上任取一点 如m 2 0 则m 2 0 关于直线l的对称点m 必在直线m 上 又 直线m 经过点n 4 3 由两点式得直线m 的方程为9x 46y 102 0 解决对称问题的方法 1 中心对称 直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决 2 轴对称 直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决 跟踪训练已知直线l 3x y 3 0 求 1 点p 4 5 关于l的对称点 解答 解设p x y 关于直线l 3x y 3 0的对称点为p x y 又pp 的中点在直线3x y 3 0上 把x 4 y 5代入 得x 2 y 7 点p 4 5 关于直线l的对称点p 的坐标为 2 7 2 直线x y 2 0关于直线l对称的直线方程 解答 解用 分别代换x y 2 0中的x y 化简得7x y 22 0 3 直线l关于 1 2 的对称直线 解答 解在直线l 3x y 3 0上取点m 0 3 关于 1 2 的对称点m x y l关于 1 2 的对称直线平行于l k 3 对称直线方程为y 1 3 x 2 即3x y 5 0 妙用直线系求直线方程 思想方法 思想方法指导 规范解答 一 平行直线系由于两直线平行 它们的斜率相等或它们的斜率都不存在 因此两直线平行时 它们的一次项系数与常数项有必然的联系 典例1求与直线3x 4y 1 0平行且过点 1 2 的直线l的方程 思想方法指导因为所求直线与3x 4y 1 0平行 因此 可设该直线方程为3x 4y c 0 c 1 规范解答解由题意 设所求直线方程为3x 4y c 0 c 1 又因为直线过点 1 2 所以3 1 4 2 c 0 解得c 11 因此 所求直线方程为3x 4y 11 0 思想方法指导 规范解答 二 垂直直线系由于直线a1x b1y c1 0与a2x b2y c2 0垂直的充要条件为a1a2 b1b2 0 因此 当两直线垂直时 它们的一次项系数有必然的联系 可以考虑用直线系方程求解 典例2求经过a 2 1 且与直线2x y 10 0垂直的直线l的方程 思想方法指导依据两直线垂直的特征设出方程 再由待定系数法求解 规范解答解因为所求直线与直线2x y 10 0垂直 所以设该直线方程为x 2y c1 0 又直线过点a 2 1 所以有2 2 1 c1 0 解得c1 0 即所求直线方程为x 2y 0 思想方法指导 三 过直线交点的直线系典例3 2017 湖南东部十校联考 经过两条直线2x 3y 1 0和x 3y 4 0的交点 并且垂直于直线3x 4y 7 0的直线方程为 思想方法指导可分别求出直线l1与l2的交点及直线l的斜率k 直接写出方程 也可以根据垂直关系设出所求方程 再把交点坐标代入求解 又可以利用过交点的直线系方程设直线方程 再用待定系数法求解 解析 答案 4x 3y 9 0 所求直线与直线3x 4y 7 0垂直 方法二由垂直关系可设所求直线方程为4x 3y m 0 代入4x 3y m 0 得m 9 故所求直线方程为4x 3y 9 0 方法三由题意可设所求直线方程为 2x 3y 1 x 3y 4 0 即 2 x 3 3 y 1 4 0 又 所求直线与直线3x 4y 7 0垂直 3 2 4 3 3 0 2 代入 式得所求直线方程为4x 3y 9 0 课时作业 1 直线2x y m 0和x 2y n 0的位置关系是a 平行b 垂直c 相交但不垂直d 不能确定 基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析直线2x y m 0的斜率k1 2 解析 答案 则k1 k2 且k1k2 1 故选c 2 2018 邢台模拟 a 1 是 直线ax 3y 3 0和直线x a 2 y 1 0平行 的a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解得a 1 故选c 3 从点 2 3 射出的光线沿与向量a 8 4 平行的直线射到y轴上 则反射光线所在的直线方程为a x 2y 4 0b 2x y 1 0c x 6y 16 0d 6x y 8 0 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 其与y轴的交点坐标为 0 2 解析 又点 2 3 关于y轴的对称点为 2 3 所以反射光线过点 2 3 与 0 2 由两点式知a正确 4 2017 兰州一模 一只虫子从点o 0 0 出发 先爬行到直线l x y 1 0上的p点 再从p点出发爬行到点a 1 1 则虫子爬行的最短路程是a b 2c 3d 4 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析点o 0 0 关于直线x y 1 0的对称点为o 1 1 5 若直线l1 x ay 6 0与l2 a 2 x 3y 2a 0平行 则l1与l2之间的距离为 解析 答案 解析 l1 l2 a 2且a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 若直线l1 y k x 4 与直线l2关于点 2 1 对称 则直线l2经过定点a 0 4 b 0 2 c 2 4 d 4 2 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 解析直线l1 y k x 4 经过定点 4 0 其关于点 2 1 对称的点为 0 2 又直线l1 y k x 4 与直线l2关于点 2 1 对称 故直线l2经过定点 0 2 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 若三条直线y 2x x y 3 mx 2y 5 0相交于同一点 则m的值为 9 点 1 2 满足方程mx 2y 5 0 即m 1 2 2 5 0 m 9 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 8 将一张坐标纸折叠一次 使得点 0 2 与点 4 0 重合 点 7 3 与点 m n 重合 则m n 解析由题意可知 纸的折痕应是点 0 2 与点 4 0 连线的中垂线 即直线y 2x 3 它也是点 7 3 与点 m n 连线的中垂线 解析 直线l1 ax y 6 0与l2 x a 2 y a 1 0相交于点p 且l1 l2 a 1 1 a 2 0 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9 2017 浙江嘉兴一中月考 已知直线l1 ax y 6 0与l2 x a 2 y a 1 0相交于点p 若l1 l2 则a 此时点p的坐标为 1 3 3 易得x 3 y 3 p 3 3 10 已知直线l1 ax y 1 0 直线l2 x y 3 0 若直线l1的倾斜角为 则a 若l1 l2 则a 若l1 l2 则两平行直线间的距离为 若l1 l2 则a 1 1 1 0 故a 1 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 答案 1 若l1 l2 11 已知方程 2 x 1 y 2 3 2 0与点p 2 2 1 证明 对任意的实数 该方程都表示直线 且这些直线都经过同一定点 并求出这一定点的坐标 解显然2 与 1 不可能同时为零 故对任意的实数 该方程都表示直线 方程可变形为2x y 6 x y 4 0 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 故直线经过的定点为m 2 2 2 证明 该方程表示的直线与点p的距离d小于4 证明过p作直线的垂线段pq 由垂线段小于斜线段知 pq pm 当且仅当q与m重合时 pq pm 此时对应的直线方程是y 2 x 2 即x y 4 0 但直线系方程唯独不能表示直线x y 4 0 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12 已知三条直线 l1 2x y a 0 a 0 l2 4x 2y 1 0 l3 x y 1 0 且l1与l2间的距离是 1 求a的值 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又a 0 解得a 3 2 能否找到一点p 使p同时满足下列三个条件 点p在第一象限 点p到l1的距离是点p到l2的距离的 点p到l1的距离与点p到l3的距离之比是 若能 求点p的坐标 若不能 请说明理由 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解假设存在点p 设点p x0 y0 若点p满足条件 则点p在与l1 l2平行的直线l 2x y c 0上 若点p满足条件 由点到直线的距离公式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即 2x0 y0 3 x0 y0 1 所以x0 2y0 4 0或3x0 2 0 由于点p在第一象限 所以3x0 2 0不可能 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 技能提升练 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 13 2017 湖北孝感五校联考 已知直线y 2x是 abc中 c的平分线所在的直线 若点a b的坐标分别是 4 2 3 1 则点c的坐标为a 2 4 b 2 4 c 2 4 d 2 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析设a 4 2 关于直线y 2x的对称点为 x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即3x y 10 0 同理可得点b 3 1 关于直线y 2x的对称点为