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恒等变换、伸压变换【教学目标】1掌握恒等变换矩阵和伸压变换矩阵的特点,理解恒等、伸压变换的几何意义2熟练运用恒等变换和伸压变换进行平面图形的变换【教学过程】一、问题情境问题1:给定一个二阶矩阵,就确定了一个变换,它的作用是将平面上的一个点(向量)变换成另外一个点(向量) 反过来,平面中常见变换是否都可以用矩阵来表示呢?如果可以,又该怎样表示呢?问题2:已知ABC , A(2 , 0) , B(-1 , 0) , C(0 , 2) , 它们在变换T作用下保持位置不变, 能否用矩阵M来表示这一变换?二、数学建构1恒等变换设ABC上的任一点(x,y)变换后对应的点为(x,y)则有T:,又,故由矩阵确定的变换TM称为恒等变换,我们把矩阵称为恒等变换矩阵或单位矩阵,二阶单位矩阵一般记为E平面是任何一点(向量)或图形,在恒等变换之下都把自己变为自己2伸压变换由矩阵M=或M=确定的变换TM称为(垂直)伸压变换,我们把矩阵称为沿轴或轴的垂直伸压变换矩阵当M=时,确定的变换将平面图形作沿x轴方向伸长或压缩;当时伸长,当时压缩变换TM确定的变换不是简单地把平面上的点(向量) 沿x轴方向“向下压”或“向外伸”,它是x轴方向伸长或压缩,以为例,对于x轴上方的点向下压缩,对于x轴下方的点向上压缩,对于x轴上的点变换前后原地不动当M=时确定的变换将平面图形作沿y轴方向伸长或压缩,当时伸长,当时压缩在伸压变换之下,直线仍然变为直线,线段仍然变为线段三、运用新知例1求 在矩阵M= 作用下的图形 例2已知曲线ysinx经过变换T作用后变为新的曲线ysin2x,画出相关的图象,并求出变换T对应的矩阵M例3验证圆C: 在矩阵A=对应的伸压变换下变为一个椭圆, 并求此椭圆的方程四、课堂练习1已知四边形ABCD的顶点分别为A(-1,0),B(1,0),C(1,1),D(-1,1),四边形ABCD在矩阵变换作用下变成正方形,则().、 、2 、3 、2若直线y=4x-4在矩阵M对应的伸压变换下变成另一条直线y=x-1,则 M=_.3求圆C:在矩阵对应的伸压变换下的曲线方程,并判断曲线的类型五、课堂小结1恒等变换矩阵2当伸压变换M =确定的变换,将原来平面图形上的横坐标 ,纵坐标 ; 伸压变换M =确定的变换,将原来平面图形上的横坐标 ,纵坐标 【课后巩固】1点(,k)在伸压变换矩阵之下的对应点的坐标为(-2,-4),则m、k的值分别为 2已知曲线经过伸压变换T作用后变为新的曲线,试求变换T对应的矩阵M3研究坐标平面上正方形OBCD在矩阵作用下所得几何图形。其中O(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1)4研究坐标平面上正方形OBCD在矩阵作用下的变换。其中O(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1)5求把ABC变成AB
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