高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.4 全称量词与存在量词 1.4.3 含有一个量词的命题的否定课件 新人教A版选修21.ppt

第一章 1 4全称量词与存在量词 1 4 3含有一个量词的命题的否定 学习目标1 理解含有一个量词的命题的否定的意义 2 会对含有一个量词的命题进行否定 3 掌握全称命题的否定是特称命题 特称命题的否定是全称命题 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考 知识点一全称命题的否定 尝试写出下面含有一个量词的全称命题的否定 并归纳写全称命题否定的方法 1 所有矩形都是平行四边形 将量词 所有 换为 存在一个 然后将结论否定 即 不是平行四边形 所以原命题的否定为 存在一个矩形不是平行四边形 用同样的方法可得 2 3 的否定 答案 2 每一个素数都是奇数 解答 存在一个素数不是奇数 3 x r x2 2x 1 0 解答 x0 r 2x0 1 0 思考 梳理 写全称命题的否定的方法 1 更换量词 将全称量词换为存在量词 2 将结论否定 对于含有一个量词的全称命题的否定 有下面的结论 全称命题p x m p x 它的否定綈p 全称命题的否定是命题 x0 m 綈p x0 特称 知识点二特称命题的否定 思考 尝试写出下面含有一个量词的特称命题的否定 并归纳写特称命题否定的方法 1 有些实数的绝对值是正数 先将存在量词 有些 改写为全称量词 所有 然后将结论 实数的绝对值是正数 否定 即 实数的绝对值不是正数 于是得原命题的否定为 所有实数的绝对值都不是正数 同理可得 2 3 的否定 答案 2 某些平行四边形是菱形 解答 所有平行四边形都不是菱形 3 x0 r 1 0 解答 x r x2 1 0 思考 梳理 写特称命题的否定的方法 1 将存在量词改写为全称量词 2 将结论否定 对于含一个量词的特称命题的否定 有下面的结论 特称命题p x0 m p x0 它的否定綈p x m 綈p x 特称命题的否定是全称命题 题型探究 类型一全称命题的否定 例1写出下列全称命题的否定 1 任何一个平行四边形的对边都平行 解答 其否定 存在一个平行四边形 它的对边不都平行 2 数列 1 2 3 4 5中的每一项都是偶数 解答 其否定 数列 1 2 3 4 5中至少有一项不是偶数 3 a b r 方程ax b都有惟一解 解答 其否定 a b r 使方程ax b的解不惟一或不存在 4 可以被5整除的整数 末位是0 解答 其否定 存在被5整除的整数 末位不是0 全称命题的否定是特称命题 对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定 反思与感悟 跟踪训练1写出下列全称命题的否定 1 p 每一个四边形的四个顶点共圆 解答 綈p 存在一个四边形 它的四个顶点不共圆 2 p 所有自然数的平方都是正数 解答 綈p 有些自然数的平方不是正数 3 p 任何实数x都是方程5x 12 0的根 解答 綈p 存在实数x0不是方程5x0 12 0的根 4 p 对任意实数x x2 1 0 解答 綈p 存在实数x0 使得 1 0 类型二特称命题的否定 例2写出下列特称命题的否定 并判断其否定的真假 1 p x0 1 使 2x0 3 0 解答 綈p x 1 x2 2x 3 0 假 2 p 有些素数是奇数 解答 綈p 所有的素数都不是奇数 假 3 p 有些平行四边形不是矩形 解答 綈p 所有的平行四边形都是矩形 假 特称命题的否定是全称命题 写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词 即p x0 m p x0 成立 綈p x m 綈p x 成立 反思与感悟 跟踪训练2写出下列特称命题的否定 并判断其否定的真假 1 有些实数的绝对值是正数 解答 命题的否定是 不存在一个实数 它的绝对值是正数 即 所有实数的绝对值都不是正数 它为假命题 2 某些平行四边形是菱形 解答 命题的否定是 没有一个平行四边形是菱形 即 每一个平行四边形都不是菱形 由于菱形是平行四边形 因此命题的否定是假命题 3 x0 y0 z 使得x0 y0 3 解答 命题的否定是 x y z x y 3 当x 0 y 3时 x y 3 因此命题的否定是假命题 类型三特称命题 全称命题的综合应用 例3已知函数f x x2 2x 5 1 是否存在实数m 使不等式m f x 0对于任意x r恒成立 并说明理由 解答 不等式m f x 0可化为m f x 即m x2 2x 5 x 1 2 4 要使m x 1 2 4对于任意x r恒成立 只需m 4即可 故存在实数m 使不等式m f x 0对于任意x r恒成立 此时 只需m 4 2 若存在一个实数x0 使不等式m f x0 0成立 求实数m的取值范围 解答 不等式m f x0 0可化为m f x0 若存在一个实数x0 使不等式m f x0 成立 只需m f x min 又f x x 1 2 4 f x min 4 m 4 所求实数m的取值范围是 4 对于涉及是否存在的问题 通常总是假设存在 然后推出矛盾 或找出存在符合条件的元素 一般地 对任意的实数x a f x 恒成立 只要a f x max 若存在一个实数x0 使a f x0 成立 只需a f x min 反思与感悟 跟踪训练3已知f x 3ax2 6x 1 a r 1 当a 3时 求证 对任意x r 都有f x 0 当a 3时 f x 9x2 6x 1 36 4 9 1 0 对任意x r 都有f x 0 证明 2 如果对任意x r 不等式f x 4x恒成立 求实数a的取值范围 f x 4x恒成立 3ax2 2x 1 0恒成立 解答 当堂训练 2 3 4 5 1 1 已知a 0且a 1 命题 x0 1 logax0 0 的否定是a x0 1 logax0 0b x0 1 logax0 0c x 1 logax 0d x 1 logax 0 a 0且a 1 命题 x0 1 logax0 0 的否定是 x 1 logax 0 答案 解析 2 3 4 5 1 2 设x z 集合a是奇数集 集合b是偶数集 若命题p x a 2x b 则a 綈p x a 2x bb 綈p x a 2x bc 綈p x0 a 2x0 bd 綈p x0 a 2x0 b 命题p x a 2x b是一个全称命题 其命题的否定綈p应为 x0 a 2x0 b 故选d 答案 解析 2 3 4 5 1 3 命题 对任意一个实数x 都有 0 的否定是 答案 解析 存在一个实数x0 使得2x0 4 0 2 3 4 5 1 4 由命题 x0 r 2x0 m 0 是假命题 得实数m的取值范围是 a 则实数a 由题意得命题 x r x2 2x m 0 是真命题 所以 4 4m1 故实数m的取值范围是 1 从而实数a的值为1 答案 解析 1 2 3 4 5 1 5 已知函数f x x2 mx 1 命题p 对任意x r 都有f x 0 命题q 存在x0 r 使 m2 9 若命题 綈p 与 q 均为真命题 求实数m的取值范围 由于命题p 对任意x r 都有f x 0 所以綈p 不等式f x 0在实数集上有解 故 m2 4 0 得m 2或m 2 又命题q 存在x0 r 使 m20 所以 3 m 3 因为命题 綈p 与 q 均为真命题 所以m的取值范围为 3 2 2 3 解答 规律与方法 1 对含有全称量词的命题进行否定需两步操作 第一步 将全称量词改写成存在量词 即将 任意 改为 存在 第二步 将结论加以否定 如 将 否定为 2 对含