高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.1 函数的单调性与导数（二）课件 新人教A版选修22.ppt

1 3 1函数的单调性与导数 二 第一章 1 3导数在研究函数中的应用 学习目标 1 会利用导数证明一些简单的不等式问题 2 掌握利用导数研究含参数的单调性的基本方法 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 1 函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间 a b 内的函数y f x 增 减 特别提醒 若在某区间上有有限个点使f x 0 其余的点恒有f x 0 则f x 仍为增函数 减函数的情形完全类似 f x 为增函数的充要条件是对任意的x a b 都有f x 0且在 a b 内的任一非空子区间上f x 不恒为0 2 函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地 设函数y f x 在区间 a b 上 快 慢 陡峭 平缓 3 利用导数解决单调性问题需要注意的问题 1 定义域优先的原则 解决问题的过程只能在定义域内 通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间 2 注意 临界点 和 间断点 在对函数划分单调区间时 除了必须确定使导数等于零的点外 还要注意在定义域内的间断点 3 如果一个函数的单调区间不止一个 这些单调区间之间不能用 连接 而只能用 逗号 或 和 字等隔开 1 如果函数f x 在某个区间内恒有f x 0 则f x 在此区间内没有单调性 2 函数在某区间上变化越快 函数在这个区间上的导数的绝对值越大 思考辨析判断正误 题型探究 类型一利用导数求参数的取值范围 例1若函数f x kx lnx在区间 1 上单调递增 则k的取值范围是 解析 答案 1 即k的取值范围为 1 引申探究1 若将本例中条件递增改为递减 求k的取值范围 解答 又f x 在 1 上单调递减 即k的取值范围为 0 2 若将本例中条件递增改为不单调 求k的取值范围 解答 解f x kx lnx的定义域为 0 k的取值范围是 0 1 当k 0时 f x 0 f x 在 0 上单调递减 故不合题意 反思与感悟 1 利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路 将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题 即f x 0 或f x 0 恒成立 利用分离参数或函数性质求解参数范围 然后检验参数取 时是否满足题意 先令f x 0 或f x 0 求出参数的取值范围后 再验证参数取 时f x 是否满足题意 2 恒成立问题的重要思路 m f x 恒成立 m f x max m f x 恒成立 m f x min 解答 解方法一 直接法 f x x2 ax a 1 令f x 0 得x 1或x a 1 当a 1 1 即a 2时 函数f x 在 1 上单调递增 不合题意 当a 1 1 即a 2时 函数f x 在 1 和 a 1 上单调递增 在 1 a 1 上单调递减 由题意知 1 4 1 a 1 且 6 a 1 所以4 a 1 6 即5 a 7 故实数a的取值范围为 5 7 方法二 数形结合法 如图所示 f x x 1 x a 1 因为在 1 4 内 f x 0 在 6 内f x 0 且f x 0有一根为1 所以另一根在 4 6 上 故实数a的取值范围为 5 7 方法三 转化为不等式的恒成立问题 f x x2 ax a 1 因为f x 在 1 4 上单调递减 所以f x 0在 1 4 上恒成立 即a x 1 x2 1在 1 4 上恒成立 所以a x 1 因为27 所以当a 7时 f x 0在 6 上恒成立 综上知5 a 7 故实数a的取值范围为 5 7 例2证明ex x 1 sinx 1 x 0 证明令f x ex x 1 x 0 则f x ex 1 0 f x 在 0 上单调递增 对任意x 0 有f x f 0 而f 0 0 f x 0 即ex x 1 令g x x sinx x 0 g x 1 cosx 0 g x g 0 即x sinx 0 x 1 sinx 1 x 0 综上 ex x 1 sinx 1 类型二证明不等式 证明 反思与感悟用导数证明不等式f x g x 的一般步骤 1 构造函数f x f x g x x a b 2 证明f x f x g x 0 且f a 0 3 依 2 知函数f x f x g x 在 a b 上是单调递增函数 故f x g x 0 即f x g x 这是因为f x 为单调递增函数 所以f x f a 0 即f x g x f a g a 0 证明 当x 1时 f x 0 则f x 在 1 内是增函数 当x 0时 f x f 0 0 达标检测 1 已知命题p 对任意x a b 有f x 0 q f x 在 a b 内是单调递增的 则p是q的a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 1 2 3 4 5 答案 1 2 3 4 5 2 已知对任意实数x 都有f x f x g x g x 且当x 0时 f x 0 g x 0 则当x0 g x 0b f x 0 g x 0d f x 0 g x 0 解析 答案 解析由题意知 f x 是奇函数 g x 是偶函数 当x 0时 f x g x 都单调递增 则当x0 g x 0 3 已知函数f x x3 12x 若f x 在区间 2m m 1 上单调递减 则实数m的取值范围是 解析f x 0 即3x2 12 0 得 2 x 2 f x 的减区间为 2 2 由题意得 2m m 1 2 2 1 1 1 2 3 4 5 解析 答案 2 答案 解析 1 2 3 4 5 所以f x 在 上为单调递增函数 其图象若穿越x轴 则只有一次穿越的机会 显然x 0时 f x 0 解答 1 2 3 4 5 利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路 1 将问题转