17.2.1勾股定理的逆定理（1）.docx

17.2勾股定理的逆定理(1)【教学目标】1.知识与技能（1）理解勾股定理的逆定理。（2）了解逆命题的概念，知道原命题为真命题，它的逆命题不一定为真命题。2.过程与方法经历“观察测量猜想论证”的定理探究的过程，体会“构造法”证明数学命题的基本思想。3.情感态度和价值观通过师生共同活动，促进学生在学习活动中培养良好的情感，合作交流，主动参与的意识。【教学重点】重点：探索并证明勾股定理的逆定理。难点：应用勾股定理及其逆定理解决实际问题。【教学方法】自学与小组合作学习相结合的方法。【教学过程】一、情景导入【过渡】我们大家都认识直角三角形吧。我们知道，直角三角形是有一个角为直角的。根据直角三角形的定义呢，我们能够简单的判断一个三角形是否为直角三角形。（学生回答如何判断）【过渡】根据定义，主要就是看这个三角形有没有一个角满足90，有90的角则为直角三角形。但是如果遇到没办法准确判断角的大小的时候，我们又该通过什么样的方法来判断呢？能否结合勾股定理的知识，从边长的角度入手呢？今天我们就来探究一下，如果将勾股定理反过来使用，是否同样成立呢？二、新课教学1勾股定理的逆定理【过渡】 据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13 个结，然后以3 个结间距，4 个结间距、5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。你认为结论正确吗？【过渡】由实际问题转化，这个问题就变为如果三角形的三边长为3、4、5，它们满足32+42=52，那么这个三角形就是直角三角形。那么这个结论到底正确不正确呢？我们来自己动手，画出三边长为以下两组数据的三角形吧。2.5，6，6.5； 6，8，10。【过渡】首先看这两组数据，大家思考一下，这两组数据都满足a2+b2=c2吗？（学生回答）【过渡】计算表明，这两组数据均是满足这样一个等式的。现在，大家就将其作为三角形的三边成，来画一下三角形吧。（学生动手）【过渡】我看大家都已经画完了，大家用眼睛看过去，这两个三角形像是直角三角形吗？当然，在数学上，我们需要保持严谨的态度。大家再动手，用量角器分别测量上述各三角形的最大角的度数。【过渡】从动手结果上来看，这两个三角形同样是直角三角形。因此，我们就有如下一个猜想：命题2：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形。【过渡】大家能够证明这个结论吗？课件展示证明过程。【过渡】通过刚刚的证明，我们知道这个结论是正确的，因此，我们把它称之为勾股定理的逆定理。我们通常用这个定律作为直角三角形的判定定理。【练习】判断下列数据中能否作为直角三角形的三边长？A1、1、2 ；B5、12、13 ；C3、5、7 ；D6、8、10在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断。【过渡】从刚刚的命题中，我们能够看出，这个命题与勾股定理是完全相反的，在数学中，我们就称这样的两个命题为互逆命题。如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。【过渡】那么我们怎样得到一个命题的逆命题？我们以勾股定理为例。不难发现，勾股定理的题设是直角三角形，结论是a2+b2=c2，而其逆定理却刚好相反，它的题设是a2+b2=c2，结论则为直角三角形。因此，我们可以得到这样一种方法：把一个命题的题设和结论交换一下，即可得到它的逆命题。【练习】说出下列命题的逆命题。这些命题的逆命题是真命题吗？（1）如果ab，那么a2b2；（2）如果a2=b2，那么a=b；（3）等腰三角形的两底角相等两端点的距离相等。【过渡】勾股定理的逆定理主要用来判定是否为直角三角形，我们通过例题来感受一下吧。课件展示课本例1、2.【典题精讲】例1：判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形? (1) a=15，b=17，c=8; (2) a=13，b=15，c=14分析：根据勾股定理的逆定理, 判断一个三角形是不是直角三角形, 只要看两条较少边长的平方和是否等于最大边长的平方.解:(1)最大边为1715+8=225+64 =289，17 =28915+8 =17，以15, 8, 17为边长的三角形是直角三角形(2)最大边为1513+14=169+196=365，15 =225，13+ 14 15以13, 15, 14为边长的三角形不是直角三角形例2 ：4如图，在ABC中，ADBC于点D，若AD=4，BD=2，CD=8，那么ABC是直角三角形吗？为什么？【答案】是，理由见解析【解析】ABC是直角三角形，理由如下：ADBC，AD=4，BD=2，AB2=AD2+BD2=20，又ADBC，CD=8，AD=4，AC2=CD2+AD2=80，BC=CD+BD=10，BC2=100，AC2+AB2=100=BC2，ABC是直角三角形例3：在正方形ABCD中，E是BC的中点，F为CD上一点，且，试判断AEF是否是直角三角形？试说明理由【答案】AEF是是直角三角形【解析】设正方形的边长为4a,E是BC的中点， ,CF=a，DF=3a，CE=BE=2a.由勾股定理得：AF2=AD2+DF2=16a2+9a2=25a2，EF2=CE2+CF2=4a2+a2=5a2，AE2=AB2+BE2=16a2+4a2=20a2，AF2=EF2+AE2，AEF为直角三角形.【当堂达标】1ABC的三边长分别为a、b、c，下列条件：ABC；ABC345；a2(bc)(bc)；abc51213，其中能判定ABC是直角三角形的有( )A1个B2个C3个D4个【答案】C【解析】中，ABC，ABC180，B90，ABC是直角三角形；中，由ABC345得ABC中最大角，则ABC为锐角三角形；中，a2(bc)(bc)b2c2，即a2c2b2，所以ABC是直角三角形；中，因为abc51213，所以a2b2c2，故ABC是直角三角形，故选C2下列定理中，没有逆定理的是( )A直角三角形的两锐角互余B若三角形三边长a，b，c满足a2b2c2，则该三角形是直角三角形C全等三角形的对应角相等D互为相反数的两数之和为0【答案】C【解析】A的逆命题是：两锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题B的逆命题是：若三角形是直角三角形，则三边长a，b，c满足a2b2c2，是真命题D的逆命题是：若两数之和为0，则这两个数互为相反数，是真命题C中对应角相等的两个三角形不一定全等，所以C的逆命题是假命题，则它没有逆定理3若一块三角形铁皮余料的三边长为12cm，16cm，20cm，则这块三角形铁皮余料的面积为_【答案】96cm2【解析】由122162202，知此三角形是直角三角形，且长为20cm的边是斜边，所以此三角形的面积为（cm2）4已知两条线段的长为3cm和4cm，当第三条线段的长为 时，这三条线段能组成一个直角三角形。【答案】5或【解析】由于“两边长分