最新题库大全2005高考数学 试题分项 专题专题04 数列 理.doc

2013最新题库大全2005-2007年数学（理）高考试题分项专题04 数列一、选择题1、（全国1理15）等比数列的前n项和为，已知，成等差数列，则的公比为_。解等比数列的前n项和为，已知，成等差数列，又，即，解得的公比。2、（广东理5）已知数列的前n项和，第k项满足，则k= （a）9 （b）8 （c）7 （d）6答案：b；解析：此数列为等差数列，由52k-108得到k=8。3、（天津文理8）设等差数列的公差不为0.若是与的等比中项，则( )a.2b.4c.6d.86、（福建理2）数列的前n项和为，若，则等于a 1 b c d 解析：=，所以，选b9、（湖北理5）已知和是两个不相等的正整数，且，则（ ）a0b1cd10、（湖北理8）已知两个等差数列和的前项和分别为a和，且，则使得 为整数的正整数的个数是（ ）a2b3c4d5答案：选d解析：由等差数列的前项和及等差中项，可得 ，故时，为整数。故选d11、（海、宁理4）已知是等差数列，其前10项和，则其公差（）12、（海、宁理7）已知，成等差数列，成等比数列，则的最小值是（）【答案】：d【分析】：14、（重庆理1）若等差数列的前三项和且，则等于（ ）a3 b.4 c. 5 d. 615、（重庆理8）设正数a,b满足, 则（ ）a0 b c d1【答案】：b【分析】： 18、（辽宁理4文5）设等差数列的前项和为，若，则（ ）a63b45c36d27解析：由等差数列性质知s3、s6-s3、s9-s6成等差数列，即9，27，s成等差，所以s=45，选b20、（陕西理5）各项均为正数的等比数列的前n项和为sn，若sn=2,s30=14,则s40等于zxxk.com（a）80（b）30 (c)26 (d)16zx21、（陕西理9）给出如下三个命题：zxxk.com四个非零实数a、b、c、d依次成等比数列的充要条件是ad=bc;zxxk.com设a,br，则ab0若1，则1；zxxk.com若f(x)=log2x=x,则f（|x|）是偶函数.zxxk.com其中不正确命题的序号是zxxk.coma.b.c.d.zxxk.com解析：ad=bc不一定使a、b、c、d依次成等比数列，如取a=d=-1，b=c=1；a、b异号时不正确，选b二、填空题1、（天津13） 设等差数列的公差是2，前项的和为则.3、（广东文13）已知数列an的前n项和sn=n2-9n，则其通项an= ；若它的第k项满足5ak1的等比数列，若和是方程的两根，则_.【答案】：18【分析】：和是方程的两根，故有： 或（舍）。 三、解答题1、（重庆理21）已知各项均为正数的数列的前n项和满足，且（1）求的通项公式；（2）设数列满足，并记为的前n项和，求证：（）证法一：由可解得；从而。因此。令,则。因，故.特别的。从而，即。证法二：同证法一求得bn及tn。由二项式定理知当c0时，不等式成立。由此不等式有。2、（浙江理21）已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且（i）求，；本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力满分15分（i）解：方程的两个根为，当时，所以；当时，所以；当时，所以时；当时，所以（ii）解：（iii）证明：，所以，当时，同时，综上，当时，3、（浙江文19）已知数列中的相邻两项、是关于x的方程 的两个根，且(k 1，2，3，) (i)求及 (n4)(不必证明)； ()求数列的前2n项和s2n本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力满分14分 (i)解：方程的两个根为当k1时，所以；当k2时，所以；4、（天津理21）在数列中，其中（）求数列的通项公式；（）求数列的前项和；（）证明存在，使得对任意均成立本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力满分14分（）解法一：，由此可猜想出数列的通项公式为以下用数学归纳法证明（1）当时，等式成立（2）假设当时等式成立，即，那么这就是说，当时等式也成立根据（1）和（2）可知，等式对任何都成立这时数列的前项和当时，这时数列的前项和（）证明：通过分析，推测数列的第一项最大，下面证明：由知，要使式成立，只要，因为所以式成立因此，存在，使得对任意均成立7、（上海理20）若有穷数列（是正整数），满足即（是正整数，且），就称该数列为“对称数列”。（1）已知数列是项数为7的对称数列，且成等差数列，试写出的每一项（2）已知是项数为的对称数列，且构成首项为50，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值？最大值为多少？（3）对于给定的正整数，试写出所有项数不超过的对称数列，使得成为数列中的连续项；当时，试求其中一个数列的前2008项和 ； 对于，当时， 当时， 对于，当时， 当时， 对于，当时， 当时， 对于，当时， 当时，9、（陕西理22）已知各项全不为零的数列ak的前k项和为sk,且skn*),其中a1=1.()求数列ak的通项公式;()对任意给定的正整数n(n2),数列bk满足（k=1,2,，n-1）,b1=1.求b1+b2+bn.所以故11、（山东理17）设数列满足，（）求数列的通项；（）设，求数列的前项和(i)验证时也满足上式，(ii) ，13、（全国2理21）设数列的首项（1）求的通项公式；（2）设，证明，其中为正整数那么， 又由（1）知且，故，因此为正整数方法二：由（1）可知，因为，所以由可得，即两边开平方得即为正整数15、（全国1理22）已知数列中，（）求的通项公式；（）若数列中，证明：，即的通项公式为，（）用数学归纳法证明（）当时，因，所以，结论成立（）假设当时，结论成立，即，也即当时，17、（辽宁理21）已知数列，与函数，满足条件：，.（i）若，存在，求的取值范围；（ii）若函数为上的增函数，证明对任意，（用表示）18、（江西理22）设正整数数列满足：，且对于任何，有（1）求，；（3）求数列的通项解：（1）据条件得 当时，由，即有，解得因为为正整数，故当时，由，解得，所以因为时，所以，所以又，所以故，即时，成立由1，2知，对任意，（2）方法二：由，猜想：下面用数学归纳法证明则于是又由右式，则因为两端为正整数，则，所以又因时，为正整数，则据，即时，成立由1，2知，对任意，19、（江苏理20）已知 是等差数列，是公比为的等比数列，记为数列的前项和，（1）若是大于的正整数，求证：；（4分）（2）若是某一正整数，求证：是整数，且数列中每一项都是数列中的项；（8分）（3）是否存在这样的正数，使等比数列中有三项成等差数列？若存在，写出一个的值，并加以说明；若不存在，请说明理由；（4分）解：设的公差为，由，知，（）（1）因为，所以，设数列中的某一项=现在只要证明存在正整数，使得，即在方程中有正整数解即可，所以，若，则，那么，当时，因为，只要考虑的情况，因为，所以，因此是正整数，所以是正整数，因此数列中任意一项为与数列的第项相等，从而结论成立。（3）设数列中有三项成等差数列，则有2设，所以2，令，则，因为，所以，所以，即存在使得中有三项成等差数列。20、（湖南理21）已知（）是曲线上的点，是数列的前项和，且满足，（i）证明：数列（）是常数数列；（ii）确定的取值集合，使时，数列是单调递增数列；（iii）证明：当时，弦（）的斜率随单调递增所以，即数列是常数数列（ii）由有，所以由有，所以，而 表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列，所以，数列是单调递增数列且对任意的成立且即所求的取值集合是（iii）解法一：弦的斜率为任取，设函数，则记，则，当时，在上为增函数，当时，在上为减函数，所以时，从而，所以在和上都是增函数由（ii）知，时，数列单调递增，取，因为，所以取，因为，所以所以，即弦的斜率随单调递增解法二：设函数，同解法一得，在和上都是增函数，所以，故，即弦的斜率随单调递增21、（湖南文20）设是数列（）的前项和，且，（i）证明：数列（）是常数数列；（ii）试找出一个奇数，使以18为首项，7为公比的等比数列（）中的所有项都是数列中的项，并指出是数列中的第几项解：（i）当时，由已知得因为，所以 于是 由得：于是由得：即数列（）是常数数列（ii）由有，所以由有，所以，而表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列所以，由题设知，当为奇数时，为奇数，而为偶数，所以不是数列中的项，只可能是数列中的项若是数列中的第项，由得，取，得，此时，由，得，从而是数列中的第项（注：考生取满足，的任一奇数，说明是数列中的第项即可）22、（湖北理21）已知为正整数，（i）用数学归纳法证明：当时，；（ii）对于，已知，求证，求证，；（iii）求出满足等式的所有正整数本小题主要考查数学归纳法、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力解法1：（）证：用数学归纳法证明：（）当时，原不等式成立；当时，左边，右边，（）解：由（）知，当时，即即当时，不存在满足该等式的正整数故只需要讨论的情形：当时，等式不成立；当时，等式成立；当时，等式成立；当时，为偶数，而为奇数，故，等式不成立；当时，同的情形可分析出，等式不成立综上，所求的只有因为，所以又因为，所以于是在不等式两边同乘以得，所以即当时，不等式也成立综上所述，所证不等式成立（）证：当，时，而由（），（）解：假设存在正整数使等式成立，即有又由（）可得，与式矛盾故当时，不存在满足该等式的正整数下同解法124、（广东理21）已知函数，是方程f(x)=0的两个根，是f(x)的导数；设，（n=1,2,） （1）求的值； （2）证明：对任意的正整数n，都有a；（3）记（n=1,2,），求数列bn的前n项和sn。解析：（1），是方程f(x)=0的两个根，； （2），=，有基本不等式可知（当且仅当时取等号），同，样，（n=1,2,）， （3），而，即，同理，又26、（福建理21）等差数列的前项和为（）求数列的通项与前项和；（）设，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列本小题考查数列的基本知识，考查等差数列的概念、通项公式与前项和公式，考查等比数列的概念与性质，考查化归的数学思想方法以及推理和运算能力满分12分解：（）由已知得，故（）由（）得假设数列中存在三项（互不相等）成等比数列，则即，与矛盾所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列28、（北京理15，文科16）数列中，（是常数，），且成公比不为的等比数列（i）求的值；（ii）求的通项公式，所以又，故当时，上式也成立，所以29、（安徽理21）某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d0），因此，历年所交纳的储务金数目a1，a2，是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为r（r0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1（1r）n1，第二年所交纳的储备金就变为a2（1r）n2，以tn表示到第n年末所累计的储备金总额.（）写出tn与tn1（n2）的递推关系式；（）求证：tnanbn，其中an是一个等比数列，bn是一个等差数列.本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力、考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力本小题满分14分即如果记，则其中是以为首项，以为公比的等比数列；是以为首项，为公差的等差数列2006年高考数学试题分类汇编数列1（2006年福建卷）在等差数列中，已知则等于 （b）（a）40（b）42（c）43（d）452（2006年广东卷）已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是a.5 b.4 c. 3 d.22，故选c.3（2006年广东卷）在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以表示第n堆的乒乓球总数，则 ； （答案用n表示） .5（2006年广东卷）10，6 ( 2006年重庆卷)在等差数列an中，若aa+ab=12,sn是数列an的前n项和，则sn的值为 (b)（a）48 (b)54 (c)60 (d)66(14) ( 2006年重庆卷)在数列an中，若a1=1,an+1=2an+3 (n1),则该数列的通项an=_.7（2006年全国卷ii）设sn是等差数列an的前n项和，若，则 (a)（a） （b） （c） （d）8（2006年全国卷ii）函数f(x)的最小值为 ( c )（a）190 （b）171 （c）90 （d）459（2006年天津卷）已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，设（），则数列的前10项和等于（c）a55 b70c85d10010. （2006年湖北卷）若互不相等的实数、成等差数列，、成等比数列，且，则=（d） a.4 b.2 c.-2 d.-410解选d：依题意有11（2006年全国卷i）设是公差为正数的等差数列，若，则a b c d11，将代入，得，从而。选b。这个题主要反映一个“元”的概念：确定一个等差数列，需要且只要两个独立的“元”。在这个解法中，我选择的是和d。12（2006年江西卷）已知等差数列an的前n项和为sn，若，且a、b、c三点共线（该直线不过原点o），则s200（ a ）a100 b. 101 c.200 d.201解：依题意，a1a2001，故选a13（2006年辽宁卷）在等比数列中,前项和为,若数列也是等比数列,则等于14（2006年北京卷）设，则等于 (d)（a）（b）（c）（d）15（ 2006年浙江卷）设s为等差数列a,的前n项和，若s-10, s=-5,则公差为-1（用数字作答）.16（ 2006年浙江卷）已知函数f(x)=x+ x，数列x(x0)的第一项x1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f(x)在处的切线与经过（0，0）和（x,f (x)）两点的直线平行（如图）.求证：当n时，()x （）16略。17(2006年山东卷）已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，（1） 证明数列lg(1+an)是等比数列；（2） 设tn=(1+a1) (1+a2) (1+an)，求tn及数列an的通项；（3） 记bn=，求bn数列的前项和sn，并证明sn+=1.17.(2) ,;18（2006年北京卷）在数列中，若是正整数，且，则称为“绝对差数列”.（）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；（）若“绝对差数列”中，数列满足，分别判断当时，与的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；（）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.18（），。（）略；（）。19（2006年上海卷）已知有穷数列共有2项（整数2），首项2设该数列的前项和为，且2（1，2，21），其中常数1（1）求证：数列是等比数列；（2）若2，数列满足（1，2，2），求数列的通项公式；（3）若（2）中的数列满足不等式|4，求的值解（1）（2）20（2006年辽宁卷）已知,其中,设,.(i) 写出;(ii) 证明:对任意的,恒有.【解析】(i)由已知推得,从而有(ii) 证法1:当时, 当x0时, ,所以在0,1上为增函数因函数为偶函数所以在-1,0上为减函数所以对任意的因此结论成立.证法2: 当时, 当x0时, ,所以在0,1上为增函数因函数为偶函数所以在-1,0上为减函数所以对任意的又因所以因此结论成立.证法3: 当时, 当x0时, ,所以在0,1上为增函数因函数为偶函数所以在-1,0上为减函数所以对任意的由对上式两边求导得因此结论成立.【点评】本小题考查导数的基本计算,函数的性质,绝对值不等式及组合数性质等基础知识,考查归纳推理能力以及综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.22（2006年江苏卷）设数列、满足：，（n=1,2,3,），证明：为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=1,2,3,）数列为等差数列。综上所述：为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=1,2,3,）。点评：本题主要考查等差数列、充要条件等基础知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力23（2006年全国卷ii）设数列an的前n项和为sn，且方程x2anxan0有一根为sn1，n1，2，3，（）求a1，a2；（）an的通项公式22解：()当n1时，x2a1xa10有一根为s11a11，于是(a11)2a1(a11)a10，解得a1当n2时，x2a2xa20有一根为s21a2，于是(a2)2a2(a2)a20，解得a1()由题设(sn1)2an(sn1)an0，即sn22sn1ansn0当n2时，ansnsn1，代入上式得sn1sn2sn10由()知s1a1，s2a1a2由可得s3由此猜想sn，n1，2，3，8分下面用数学归纳法证明这个结论(i)n1时已知结论成立(ii)假设nk时结论成立，即sk，当nk1时，由得sk1，即sk1，故nk1时结论也成立综上，由(i)、(ii)可知sn对所有正整数n都成立10分于是当n2时，ansnsn1，又n1时，a1，所以an的通项公式an，n1，2，3， 12分24（2006年四川卷）已知数列，其中，记数列的前项和为，数列的前项和为（）求； （）设，（其中为的导函数），计算本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及对数运算、导数运算和极限运算的能力，同时考查分类讨论的思想方法，满分12分。25. （2006年上海春卷）已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）.（1）若，求；（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；（3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？ 26（2006年陕西卷）已知正项数列，其前项和满足且成等比数列，求数列的通项26.解: 10sn=an2+5an+6, 10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3. 又10sn1=an12+5an1+6(n2), 由得 10an=(an2an12)+6(anan1),即(an+an1)(anan15)=0 an+an10 , anan1=5 (n2). 当a1=3时,a3=13,a15=73. a1, a3,a15不成等比数列a13;当a1=2时, a3=12, a15=72, 有 a32=a1a15 , a1=2, an=5n3.27（2006年广东卷）已知公比为的无穷等比数列各项的和为9，无穷等比数列各项的和为.()求数列的首项和公比；()对给定的,设是首项为，公差为的等差数列.求数列的前10项之和；()设为数列的第项，求，并求正整数，使得存在且不等于零.(注：无穷等比数列各项的和即当时该无穷数列前n项和的极限)27解: ()依题意可知,()由()知,所以数列的的首项为,公差,即数列的前10项之和为155.() =，=当m=2时，=，当m2时，=0，所以m=228（2006年福建卷）已知数列满足（i）求数列的通项公式；（ii）证明：28本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。满分14分。（i）解：是以为首项，2为公比的等比数列。即（ii）证法一：，得即，得即是等差数列。证法二：同证法一，得令得设下面用数学归纳法证明（1）当时，等式成立。（2）假设当时，那么这就是说，当时，等式也成立。根据（1）和（2），可知对任何都成立。是等差数列。（iii）证明：29（2006年安徽卷）数列的前项和为，已知（）写出与的递推关系式，并求关于的表达式；（）设，求数列的前项和。解：由得：，即，所以，对成立。由，相加得：，又，所以，当时，也成立。（）由，得。而，30（2006年全国卷i）设数列的前项的和31（2006年江西卷）已知数列an满足：a1，且an（1） 求数列an的通项公式；（2） 证明：对于一切正整数n，不等式a1a2an2n！31解：（1） 将条件变为：1，因此1为一个等比数列，其首项为1，公比，从而1，据此得an（n1）1（2） 证：据1得，a1a2an为证a1a2an2显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个nn*，有1（）3用数学归纳法证明3式：（i） n1时，3式显然成立，（ii） 设nk时，3式成立，即1（）则当nk1时，1（）（）1（）（）1（）即当nk1时，3式也成立。故对一切nn*，3式都成立。利用3得，1（）11故2式成立，从而结论成立。2005年高考数学试题分类汇编数列选择题1. （2005广东卷）已知数列满足，若，则(b)（）（）（）（）2. （2005福建卷）3已知等差数列中，的值是（ a ）a15b30c31d643. （2005湖南卷）已知数列满足，则=（b ）a0bcd4. （2005湖南卷）已知数列log2(an1)（nn*）为等差数列，且a13，a25，则=（c）a2bc1d5. （2005湖南卷）设f0(x)sinx，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x)fn(x)，nn，则f2005(x)（c）asinxbsinxccosxdcosx6. （2005江苏卷）在各项都为正数的等比数列an中，首项a1=3 ，前三项和为21，则a3+ a4+ a5=(c ) ( a ) 33 ( b ) 72 ( c ) 84 ( d )1897. (2005全国卷ii) 如果数列是等差数列，则(b )(a)(b) (c) (d) 8. (2005全国卷ii) 11如果为各项都大于零的等差数列，公差，则(b)(a)(b) (c) (d) 9. （2005山东卷）是首项=1，公差为=3的等差数列，如果=2005，则序号等于(c )（a）667 （b）668 （c）669 （d）67010. （2005上海）16用n个不同的实数a1,a2,an可得n!个不同的排列,每个排列为一行写成 1 2 3一个n!行的数阵.对第i行ai1,ai2,ain,记bi=- ai1+2ai2-3 ai3+(-1)nnain, 1 3 2i=1,2,3, ,n!.用1,2,3可你数阵如右,由于此数阵中每一列各数之和都 2 1 3是12,所以,b1+b2+b6=-12+212-312=-24.那么,在用1,2,3,4,5形成 2 3 1的数阵中, b1+b2+b120等于 3 1 23 2 1 答( c ) (a)-3600 (b) 1800 (c)-1080 (d)-72011. （2005浙江卷）( c )(a) 2 (b) 4 (c) (d)012. (2005重庆卷) 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为2，且改塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是( c) (a) 4； (b) 5； (c) 6； (d) 7。13. （江西卷）填空题1. （2005广东卷）设平面内有条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三角形不过同一点若用表示这条直线交点的个数，则_5_；当时，_2. （2005北京卷）已知n次多项式, 如果在一种算法中，计算（k2，3，4，n）的值需要k1次乘法，计算的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算的值共需要 n(n3) 次运算 下面给出一种减少运算次数的算法：（k0， 1，2，n1）利用该算法，计算的值共需要6次运算，计算的值共需要 2n 次运算3. （2005湖北卷）设等比数列的公比为q，前n项和为sn，若sn+1,sn，sn+2成等差数列，则q的值为 -2 .4. (2005全国卷ii) 在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为_216_5. （2005山东卷）6. （2005上海）12、用个不同的实数可得到个不同的排列，每个排列为一行写成一个行的数阵。对第行，记，。例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，=_-1080_。7、计算：=_3 _。8. （2005天津卷）设,则9. （2005天津卷）在数列an中, a1=1, a2=2,且，则=_2600_ _.10. (2005重庆卷)= -3 .解答题1.（2005北京卷）设数列an的首项a1=a，且, 记，nl，2，3，（i）求a2，a3；（ii）判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论；（iii）求2.（2005北京卷）数列an的前n项和为sn，且a1=1，n=1，2，3，求 （i）a2，a3，a4的值及数列an的通项公式； （ii）的值.解：（i）由a1=1，n=1，2，3，得，由（n2），得（n2），又a2=，所以an=(n2), 数列an的通项公式为；（ii）由（i）可知是首项为，公比为项数为n的等比数列， =3（2005福建卷）已知是公比为q的等比数列，且成等差数列. （）求q的值；（）设是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为sn，当n2时，比较sn与bn的大小，并说明理由.解：（）由题设 （）若当 故若当故对于4. （2005福建卷）已知数列an满足a1=a, an+1=1+我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当a=1时，得到无穷数列：（）求当a为何值时a4=0；（）设数列bn满足b1=1, bn+1=，求证a取数列bn中的任一个数，都可以得到一个有穷数列an；（）若，求a的取值范围. （i）解法一： 故a取数列bn中的任一个数，都可以得到一个有穷数列an5. （2005湖北卷）设数列的前n项和为sn=2n2，为等比数列，且 （）求数列和的通项公式； （）设，求数列的前n项和tn.解：（1）：当6. （2005湖北卷）已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足 （）证明（）猜测数列是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；（）试确定一个正整数n，使得当时，对任意b0，都有解：（）证法1：当即 于是有 所有不等式两边相加可得 由已知不等式知，当n3时有，证法2：设，首先利用数学归纳法证不等式即当n=k+1时，不等式也成立.由（i）、（ii）知，又由已知不等式得 （）有极限，且 （）则有故取n=1024，可使当nn时，都有7. （2005湖南卷）已知数列为等差数列，且 （）求数列的通项公式； （）证明8. （2005湖南卷）自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，nn*，且x10.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c. （）求xn+1与xn的关系式； （）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明） （）设a2，b1，为保证对任意x1（0,2），都有xn0，nn*，则捕捞强度b的 最大允许值是多少？证明你的结论.解（i）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为 （ii）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1， nn*，从而由（*）式得 因为x10，所以ab. 猜测：当且仅当ab，且时，每年年初鱼群的总量保持不变. （）若b的值使得xn0，nn* 由xn+1=xn(3bxn), nn*, 知 0xn3b, nn*, 特别地，有0x13b. 即0b0.又因为xk+1=xk(2xk)=(xk1)2+110， nn*，则捕捞强度b的最大允许值是1.9. （2005江苏卷）设数列an的前项和为,已知a1=1, a2=6, a3=11,且, 其中a,b为常数.()求a与b的值;()证明数列an为等差数列;()证明不等式.解：()由，得，把分别代入，得解得，()由()知，即，又-得，即又-得，又，因此，数列是首项为1，公差为5的等差数列()由()知，考虑即，因此，10. （2005辽宁卷）已知函数设数列满足，数列满足 （）用数学归纳法证明； （）证明解：（）证明：当 因为a1=1，所以 2分下面用数学归纳法证明不等式 （1）当n=1时，b1=，不等式成立， （2）假设当n=k时，不等式成立，即那么 6分 所以，当n=k+1时，不等也成立。根据（1）和（2），可知不等式对任意nn*都成立。 8分（）证明：由（）知， 所以 10分 故对任意（12分）11. (2005全国卷) 设正项等比数列的首项，前n项和为，且。（）求的通项；（）求的前n项和。12. (2005全国卷) 设等比数列的公比为，前n项和。（）求的取值范围；（）设，记的前n项和为，试比较与的大小。解：（）因为是等比数列，当上式等价于不等式组： 或 解式得q1；解，由于n可为奇数、可为偶数，得1q0且10当或时即当且0时，即当或=2时，即13. (2005全国卷ii) 已知是各项为不同的正数的等差数列，、成等差数列又，abcdefp() 证明为等比数列；() 如果数列前3项的和等于，求数列的首项和公差 (i)证明：、成等差数列2=+，即又设等差数列的公差为，则()=(3)这样，从而()=00=0是首项为=，公比为的等比数列。(ii)解。=3=314.( 2005全国卷ii)已知是各项为不同的正数的等差数列，、成等差数列又，() 证明为等比数列；() 如果无穷等比数列各项的和，求数列的首项和公差(注：无穷数列各项的和即当时数列前项和的极限)15. (2005全国卷iii) 在等差数列中，公差的等差中项.已知数列成等比数列，求数列的通项解：由题意得：1分 即3分又4分 又成等比数列,该数列的公比为，6分 所以8分又10分所以数列的通项为12分16. （2005山东卷）已知数列的首项前项和为，且（i）证明数列是等比数列；（ii）令，求函数在点处的导数并比较与的大小.当时，又所以即从而17(2005上海)本题共有2个小题,第1小题满分6分, 第2小题满分8分.假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,(1)