Strongart数学笔记：数学哲学理论三篇(论数学中的differance等).pdf

论数学中的 differance 数学中没有不动点 Strongart 要说数学的本质是什么 非专业人士一般可能会说是计算 而专 业人士则说是证明 但数学家 Hardy 却说数学中无所谓证明 我们只 是在指指点点而已 这个见解不错 只是稍微弱了一点 数学家 Strongart 发现法国哲学家 Derrida 提出的 differance 更适合作为 数学的本质 所谓 differance 是哲学家 Derrida 创造的一个新词 中文一般 翻译成延异或异延 Derrida 并不是数学家 他主要是从文本解释学 的角度来谈的 大意就是说一种涵义的差别 但这个差别又不是纯粹 的不同 而是包含着一种意义的延续性关系 因此他便把 difference 中的第二个 e 换成 a 生造出了一个新词 differance 这个 differance 的重要效果就是去中心化 原始文本中的任何一点都可 以做为新的意义中心进行展开 而理论的发展就是一个不断展开的过 程 打个通俗的比方 这就好比是一部小说 你不但可以写的它续作 或前传 还可以随便选个人物 X 哪怕他次要到连出场机会都没有 只是被角色对话中被随口提及 都可以写一部与原作若即若离的关于 X 的外传 只要这个外传充分完美 甚至还可能取代原作的中心地位 在数学中的情况也是类似的 随便哪一个概念 哪怕只是一个非常边 缘化的例子 只要有数学家能够发展处新的含义 那么在理论上都可 以重新复活 成为数学发展的新的中心 在数学史也确实有很多类似 的例子 Grothendieck 用 scheme 语言重新代数几何就是一个典型 Robinson 用现代数理逻辑复活了极限理论无穷小方法创立非标准分 析也是一个跨越历史的实例 我们可以重新对传统的数学发展观做一番考察 传统观念认为数 学就是一种直线式的发展 所有的分叉都是在公认的岔道口上 最后 的成就就只是百尺竿头更进一步而已 在这个传统下的数学老师 总 是会提醒学生要抓关键追前沿 不要钻牛角尖误入歧途 甚至常常因 为冒进使得竹竿处在脆弱的中空状态 可实际上 很多创新都是从侧 面诞生的 在大多数人不太留意的地方 数学家就能够发现新的意义 中心 然后延出新的概念来 比如数学家 Strongart 提出的 S divisor 就属于此类 遗憾的是 这一点往往被传统学者忽视 他们就是视觉 范围就仅限于一个狭隘的角落 常常把侧面的新发现当成了基础不 好 没有抓不住理论中的关键点 最后来谈一下高级数学观 在数学家 Strongart 的眼中 所有的 数学理论都是可以推敲的乃至重构 数学中是没有不动点的 所有的 数学理论都在不停的发展着 这个发展过程的本质可以用differance 来概括 一般新的理论发展得比较快 可以说是晶体般的生长的 旧 理论哪怕已经成为化石 也还保留着重新生长的可能 论现代数学中的公理化方法 很多人想必都知道 现代数学的一个特点就是它非常抽象 已经 远远脱离了原先的直观意义 那么它是如何达到这个抽象境界的呢 我想 其中一个最重要的方法就是公理化 它不只是对既成成果的总 结 而且还是创造新概念的一个动机 公理化方面的最常见的版本就是从性质到公理 先发掘某个问题 的典型性质 然后把它当成公理 这样就得到一个更高层次的概念 可以包容更多具有此性质的对象 我们对乘法进行公理化 就可以得 到群的概念 要是再引入加法 那就可以得到环 事实上 几乎整个 抽象代数都是公理化的产物 它把公理当成通常的数学对象来处理 反倒是不那么引人注目了 可像泛函分析这样的学科 恰恰位于公理 对象与具体对象之间 因此我们经常在这两个方面徘徊 比如说对于 一个 Hilbert space 当它无穷维可分的时候 既可以作为一个可数 集上的抽象 Hilbert space 进行处理 又可以用它的模型 l2来替代 公理化在升华数学概念的时候 常常会丢掉一些不便处理的东 西 这里我以度量空间作为例子做个说明 它实际是距离这个概念的 公理化 把非负 对称与三角性这三个典型性质直接定义为公理 但 作为公理化的度量空间是否包括了所有的距离呢 请看一个单位立 方体 取不共面的两条棱 它们所在的直线间的距离是1 再找第三 条之间与它相交 或者充分靠近 显然这里直线之间的距离并不满 足三角不等式 仔细体会一下的话 可以发现度量空间中升华出来的 距离只是点点距离 而不能包含集合之间的距离 事实上 数学概念的公理化过程在不断升华的同时 也在不断抛 弃一下枝节概念 前者使得数学思想具有更多的普适性 但后者却使 得数学研究的范围越来越窄 一般而言 高层次的理论常常不是完全 包含低层次理论的 常常表现为后者的一个局部深化 这里我们有一 个微妙的平衡点 公理化方法的初步成果就是模型数学 假若它自身 得到发展或者是与数学体系中的其他结论取得联系 那么其价值就能 够弥补在这个过程中的损失 否则就可能陷入到死胡同之中 公理化思想在现代数学中无处不在 不仅性质可以升华为公理 甚至一些简单的计算结论也是如此 在初级的代数拓扑书中 一般都 要求计算一些同伦群 然后自然就会提出一个问题 到底怎么样的群 G 可以作为一个复形的 n 维同伦群呢 答案是任何这样的群都可以 于是就定义出 Eilenberg MacLane space K G n 一般说来 新 定义的公理化概念总是不能自然嵌入原有的理论框架中 因此就需要 创造一个新的符号 然后逐渐来认识这个老外 就这样 在高级的代 数拓扑书中 经常就是直接用 K G N 进行讨论的 假若你还不熟 悉这个代数拓扑 那么可以回想一下对 的接纳过程 只是这里的公 理化色彩并不是太浓重的 当然 并不是所有的情况都可以得到计算结果 特别是像求积分 解 微分 方程之类的逆向运算 大多数情况都不能直接得到结果 对于那些不是太重要的结果 就不必专门创造新符号了 这里我们又 遇到一个微妙的平衡点 对容易解决的情形 一般可以提供体系化的 方法 比如一阶线性微分方程的求解 稍微难一点的 提供一些通 用的技术 比如分部积分法 更难一点的 就专门提供表格查阅 实际应用中还可以使用近似计算 还要难一点的可能目前尚未解决 也就是所谓的开放性问题 比如反向 Galois 问题 最后用来封顶便 是所谓不可能定理 比如一般五次方程无代数解 有些人可能会觉 得逆运算的不可能性是一个遗憾 但我认为这恰恰是数学的魅力所 在 假若所有的概念都能够用公理化方法升华 这未免也太平凡了一 点啊 综上所述 公理化方法本质上就是反向思维的一种模式 假若这 样反向思维结论完备 那么就能够得到高层次的概念 假若其结论不 怎么完备呢 所得到的就是已经解决或者是尚未解决反问题 这也使 得数学中的理论与问题得到了统一 论代数学的两大基本要素 很多国内学者似乎都不太理解代数学 有的人只把代数看做具体 计算的形式表达 有的人则把代数看成了单纯的逻辑游戏 这些观点 都是很不恰当的 下面我简单谈一下代数的两大基本要素 即哲学与 组合 希望对各位学者有多启发 代数的第一大要素是哲学 这里的哲学不是指专门意义上的哲 学 而是就数学意义上而言的 可以理解为数学素养 数学思想等等 一般而言 纯数学各分支都需要哲学作为内功 但代数是一个纯粹公 理化的学科 需要能够不断创造新结构 还要对新结构的未来前景有 所洞察 因此对内功的要求特别的高 可惜 中国学者似乎普遍缺乏 此类修养 很难挑出标准的框架有所创造 常常只擅长做精密的计算 这一点恰恰是高贵的代数学所不齿的 同时 他们的评价也常常是马 后炮式的 常常表现为能有所应用的就是好的 就好比是土财主大都 以为能卖大钱的艺术品就有价值 几何学家也会在意物理应用 可对 于代数学家而言 那只是一个底层的剩余价值 并不值得进行过多的 关注 这是因为代数常常站在数学的最前端 主要就是负责开拓疆土 至于应用之类的杂事 大都属于后面的任务啊 代数的第二大要素是组合 这也容易被国内学者忽略 组合常常 被归结为中学奥数之类 甚至还被当成了业余数学 实际上 组合学 对于代数而言 就好比是分析学对于几何 都是一个能够提供原动力 的重要工具 尽管代数总是在不断发明新的结构 扩张自己的领域 但在新结构出现后 总是需要做一些后期建设进行充实 等到表面的 结构完成之后 假若还想继续深入的话 就不可避免的会用到组合技 巧 这个过程可说是由定性到定量的一种转化 只不过由于代数对象 大都是离散的 这里的量主要不是可以计算的数 而是需要使用组合 手段的结构 现代数学的很多分支都带有组合的字样 像什么组合矩 阵论 组合表示论 组合交换代数 组合拓扑学等等 最后一项尽管 不属于代数 但大体思想还是一致 而 Bnanch 空间的结构理论也与 组合数学有所联系 可见这个代数组合的思想已经渗透到现代数学的 各个分支之中了 目前中国数学界还是实用传统占主导地位 对代数的这两大要素 都不太在意 也就难免会对代数产生偏见 只把代数学当成其他数学 分支的附件 事实上 代数才是真正意义上高贵的上乘数学 我希望 能够有更多的同学走入这一个美丽的殿堂 本文作者 Strongart 是一位自学数学的牛人 现在 他依然努力坚持自学数学 似乎又有了新的突破 还